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摘 要：本文研究一类切换线性系统持续有界扰动抑制问题。首先回顾切换系统的一些相关概念，介绍切换线性系统在有界扰动抑制下内稳的概念，给出了一个等价条件，由此得到了一个使得闭环系统是内稳的且能获得期望性能的线性状态反馈控制器存在的充要条件。进而研究了不确定切换线性系统的类似问题，采用线性矩阵不等式方法，得到了该切换系统在任意的切换序列下鲁棒稳定性条件，基于上述结果，提出了一个简单的线性状态反馈控制器的设计方法，从而获得扰动抑制的一个期望性能。
关键词：线性系统;切换系统;扰动
中图分类号：O231 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2021）06-0011-04
1 引言
切换系统（Switched systems）是一类混杂系统，混杂系统的概念是1986年在美国加州Santa Clara大学举行的一次关于控制科学今后发展的专题研讨会上第一次提出，随之引起了计算机、数学以及国际控制界的高度重视，有关混杂系统的理论分析才被学者们系统地研究。混杂系统的提出能够更好地解决控制对象复杂的控制问题，如大型供电系统、机器人控制系统、计算机集中制造系统、复杂工业生产过程、飞行器空中控制系统等。在切换系统理论研究方面，系统的稳定性一直都是控制领域研究的热点问题，如何构造系统稳定的切换序列，即系统的镇定问题得到广泛研究。切换线性系统的状态变量在不同子系统之间切换时可能出现跳变，子系统的稳定性不等于整个系统的稳定性，每个子系统都是稳定的，但是整个系统可以是不稳定的;每个子系统都不稳定，在特殊的切换规则下整个系统可能是稳定的。切换系统既具有连续系统连续性特点，又具有离散性特点[1-3]。
混杂系统数学表达式可表示为：
H=（Rn×M，RP×∑，f，？覬） （1）
在上式中，H的混杂状态空间为Rn×M，输入空间为RP×∑，f，？覬两是两个作用函数。连续变量作用函数f：Df？哿Rn×M×RP→RP
离散变量作用函数？覬：D？覬？哿Rn×M×RP×∑→M
其状态方程为：
其中x（t）∈Rn为连续状态变量，i（t）∈M为离散状态变量，u（t）∈Rp为连续输入，？滓（t）∈∑为离散输入。连续输出y（t）=g（x（t），i（t），u（t）），离散输出Q+（t）= ？覬（x（t），i（t），u（t），？滓（t）），y（t）∈Rp，Q+（t）∈O。
1.1 切换系统
切换系统是由若干个子系统和相应的切换规则构成的一类特殊的混合动态系统。当混杂系统在切换时刻切换时系统状态不发生跳变，而且满足右连续性，这样的混杂系统就变为切换系统。切换系统通过各个子系统之间的切换行为实现预定性能指标。
切换系统的数学定义可描述为：
其中，x（t）∈Rn为系统状态向量，y（t）∈Rm为输出向量，u（t）∈Rp为输入向量。fi（t）：Rn×Rp→Rn，gi（t）：Rn×Rp→Rm为子系统模型充分光滑的非线性作用函数i（t）：R+=[0，+∞）→M={1，2，…，m}为系统分段常值的切换信号，是自然数集合，它依赖于时间或状态或时间与状态，并认为切换序列信号也是右连续的。
切换系统的复杂性主要是“切换”行为的引入，不是简单的子系统叠加。切换系统的稳定性与子系统和切换策略密切相关，系统的全局稳定性研究如何找到共同的Lyapunov函数，对任意的切换策略全局稳定。切换系统的延迟时间也是描述切换行为的重要工具。
1.2 切换线性系统
若（3）式所示的子系统模型函数可表示为如下一组仿射线性方程形式：
则切换系统变为切换线性系统。式中下标i={1，2，…，m}代表第i个子线性系统Ai∈Rn×n，Bi∈Rn×p，Ci∈Rn×n，Di∈Rn×p。若Ai，Bi，Ci，Di是时变矩阵，则系统（4）为时变切换线性系统。我们考虑在非时变情况下，即Ai，Bi，Ci，Di为与和时间没有关系的常系数矩阵，用∑（Ai，Bi，Ci，Di）表示（4）式所示的切换线性系统。对于切换线性系统来说，切换信号以及它的子系统在切换时刻都保持右连续性。切换线性系统的切换信号也是时间、状态或者时间和状态的函数。切换线性系统切换一般发生在切换面上，切换面一般写成如下形式的超曲面：
Hi=（x，t） i=1，2，…，m （5）
当系统状态变量经过切换面时发生切换。根据切换面提供的切换信号发生方式，可以将切换线性系统分为任意切换线性系统、设定切换线性系统、周期切换线性系统几种。
2 切换线性系统持续有界扰动抑制问题
2.1 研究背景和现状
在实践中，动力系统的持续有界扰动问题是一个值得关注的问题。文献最先研究了对线性系统的持续有界扰动抑制问题[4]。在文献中用信号范数来代替信号的峰值解决了离散时间系统和连续时间系统的L1优化控制问题[5]。综合这些控制器需要解决一系列的线性规划问题。线性系统的线性规划问题最近几年有普遍研究，不确定线性（脉冲）系统的线性规划问题多有讨论，然而对讨论切换（不确定）系统中持续有界扰动抑制问题的研究很少。切换系统是一类由多个子系统和协调各个子系统运行的切换规则组成的混杂动力系统。由于在理论和实践应用中的重要作用使得对切換系统的研究备受关注。在文献中总结了三个关于切换系统稳定性设计问题[6]。第一个是在任意切换序列下的稳定性问题，第二个是在某些有用的切换序列下的稳定性问题，最后一个是可镇定的切换序列的构造问题。对于第一个问题，Liberzon给出了在任意切换序列下稳定性的一些条件，对于第二个问题，主要使用经典李雅普诺夫理论的扩充的方法——多李雅普诺夫函数法。最后一个问题也获得了许多可用的结果。但是所有上述研究只限于不含控制输入的切换系统，并且对于切换系统的持续有界干扰抑制鲜有研究。受上面文章的启发，将研究关于不确定切换系统的持续有界扰动抑制问题，不仅考虑切换信号和参数不确定性的影响而且考虑控制输入。在这个方向得到了一些基本结论。具体而言，通过李雅普诺夫函数用正不变集的分析方法研究了受持续有界扰动的不确定切换系统的控制问题。 首先介紹了在任意切换序列下有界扰动抑制切换线性系统内稳的概念，用线性矩阵不等式给出了一个等价条件。然后将这个结果扩充到基于状态反馈的切换系统的镇定性问题上，从而获得一个简单的方法去设计控制器镇定系统并获得期望的性能。提出了一个使系统稳定并达到期望的干扰衰减水平的状态反馈控制器的设计的简单方法。本文还研究了参数不确定性的切换系统的类似问题，并给出了一些充分必要条件。最后用两个数值例子验证结果的正确性。
2.2 符号说明及引理
R表示实数集，Rn表示实n维实向量全体组成的空间，Rm×n是所有m行n列实矩阵集，BRp={w（·）∈RP：||w||2≤1}表示Rp空间中的闭单位球，AT表示矩阵A的转置，I表示具有相应维数的单位矩阵。
为了分析持续有界扰动抑制性，考虑系统∑：
其中x（·）：R→Rn，W（·）：R→RP和z（·）：R→Rp分别表示状态、外部扰动、可调输出向量。矩阵A，B，C，D是具有恰当维数的实常数矩阵，假设W：={w：R→BRP是可容许扰动集，W是可测的，L∞范数定义为 ||w||∞=：supt=||w（t）||2，集合？赘是不可逃逸集[7]，如果对于未来所有的时间t>0，系统0∈？赘，x（0）∈？赘，||w||∞≤1，则有x（t）∈？赘。即如果从初始状态的轨迹状态在该集合中，则在未来任何一段包括原点时间，它仍保留在该集合中。
证明 由定理1及引理显然成立。
4 结论
本文回顾了切换系统、线性系统的相关概念，讨论了一类不确定切换系统的持续有界干扰抑制问题。给出了一个等价条件，即不确定切换系统在任意切换下是内稳定的且具有强的扰动抑制期望性能，当且仅当每一个子系统是内稳定的且具有强的扰动抑制期望性能。用线性矩阵不等式保证了不确定系统的鲁棒稳定性和强的期望性能。
参考文献：
〔1〕阙志宏.线性系统理论[M].西安：西北工业大学出版社，1995.
〔2〕于长官.现代控制理论[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2005.
〔3〕郑大钟.线性系统理论（第二版）[M].北京：清华大学出版社，2014.
〔4〕M.Vidyasagar，“Optimal rejection of persistent bounded disturbances，” IEEE Trans. Automat. Contr. 31（06）： 527–535， 1986.
〔5〕M. A. Dahleh and J. B. Pearson， “l1-optimal feedback controllers for MIMO discrete-time systems，”， IEEE Trans. Automat. Contr.， 32（02）： 314–332， 1987.9
〔6〕A.S. Liberzon， and A.S. Morse， “Basic problems in stability and design of switched systems，” IEEE Contr. Syst. Mag.， vol. 19， no. 5， pp. 59–70， 1999.
〔7〕J. Abedor， K. Nagpal， and K. Poolla， “A linear matrix inequality approach to peak-to-peak gainminimization” ，Int. J. Robust and Nonlinear Control， vol. 6， pp. 899–927， 1996.
〔8〕S. Boyd， L. E. Ghaoui， E. Feron， and V. Balakrishnan， Linear matrix inequalities in system and control theory ， SIAM， Philadelphia， PA 1994.
〔9〕I. R. Petersen， “A stabilization algorithm for a class of uncertain linear systems，” Systems & Control Letters， vol. 8， pp. 351–357， 1987.
〔10〕F.Hao，T.Chu， L. Huang and L.Wang，“Non-fragile controllers of peak gain minimization for uncertain systems via LMI approach” Dynamic of Continuous， Discrete and Impulsive Systems， vol. 10， no.5，pp.681-693，2003.
关键词：线性系统;切换系统;扰动
中图分类号：O231 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2021）06-0011-04
1 引言
切换系统（Switched systems）是一类混杂系统，混杂系统的概念是1986年在美国加州Santa Clara大学举行的一次关于控制科学今后发展的专题研讨会上第一次提出，随之引起了计算机、数学以及国际控制界的高度重视，有关混杂系统的理论分析才被学者们系统地研究。混杂系统的提出能够更好地解决控制对象复杂的控制问题，如大型供电系统、机器人控制系统、计算机集中制造系统、复杂工业生产过程、飞行器空中控制系统等。在切换系统理论研究方面，系统的稳定性一直都是控制领域研究的热点问题，如何构造系统稳定的切换序列，即系统的镇定问题得到广泛研究。切换线性系统的状态变量在不同子系统之间切换时可能出现跳变，子系统的稳定性不等于整个系统的稳定性，每个子系统都是稳定的，但是整个系统可以是不稳定的;每个子系统都不稳定，在特殊的切换规则下整个系统可能是稳定的。切换系统既具有连续系统连续性特点，又具有离散性特点[1-3]。
混杂系统数学表达式可表示为：
H=（Rn×M，RP×∑，f，？覬） （1）
在上式中，H的混杂状态空间为Rn×M，输入空间为RP×∑，f，？覬两是两个作用函数。连续变量作用函数f：Df？哿Rn×M×RP→RP
离散变量作用函数？覬：D？覬？哿Rn×M×RP×∑→M
其状态方程为：
其中x（t）∈Rn为连续状态变量，i（t）∈M为离散状态变量，u（t）∈Rp为连续输入，？滓（t）∈∑为离散输入。连续输出y（t）=g（x（t），i（t），u（t）），离散输出Q+（t）= ？覬（x（t），i（t），u（t），？滓（t）），y（t）∈Rp，Q+（t）∈O。
1.1 切换系统
切换系统是由若干个子系统和相应的切换规则构成的一类特殊的混合动态系统。当混杂系统在切换时刻切换时系统状态不发生跳变，而且满足右连续性，这样的混杂系统就变为切换系统。切换系统通过各个子系统之间的切换行为实现预定性能指标。
切换系统的数学定义可描述为：
其中，x（t）∈Rn为系统状态向量，y（t）∈Rm为输出向量，u（t）∈Rp为输入向量。fi（t）：Rn×Rp→Rn，gi（t）：Rn×Rp→Rm为子系统模型充分光滑的非线性作用函数i（t）：R+=[0，+∞）→M={1，2，…，m}为系统分段常值的切换信号，是自然数集合，它依赖于时间或状态或时间与状态，并认为切换序列信号也是右连续的。
切换系统的复杂性主要是“切换”行为的引入，不是简单的子系统叠加。切换系统的稳定性与子系统和切换策略密切相关，系统的全局稳定性研究如何找到共同的Lyapunov函数，对任意的切换策略全局稳定。切换系统的延迟时间也是描述切换行为的重要工具。
1.2 切换线性系统
若（3）式所示的子系统模型函数可表示为如下一组仿射线性方程形式：
则切换系统变为切换线性系统。式中下标i={1，2，…，m}代表第i个子线性系统Ai∈Rn×n，Bi∈Rn×p，Ci∈Rn×n，Di∈Rn×p。若Ai，Bi，Ci，Di是时变矩阵，则系统（4）为时变切换线性系统。我们考虑在非时变情况下，即Ai，Bi，Ci，Di为与和时间没有关系的常系数矩阵，用∑（Ai，Bi，Ci，Di）表示（4）式所示的切换线性系统。对于切换线性系统来说，切换信号以及它的子系统在切换时刻都保持右连续性。切换线性系统的切换信号也是时间、状态或者时间和状态的函数。切换线性系统切换一般发生在切换面上，切换面一般写成如下形式的超曲面：
Hi=（x，t） i=1，2，…，m （5）
当系统状态变量经过切换面时发生切换。根据切换面提供的切换信号发生方式，可以将切换线性系统分为任意切换线性系统、设定切换线性系统、周期切换线性系统几种。
2 切换线性系统持续有界扰动抑制问题
2.1 研究背景和现状
在实践中，动力系统的持续有界扰动问题是一个值得关注的问题。文献最先研究了对线性系统的持续有界扰动抑制问题[4]。在文献中用信号范数来代替信号的峰值解决了离散时间系统和连续时间系统的L1优化控制问题[5]。综合这些控制器需要解决一系列的线性规划问题。线性系统的线性规划问题最近几年有普遍研究，不确定线性（脉冲）系统的线性规划问题多有讨论，然而对讨论切换（不确定）系统中持续有界扰动抑制问题的研究很少。切换系统是一类由多个子系统和协调各个子系统运行的切换规则组成的混杂动力系统。由于在理论和实践应用中的重要作用使得对切換系统的研究备受关注。在文献中总结了三个关于切换系统稳定性设计问题[6]。第一个是在任意切换序列下的稳定性问题，第二个是在某些有用的切换序列下的稳定性问题，最后一个是可镇定的切换序列的构造问题。对于第一个问题，Liberzon给出了在任意切换序列下稳定性的一些条件，对于第二个问题，主要使用经典李雅普诺夫理论的扩充的方法——多李雅普诺夫函数法。最后一个问题也获得了许多可用的结果。但是所有上述研究只限于不含控制输入的切换系统，并且对于切换系统的持续有界干扰抑制鲜有研究。受上面文章的启发，将研究关于不确定切换系统的持续有界扰动抑制问题，不仅考虑切换信号和参数不确定性的影响而且考虑控制输入。在这个方向得到了一些基本结论。具体而言，通过李雅普诺夫函数用正不变集的分析方法研究了受持续有界扰动的不确定切换系统的控制问题。 首先介紹了在任意切换序列下有界扰动抑制切换线性系统内稳的概念，用线性矩阵不等式给出了一个等价条件。然后将这个结果扩充到基于状态反馈的切换系统的镇定性问题上，从而获得一个简单的方法去设计控制器镇定系统并获得期望的性能。提出了一个使系统稳定并达到期望的干扰衰减水平的状态反馈控制器的设计的简单方法。本文还研究了参数不确定性的切换系统的类似问题，并给出了一些充分必要条件。最后用两个数值例子验证结果的正确性。
2.2 符号说明及引理
R表示实数集，Rn表示实n维实向量全体组成的空间，Rm×n是所有m行n列实矩阵集，BRp={w（·）∈RP：||w||2≤1}表示Rp空间中的闭单位球，AT表示矩阵A的转置，I表示具有相应维数的单位矩阵。
为了分析持续有界扰动抑制性，考虑系统∑：
其中x（·）：R→Rn，W（·）：R→RP和z（·）：R→Rp分别表示状态、外部扰动、可调输出向量。矩阵A，B，C，D是具有恰当维数的实常数矩阵，假设W：={w：R→BRP是可容许扰动集，W是可测的，L∞范数定义为 ||w||∞=：supt=||w（t）||2，集合？赘是不可逃逸集[7]，如果对于未来所有的时间t>0，系统0∈？赘，x（0）∈？赘，||w||∞≤1，则有x（t）∈？赘。即如果从初始状态的轨迹状态在该集合中，则在未来任何一段包括原点时间，它仍保留在该集合中。
证明 由定理1及引理显然成立。
4 结论
本文回顾了切换系统、线性系统的相关概念，讨论了一类不确定切换系统的持续有界干扰抑制问题。给出了一个等价条件，即不确定切换系统在任意切换下是内稳定的且具有强的扰动抑制期望性能，当且仅当每一个子系统是内稳定的且具有强的扰动抑制期望性能。用线性矩阵不等式保证了不确定系统的鲁棒稳定性和强的期望性能。
参考文献：
〔1〕阙志宏.线性系统理论[M].西安：西北工业大学出版社，1995.
〔2〕于长官.现代控制理论[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2005.
〔3〕郑大钟.线性系统理论（第二版）[M].北京：清华大学出版社，2014.
〔4〕M.Vidyasagar，“Optimal rejection of persistent bounded disturbances，” IEEE Trans. Automat. Contr. 31（06）： 527–535， 1986.
〔5〕M. A. Dahleh and J. B. Pearson， “l1-optimal feedback controllers for MIMO discrete-time systems，”， IEEE Trans. Automat. Contr.， 32（02）： 314–332， 1987.9
〔6〕A.S. Liberzon， and A.S. Morse， “Basic problems in stability and design of switched systems，” IEEE Contr. Syst. Mag.， vol. 19， no. 5， pp. 59–70， 1999.
〔7〕J. Abedor， K. Nagpal， and K. Poolla， “A linear matrix inequality approach to peak-to-peak gainminimization” ，Int. J. Robust and Nonlinear Control， vol. 6， pp. 899–927， 1996.
〔8〕S. Boyd， L. E. Ghaoui， E. Feron， and V. Balakrishnan， Linear matrix inequalities in system and control theory ， SIAM， Philadelphia， PA 1994.
〔9〕I. R. Petersen， “A stabilization algorithm for a class of uncertain linear systems，” Systems & Control Letters， vol. 8， pp. 351–357， 1987.
〔10〕F.Hao，T.Chu， L. Huang and L.Wang，“Non-fragile controllers of peak gain minimization for uncertain systems via LMI approach” Dynamic of Continuous， Discrete and Impulsive Systems， vol. 10， no.5，pp.681-693，2003.