曲线系方程的应用

• 作 者: 王冲
• 出 处: 新校园(下)
• 发表日期: 2015年1期
• 关键词: 椭圆方程 中学数学课 解题技巧 公共弦 圆相 两圆相切 标准方程 连心线 共线 辩证思想

　　一、直线系方程
　　1.过定点的直线系
　　（1）直线y=kx+b（其中k为参数，b为常数）表示过定点（0，b）的直线系，但不包括轴。（2）直线y-y0=k（x-x0）（其中k为参数）表示过点（x0，y0）的直线系，但不包括直线x=x0。
　　2.平行直线系
　　（1）直线y=kx+b（其中b为参数，k为常数）表示斜率为k的平行直线系。（2）与已知直线l：Ax+By+C=0平行的直线系为Ax+By+m=0（m为参数，m≠C）。
　　3.垂直直线系
　　（1）与直线y=kx+b（其中b为参数，k为常数）垂直的直线系方程为y=-x+m。（2）与已知直线l：Ax+By+C=0垂直的直线系为Bx-Ay+m=0（m为参数）。
　　4.经过两条直线的交点的直线系
　　已知直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线l2：A2x+B2y+C2=0相交，则经过它们交点的直线系为m（A1x+B1y+C1）+n（A2x+B2y+C2）=0（m，n为参数且m2+n2≠0）或A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0（λ为参数），但不包括直线l2。
　　二、圆系方程
　　1.同心圆系方程
　　（x-x0）2+（y-y0）2=r2，其中（x0，y0）为常数，r为参数。
　　2.同心共线半径相等的圆系方程
　　（x-x0）2+（y-y0）2=r2（r为常数，点（x0，y0）在Ax+By+C=0）。
　　3.过直线与圆交点的圆系方程
　　设：l1：Ax+By+C=0与圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0相交，则过直线l与C的交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ（Ax+By+C）=0。
　　例：求过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点且过原点的圆的方程。
　　解：设所求圆的方程为：x2+y2+2x-4y+1+λ（2x+y+4）=0，因为圆过原点，所以经过计算得：λ=-，代入上式得圆的方程为：x2+y2+x-y=0。
　　4.过已知圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=
　　0的交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ≠1）
　　注：当λ=-1时，方程变为（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0，表示为过CA和C2交点的直线。
　　（1）当两圆为同心圆时，该直线不存在；（2）当两圆相交时，该直线为两圆公共弦所在直线；（3）当两圆相切时，该直线为两圆的公切线；（4）当两圆相离时，该直线为与两圆连心线垂直的直线。
　　三、椭圆系方程
　　1.与椭圆+=1（a>b>0）共焦点的椭圆系方程为：+=1（k>-b2）或+=1（k　　例：求经过点（2，-3）且与椭圆9x2+4y2=36有共同焦点的椭圆方程。
　　解：因为椭圆的标准方程为+=1，所以设+=1（k<4），将点（2，-3）代入上式可得k=-6，所求椭圆方程为+=1.
　　2.与双曲线-=1（a>0，b>0）共焦点的椭圆系方程为：+=1（k>b2）
　　四、双曲线系方程
　　1.与已知双曲线-=1（a>0，b>0）共焦点的双曲线系方程为：-=1（-b2　　2.与已知椭圆+=1（a>b>0）共焦点的双曲线方程为+=1（b2　　例：求与椭圆+=1共焦点且经过点M（3，2）的双曲线方程。
　　解：设双曲线方程为+=1（36　　3.与已知双曲线-=1（a>0，b>0）共渐近线的双曲线系方程为：-=k（k≠0）
　　例：求与双曲线-=1有共同点渐近线，且经过点M（-3，2）的双曲线方程。
　　解：设所求双曲线方程为-=λ（λ≠0），将点M（-3，2）代入上式得：λ=，故所求双曲线方程为：-=1。
　　利用曲线系来解题，是解析几何中重要的解题技巧，它充分体现了运动变化的辩证思想。现行中学数学课本中没有正面提及曲线系概念，但是在习题和复习题中均有所涉及。教师要能通过钻研教材，洞察某些习题的背景，在教学中有意识地引导学生研讨。