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摘 要：学生对于学习数学，需进行反思性学习． 反思是数学活动的核心和动力，要指导学生反思，培养学生反思意识；通过反思，提高学生解题能力，让学生理清头绪，探求一题多解．
关键词：数学解题；反思意识；一题多解
目前，学生对于学习数学，由于数学认知结构水平的限制，表现出对知识不求甚解，热衷于做大量题，而不善于解题后对题目进行反思． 而数学的反思性学习这一环节，却是数学学习活动的最重要的一个环节． 不善于反思，缺乏解题后对解题方法、数学思维的概括，致使掌握知识的系统性较弱、结构性较差，解题能力得不到提高． 为了提高学生的数学学习效率，必须培养学生的反思意识，使他们有时间、有机会对自己的解题过程进行反思． 荷兰著名的数学教育家弗赖登塔尔指出：反思是数学活动的核心和动力． 因此，加强解题反思教学，提高高考复习效率，训练学生进行有效的解题反思势在必行． 本文拟从以下几个方面作些探究．
■指导学生反思，培养学生反思意识
反思就是从一个新的角度，多层次、多侧面地对问题及解决问题的思维过程进行全面的考察、分析和思考，从而进一步深化对问题的理解，揭示问题的本质，探索解决的一般规律，进而产生新的发现． 反思的目的也不仅仅为了回顾过去，或培养元认知意识，更重要的是指向未来的活动． 尤其是今天，当我们以创造性意识和解决新问题的能力，来作为衡量和评价学生数学学习成绩优劣的主要标准时，更应该重视引导和激励学生在数学活动中进行反思性学习．在学习过程中，反思是必不可少的一个重要环节． 它有助于学生对客观事物中所蕴涵的数学模式进行思考，从而帮助他们从题海中解脱出来，更加清晰地认识问题、理解问题．通过反思可以提高数学意识、优化思维品质；通过反思可以沟通新旧知识的联系，促进知识的同化和迁移，提高学习效率；通过反思可以拓宽思路、优化解法、完善学习活动中的积极性和主动性，促进学生的学习活动成为一种有目标、有策略的主动行为，不断地发现问题、提出问题，从而有效地培养学生勇于探索、勇于创新的精神． 平时，教师应该积极地指导学生反思，培养学生反思意识．
■通过反思，提高学生解题能力
1． 反思解题的思路，从而培养学生审题能力
解题思路就是将理解题意时所获信息和头脑中的信息结合起来，进行加工、重组与再生，使思维向目标靠近，实现问题解决的过程． 因此反思解题思路的形成过程就是对信息加工、重组与再生的反思，探索如何实现从初始状态到目标状态转化． 反思自己是否很好地理解了题意，是否弄清了题干与设问之间的内在联系，这个题求什么？知道什么？知与求之间有什么内在的关系？一开始自己是怎么想的？走过哪些弯路？碰到了哪些钉子？为什么会走这些弯路，碰到这些钉子的？之中有什么规律性的经验可以吸取？我的思考与老师或同学的思考有什么不同，其中的差距是什么？其原因是什么？解这样的题目要用到哪些知识？有什么样的常规方法？有没有特殊的方法？这个题的有效的突破口在哪里？如何较快地找到解题的突破口？选择哪条途径？……等等． 通过这样的反思，解题思路就会比较自然、有条理，从而大大地提高了解题观点和思维层次，审题能力也会跃上一个新的平台．
2． 反思解题的过程，从而理清头绪
在平时讲题和做题过程中，引导学生养成解题后积极反思解题过程的习惯． 这不仅仅是解题的回顾或体验，而是深究数学解题活动中所涉及的知识、方法、思路、策略等，分析解题的过程中有没有思维回路，哪些过程可以合并或转换，有没有更好的解法，积极寻求其他可能的解，拓展思路，优化思维方式，更好地理清解题头绪，提高解题能力．
案例1：从圆（x－1）2+（y－1）2=1外一点P（2，3），向该圆引切线PA，PB，切点为A，B，求直线AB的方程．
大部分的学生都是直接从条件入手来做的．
方法一：根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，先求出两条切线的方程分别是x=2和3x－4y+6=0，然后将切线方程和圆方程联立，求出切点A（2，1），B■，■，从而可以求出直线AB的方程为x+2y－4=0．
这种解法是大部分学生所采用的，因为它符合学生的思维特点，学生比较容易掌握，但是其中求切点的运算量比较大． 因此，引导学生反思解题的过程，有没有更加简洁的求切点的方法？学生马上发现A，B两点原来可以看成两圆的公共点．?摇?摇?摇?摇?摇
方法二：设已知圆的圆心为C，根据平面几何的知识可知：切点是以PC为直径的圆与圆C的交点，以PC为直径的圆的方程是x－■2+（y－2）2=■①，又圆C方程是（x－1）2+（y－1）2=1②，两式相减可得x+2y－4=0③，将③代入②，求得切点为A（2，1），B■，■，从而可以求出直线AB的方程为x+2y－4=0．此法充分运用平面几何的性质，减少了运算量，简化了解题过程．再进一步引导学生将所求直线AB的方程与③式比较，发现仍有值得改进的地方．
方法三：设切点坐标为（x，y），由方法二知，切点坐标满足方程①和②，则也满足③，说明了A，B两点在③式所表示的直线上，因此，方程③即为过切点A，B的直线方程．
此法避免了求切点，过程更简洁．通过这一改进过程，学生更好地掌握了两圆的相交弦问题，开阔了学生的视野，使学生的思维逐渐朝着灵活、广阔的方向发展，使学生在解题过程中迅速寻找出最佳解题方案，提高了学生灵活解题的能力，更好地理清了解题头绪．
3． 反思解题的方法，探求一题多解，从而提高综合解题能力
数学知识有机联系，纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法也是途径繁多的，但最终都能殊途同归． 在解题训练时要求学生不能仅仅满足于一种解法，应该鼓励他们进一步思考有没有其他的解法． 即使一次性解题合理正确，也未必能保证一次性解题就是最佳思路，最优最简洁的解法． 不能解完题就此罢手，如释重负，应该进一步反思，有没有其他的解法，探求一题多解．从中鉴别各种方法的作用与最佳方法，认识解题的核心问题与共同本质． 一题多解可以提高思维的灵活性，拓展学生的思路，培养学生的发散思维，从而可以提高解决数学综合问题的能力．
案例2：（2010全国大纲卷理10）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=_____．
解法一（向量法）：
y=2x－4，y2=4x?圯A（1，-2），B（4，4），而F（1，0），于是■=（0，-2），■=（3，4），故cos∠AFB=■=－■．
解法二（抛物线定义法）：
由y=2x－4，y2=4x?圯A（1，-2），B（4，4）． 由抛物线定义，有AF=2，BF=5，又AB=3■． 由余弦定理得，cos∠AFB=■=－■．
解法三（数形结合法）：
如图1，由y=2x－4，y2=4x ?圯A（1，-2），B（4，4）． 因为F（1，0），所以AF⊥x轴． 因为BF=5，过点B作BD⊥x轴于D，所以sin∠BFD=■=■，所以cos∠AFB=cos（90°+∠BFD）=－sin∠BFD=－■.
■
图1
解法四（面积法）：
如图1，S△AFB=S△FBC+S△FAC=■FC·（FA?摇+BD）. 容易求得AF=2，BF=5，FC=1，BD=4，
所以■FA·FB·sin∠AFB=3?圯sin∠AFB=■，
所以cos∠AFB=－■（∠AFB为钝角）．
一题多解的教学价值不是单纯为了让学生知道这道题有多种解法，而是促使学生再思考，学会从不同角度、不同的方法去审视、去思考，进而沟通知识之间的纵横联系，开阔学生的解题思路，训练和培养学生的发散思维能力，提高综合解题的能力．
4． 反思错题的原因，从而帮助学生弥补知识漏洞
心理学家盖耶认为：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富成效的学习时刻．” 错误是正确的先导，错误是通向成功的阶梯，学生犯错的过程应看做是一种尝试和创新的过程． 做错题目并不可怕，可怕的是没有从错误中找到原因，一错再错． 在平时的作业和考试中，学生总会有不少题目做错，在这些错题的背后，往往隐藏着学习知识过程中产生的漏洞．
笔者所在学校的一次高二月考中有一道填空题，有一半以上的学生出现了错误．
案例3：若平面上的动点P（x，y）到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离多1，则P的轨迹方程是________．
答案是：当x≥0时，y2=4x；当x＜0时，y=0．
但是大部分的学生认为答案是y2=4x． 因为P到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离多1，所以点P到定点F（1，0）的距离与P到定直线x=－1的距离相等，所以由抛物线的定义可知，点P的轨迹是以F（1，0）为焦点，x=－1为准线的抛物线，所以所求的P的轨迹方程是y2=4x．
错误出在哪里呢？原来抛物线的定义中，有个注意点，那就是定点F不在定直线l上． 但是当定点在定直线上时，这时点的轨迹是过定点F且与直线l垂直的一条直线． 在这题中，当x≥0时，定点F不在定直线l上，所以是抛物线；但是，当x＜0时，定点F在定直线l上，所以是直线了． 学生通过对这题错误的反思，更加深刻地理解了抛物线的定义，同时也能够很好地理解椭圆与双曲线定义中的注意点，从而帮助学生弥补了知识上的漏洞．
总之，学习数学的过程与数学解题紧密相关，而数学能力的提高在于解题的质量而非解题的数量． 提高学生解题质量，必须要进行反思． 解后反思是一个知识小结、方法提炼的过程；是一个吸取教训、逐步提高的过程；是一个收获希望的过程． 反思性数学学习的形成要靠教师的示范、引导，但重要的是要学生自己学会反思，并在数学学习中自觉地进行反思，强化反思意识，增强反思毅力，培养反思习惯．
关键词：数学解题；反思意识；一题多解
目前，学生对于学习数学，由于数学认知结构水平的限制，表现出对知识不求甚解，热衷于做大量题，而不善于解题后对题目进行反思． 而数学的反思性学习这一环节，却是数学学习活动的最重要的一个环节． 不善于反思，缺乏解题后对解题方法、数学思维的概括，致使掌握知识的系统性较弱、结构性较差，解题能力得不到提高． 为了提高学生的数学学习效率，必须培养学生的反思意识，使他们有时间、有机会对自己的解题过程进行反思． 荷兰著名的数学教育家弗赖登塔尔指出：反思是数学活动的核心和动力． 因此，加强解题反思教学，提高高考复习效率，训练学生进行有效的解题反思势在必行． 本文拟从以下几个方面作些探究．
■指导学生反思，培养学生反思意识
反思就是从一个新的角度，多层次、多侧面地对问题及解决问题的思维过程进行全面的考察、分析和思考，从而进一步深化对问题的理解，揭示问题的本质，探索解决的一般规律，进而产生新的发现． 反思的目的也不仅仅为了回顾过去，或培养元认知意识，更重要的是指向未来的活动． 尤其是今天，当我们以创造性意识和解决新问题的能力，来作为衡量和评价学生数学学习成绩优劣的主要标准时，更应该重视引导和激励学生在数学活动中进行反思性学习．在学习过程中，反思是必不可少的一个重要环节． 它有助于学生对客观事物中所蕴涵的数学模式进行思考，从而帮助他们从题海中解脱出来，更加清晰地认识问题、理解问题．通过反思可以提高数学意识、优化思维品质；通过反思可以沟通新旧知识的联系，促进知识的同化和迁移，提高学习效率；通过反思可以拓宽思路、优化解法、完善学习活动中的积极性和主动性，促进学生的学习活动成为一种有目标、有策略的主动行为，不断地发现问题、提出问题，从而有效地培养学生勇于探索、勇于创新的精神． 平时，教师应该积极地指导学生反思，培养学生反思意识．
■通过反思，提高学生解题能力
1． 反思解题的思路，从而培养学生审题能力
解题思路就是将理解题意时所获信息和头脑中的信息结合起来，进行加工、重组与再生，使思维向目标靠近，实现问题解决的过程． 因此反思解题思路的形成过程就是对信息加工、重组与再生的反思，探索如何实现从初始状态到目标状态转化． 反思自己是否很好地理解了题意，是否弄清了题干与设问之间的内在联系，这个题求什么？知道什么？知与求之间有什么内在的关系？一开始自己是怎么想的？走过哪些弯路？碰到了哪些钉子？为什么会走这些弯路，碰到这些钉子的？之中有什么规律性的经验可以吸取？我的思考与老师或同学的思考有什么不同，其中的差距是什么？其原因是什么？解这样的题目要用到哪些知识？有什么样的常规方法？有没有特殊的方法？这个题的有效的突破口在哪里？如何较快地找到解题的突破口？选择哪条途径？……等等． 通过这样的反思，解题思路就会比较自然、有条理，从而大大地提高了解题观点和思维层次，审题能力也会跃上一个新的平台．
2． 反思解题的过程，从而理清头绪
在平时讲题和做题过程中，引导学生养成解题后积极反思解题过程的习惯． 这不仅仅是解题的回顾或体验，而是深究数学解题活动中所涉及的知识、方法、思路、策略等，分析解题的过程中有没有思维回路，哪些过程可以合并或转换，有没有更好的解法，积极寻求其他可能的解，拓展思路，优化思维方式，更好地理清解题头绪，提高解题能力．
案例1：从圆（x－1）2+（y－1）2=1外一点P（2，3），向该圆引切线PA，PB，切点为A，B，求直线AB的方程．
大部分的学生都是直接从条件入手来做的．
方法一：根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，先求出两条切线的方程分别是x=2和3x－4y+6=0，然后将切线方程和圆方程联立，求出切点A（2，1），B■，■，从而可以求出直线AB的方程为x+2y－4=0．
这种解法是大部分学生所采用的，因为它符合学生的思维特点，学生比较容易掌握，但是其中求切点的运算量比较大． 因此，引导学生反思解题的过程，有没有更加简洁的求切点的方法？学生马上发现A，B两点原来可以看成两圆的公共点．?摇?摇?摇?摇?摇
方法二：设已知圆的圆心为C，根据平面几何的知识可知：切点是以PC为直径的圆与圆C的交点，以PC为直径的圆的方程是x－■2+（y－2）2=■①，又圆C方程是（x－1）2+（y－1）2=1②，两式相减可得x+2y－4=0③，将③代入②，求得切点为A（2，1），B■，■，从而可以求出直线AB的方程为x+2y－4=0．此法充分运用平面几何的性质，减少了运算量，简化了解题过程．再进一步引导学生将所求直线AB的方程与③式比较，发现仍有值得改进的地方．
方法三：设切点坐标为（x，y），由方法二知，切点坐标满足方程①和②，则也满足③，说明了A，B两点在③式所表示的直线上，因此，方程③即为过切点A，B的直线方程．
此法避免了求切点，过程更简洁．通过这一改进过程，学生更好地掌握了两圆的相交弦问题，开阔了学生的视野，使学生的思维逐渐朝着灵活、广阔的方向发展，使学生在解题过程中迅速寻找出最佳解题方案，提高了学生灵活解题的能力，更好地理清了解题头绪．
3． 反思解题的方法，探求一题多解，从而提高综合解题能力
数学知识有机联系，纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法也是途径繁多的，但最终都能殊途同归． 在解题训练时要求学生不能仅仅满足于一种解法，应该鼓励他们进一步思考有没有其他的解法． 即使一次性解题合理正确，也未必能保证一次性解题就是最佳思路，最优最简洁的解法． 不能解完题就此罢手，如释重负，应该进一步反思，有没有其他的解法，探求一题多解．从中鉴别各种方法的作用与最佳方法，认识解题的核心问题与共同本质． 一题多解可以提高思维的灵活性，拓展学生的思路，培养学生的发散思维，从而可以提高解决数学综合问题的能力．
案例2：（2010全国大纲卷理10）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=_____．
解法一（向量法）：
y=2x－4，y2=4x?圯A（1，-2），B（4，4），而F（1，0），于是■=（0，-2），■=（3，4），故cos∠AFB=■=－■．
解法二（抛物线定义法）：
由y=2x－4，y2=4x?圯A（1，-2），B（4，4）． 由抛物线定义，有AF=2，BF=5，又AB=3■． 由余弦定理得，cos∠AFB=■=－■．
解法三（数形结合法）：
如图1，由y=2x－4，y2=4x ?圯A（1，-2），B（4，4）． 因为F（1，0），所以AF⊥x轴． 因为BF=5，过点B作BD⊥x轴于D，所以sin∠BFD=■=■，所以cos∠AFB=cos（90°+∠BFD）=－sin∠BFD=－■.
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图1
解法四（面积法）：
如图1，S△AFB=S△FBC+S△FAC=■FC·（FA?摇+BD）. 容易求得AF=2，BF=5，FC=1，BD=4，
所以■FA·FB·sin∠AFB=3?圯sin∠AFB=■，
所以cos∠AFB=－■（∠AFB为钝角）．
一题多解的教学价值不是单纯为了让学生知道这道题有多种解法，而是促使学生再思考，学会从不同角度、不同的方法去审视、去思考，进而沟通知识之间的纵横联系，开阔学生的解题思路，训练和培养学生的发散思维能力，提高综合解题的能力．
4． 反思错题的原因，从而帮助学生弥补知识漏洞
心理学家盖耶认为：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富成效的学习时刻．” 错误是正确的先导，错误是通向成功的阶梯，学生犯错的过程应看做是一种尝试和创新的过程． 做错题目并不可怕，可怕的是没有从错误中找到原因，一错再错． 在平时的作业和考试中，学生总会有不少题目做错，在这些错题的背后，往往隐藏着学习知识过程中产生的漏洞．
笔者所在学校的一次高二月考中有一道填空题，有一半以上的学生出现了错误．
案例3：若平面上的动点P（x，y）到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离多1，则P的轨迹方程是________．
答案是：当x≥0时，y2=4x；当x＜0时，y=0．
但是大部分的学生认为答案是y2=4x． 因为P到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离多1，所以点P到定点F（1，0）的距离与P到定直线x=－1的距离相等，所以由抛物线的定义可知，点P的轨迹是以F（1，0）为焦点，x=－1为准线的抛物线，所以所求的P的轨迹方程是y2=4x．
错误出在哪里呢？原来抛物线的定义中，有个注意点，那就是定点F不在定直线l上． 但是当定点在定直线上时，这时点的轨迹是过定点F且与直线l垂直的一条直线． 在这题中，当x≥0时，定点F不在定直线l上，所以是抛物线；但是，当x＜0时，定点F在定直线l上，所以是直线了． 学生通过对这题错误的反思，更加深刻地理解了抛物线的定义，同时也能够很好地理解椭圆与双曲线定义中的注意点，从而帮助学生弥补了知识上的漏洞．
总之，学习数学的过程与数学解题紧密相关，而数学能力的提高在于解题的质量而非解题的数量． 提高学生解题质量，必须要进行反思． 解后反思是一个知识小结、方法提炼的过程；是一个吸取教训、逐步提高的过程；是一个收获希望的过程． 反思性数学学习的形成要靠教师的示范、引导，但重要的是要学生自己学会反思，并在数学学习中自觉地进行反思，强化反思意识，增强反思毅力，培养反思习惯．