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将图形放在平面直角坐标系中,我们可以求出各顶点的坐标,反过来,知道了一些点的坐标,我们还可以将各点顺次连接起来得到一些有趣的图形.主要包括用坐标来确定图形的位置、运动与坐标等.近年全国各地的中考试题中,出现了很多关于“图形与坐标”的试题,本文选取几例加以分析说明,供同学们学习时参考.
一、写出点的坐标
例1、图1的围棋盘放在某个平面直角坐标系内,白棋②的坐标为(-7,-4),白棋④的坐标为(-6,-8),那么黑棋①的坐标应该是 .
解析:本题以棋盘为背景,考查平面直角坐标系中点的坐标的确定.解题的关键是由白棋②、白棋④的坐标来建立平面直角坐标系,根据白棋②、白棋④、黑棋①的相对位置,确定黑棋①的坐标,答案为(-3,-7).
例2、如图2,若点E的坐标是(-2,1),点F的坐标为(1,-1),则点G的坐标为 .
解析:确定点G的坐标,关键在于直角坐标系的建立,而坐标系的建立必须符合已知的点E和F的坐标.由点E的横坐标可以确定纵轴,由E点的纵坐标可以确定横轴,由E和F的坐标可知每个小方格的边长恰是一个单位长,因此建立坐标系后易知点G的坐标是(1,2).
二、变换点的坐标
例3、已知△ABC在直角坐标系中的位置如图3所示,如果△A'B'C'与△ABC关于y轴对称,那么点A的对应点A'的坐标为().
A.(-4,2)B.(-4,-2)
C.(4,-2)D.(4,2)
解析:关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标相反.在图3中,A点的坐标是(-4,2),则A点关于y轴对称的对应点A'的坐标为(4,2),故选D.
点评:在平面直角坐标系中,求图形经过几何变换后点的坐标,应先准确作图,然后求坐标.
例4、如图4,已知三角形ABC,各顶点的坐标分别是A(1,2),B(2,4),C(-1,1),将三角形ABC向左平移4个单位长度,再向下平移3个单位长度,画出平移后的图形,并写出各顶点的坐标.
解析:根据点的坐标变化与点的坐标的关系,先画出三角形三个顶点平移后的坐标位置,然后顺次连接,即得平移后的图形.因为图形向左平移4个单位长度,向下平移3个单位长度,所以平移后得到A'、B'、C'三点对应点的坐标分别是
A'(1-4,2-3),B'(2-4,4-3),C'(-1-4,1-3),即
A'(-3,-1),B'(-2,1),C'(-5,-2).如图5(见下版),画出平移后的图形为图5所示.
例5、如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合,那么称点P与点Q关于点M对称,定点M叫做对称中心.此时,M是线段PQ的中点.如图6,在直角坐标系中,△ABO的顶点A、B、O的坐标分别为(1,0)、(0,1)、(0,0).点列P1、P2、P3、…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称:点P1与点P2关于点A对称,点P2与点P3关于点B对称,点P3与P4关于点O对称,点P4与点P5关于点A对称,点P5与点P6关于点B对称,点P6与点P7关于点O对称,….对称中心分别是A、B、O、A、B、O…,且这些对称中心依次循环.已知点P1的坐标是(1,1),试求出点P2、P7、P100的坐标.
解析:本题把阅读理解、规律探索与网格、坐标等有机地结合在一起,利用网格的特征,避免了机械计算.解题的关键是理解对称、对称中心,通过动手操作,作出符合题意的P1、P2、P3、P4、P5、P6…(如图7),即可求出P2、P7的坐标分别为(1,-1)、(1,1),通过归纳、推理可得P100的坐标为(1,-3).本题考查了学生的阅读理解能力、探索发现能力、归纳推理能力等综合能力.
三、根据点的坐标画图形
例6、在平面直角坐标系中,描出下列各组点,并用线段顺次连接起来,观察所得到的图形,说说它像什么?
(1).(1,1),(2,0),(7,0),(8,2),(6,1),(1,1);
(2).(6,1),(7,8);
(3).(5,7),(7,8),(7,3),(5,4),(5,7);
(4).(2,1),(6,7).
解析:本题是将每一组各点顺次连接起来.通过描点、连线,可以发现,所得到的图形是一只帆船(如图8).
例7、用围棋棋子可以在棋盘中摆出许多有趣的图案.如图9,在棋盘上建立平面直角坐标系,以直线y=x为对称轴,我们可以摆出一个轴对称图案(其中A与A'是对称点),你看它像不像一条美丽的鱼.
(1)请你在图10(见第15版)中,也用10枚以上的棋子摆出一个以直线y=x为对称轴的轴对称图案,并在所作的图形中找出两组对称点,分别标为(B,B'),(C,C')(注意棋子要摆在格点上);
(2)在给定的平面直角坐标系中,你标出的B、B'、 C、C'的坐标分别是:B( )、B'( )、C( )、
C'( );根据以上对称点坐标的规律,写出点P(a,b)关于对称轴y=x的对称点P'的坐标是( ).
一、写出点的坐标
例1、图1的围棋盘放在某个平面直角坐标系内,白棋②的坐标为(-7,-4),白棋④的坐标为(-6,-8),那么黑棋①的坐标应该是 .
解析:本题以棋盘为背景,考查平面直角坐标系中点的坐标的确定.解题的关键是由白棋②、白棋④的坐标来建立平面直角坐标系,根据白棋②、白棋④、黑棋①的相对位置,确定黑棋①的坐标,答案为(-3,-7).
例2、如图2,若点E的坐标是(-2,1),点F的坐标为(1,-1),则点G的坐标为 .
解析:确定点G的坐标,关键在于直角坐标系的建立,而坐标系的建立必须符合已知的点E和F的坐标.由点E的横坐标可以确定纵轴,由E点的纵坐标可以确定横轴,由E和F的坐标可知每个小方格的边长恰是一个单位长,因此建立坐标系后易知点G的坐标是(1,2).
二、变换点的坐标
例3、已知△ABC在直角坐标系中的位置如图3所示,如果△A'B'C'与△ABC关于y轴对称,那么点A的对应点A'的坐标为().
A.(-4,2)B.(-4,-2)
C.(4,-2)D.(4,2)
解析:关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标相反.在图3中,A点的坐标是(-4,2),则A点关于y轴对称的对应点A'的坐标为(4,2),故选D.
点评:在平面直角坐标系中,求图形经过几何变换后点的坐标,应先准确作图,然后求坐标.
例4、如图4,已知三角形ABC,各顶点的坐标分别是A(1,2),B(2,4),C(-1,1),将三角形ABC向左平移4个单位长度,再向下平移3个单位长度,画出平移后的图形,并写出各顶点的坐标.
解析:根据点的坐标变化与点的坐标的关系,先画出三角形三个顶点平移后的坐标位置,然后顺次连接,即得平移后的图形.因为图形向左平移4个单位长度,向下平移3个单位长度,所以平移后得到A'、B'、C'三点对应点的坐标分别是
A'(1-4,2-3),B'(2-4,4-3),C'(-1-4,1-3),即
A'(-3,-1),B'(-2,1),C'(-5,-2).如图5(见下版),画出平移后的图形为图5所示.
例5、如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合,那么称点P与点Q关于点M对称,定点M叫做对称中心.此时,M是线段PQ的中点.如图6,在直角坐标系中,△ABO的顶点A、B、O的坐标分别为(1,0)、(0,1)、(0,0).点列P1、P2、P3、…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称:点P1与点P2关于点A对称,点P2与点P3关于点B对称,点P3与P4关于点O对称,点P4与点P5关于点A对称,点P5与点P6关于点B对称,点P6与点P7关于点O对称,….对称中心分别是A、B、O、A、B、O…,且这些对称中心依次循环.已知点P1的坐标是(1,1),试求出点P2、P7、P100的坐标.
解析:本题把阅读理解、规律探索与网格、坐标等有机地结合在一起,利用网格的特征,避免了机械计算.解题的关键是理解对称、对称中心,通过动手操作,作出符合题意的P1、P2、P3、P4、P5、P6…(如图7),即可求出P2、P7的坐标分别为(1,-1)、(1,1),通过归纳、推理可得P100的坐标为(1,-3).本题考查了学生的阅读理解能力、探索发现能力、归纳推理能力等综合能力.
三、根据点的坐标画图形
例6、在平面直角坐标系中,描出下列各组点,并用线段顺次连接起来,观察所得到的图形,说说它像什么?
(1).(1,1),(2,0),(7,0),(8,2),(6,1),(1,1);
(2).(6,1),(7,8);
(3).(5,7),(7,8),(7,3),(5,4),(5,7);
(4).(2,1),(6,7).
解析:本题是将每一组各点顺次连接起来.通过描点、连线,可以发现,所得到的图形是一只帆船(如图8).
例7、用围棋棋子可以在棋盘中摆出许多有趣的图案.如图9,在棋盘上建立平面直角坐标系,以直线y=x为对称轴,我们可以摆出一个轴对称图案(其中A与A'是对称点),你看它像不像一条美丽的鱼.
(1)请你在图10(见第15版)中,也用10枚以上的棋子摆出一个以直线y=x为对称轴的轴对称图案,并在所作的图形中找出两组对称点,分别标为(B,B'),(C,C')(注意棋子要摆在格点上);
(2)在给定的平面直角坐标系中,你标出的B、B'、 C、C'的坐标分别是:B( )、B'( )、C( )、
C'( );根据以上对称点坐标的规律,写出点P(a,b)关于对称轴y=x的对称点P'的坐标是( ).