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3.2一次函数
考点、易混易错点解读
考点：一次函数的图象与性质，用待定系数法确定一次函数解析式，一次函数与反比例函数、三角形、四边形的综合问题，一次函数的实际应用，
易混易错点：（1）正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
（2）涉及实际问题的一次函数图象不一定是直线，也可能是线段、射线，所以构建一次函数模型解决实际问题时要注意考虑自变量的取值范围.
（3）一次函数的图象是直线，但直线不一定是一次函数的图象，例如平行于坐标轴的直线不是一次函数的图象，
高頻考点例题点拨
高频考点1 一次函数的图象与性质
例1 （2019 临沂）下列关于一次函数y=kx+b （k<0，b>0）的说法，错误的是（
）.
A.图象经过第一、二、四象限
B.y随x的增大而减小
C.图象与y轴交于点（0，b）
D.当x>-b/k时，y>0误.选D.
点拨：一次函数y=kx+b的图象是一条直线，k、b决定函数图象的位置.一次函数y=kx+b的增减性由k的正负性决定，当k>0时，y随x的增大而增大;当k<0时，y随x的增大而减小.以上结论也可以逆向应用，
高频考点2用待定系数法确定一次函数解析式
例2（2019.苏州）若一次函数y=kx+b（k，6为常数，且k≠0）的图象经过点A（0，-1），B（1，1），则不等式kx+b>1的解集为（
）.
A.x<0
B.x>0
C.x<1
D.x>1
解析：把点A、B的坐标代人一次函数解析式，可得k=2，b=-1，故一次函数的解析式为y=2x-1.解不等式2x-1>1.得x>1.选D.
点拨：用待定系数法求一次函数解析式时，把满足条件的点坐标代人一次函数的解析式，列出关于k、b的二元一次方程组，得出k、b的值.根据数形结合的数学思想利用函数与方程、不等式之间的联系可以解决很多问题.例如，求函数图象的交点坐标，可联立关于函数解析式的方程组，解方程组，得到的方程组的解就是交点横、纵坐标的值.又例如，解不等式可以看作两个函数值比较大小，通过函数图象可以直接判断.
高频考点3 一次函数与反比例函数的综合应用
点拨：本题是一次函数与反比例函数的综合应用问题，解答时用到待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点坐标的方法等，根据坐标轴上点的坐标特征（y轴上点的横坐标为0，x轴上点的纵坐标为0），可确定一次函数图象与坐标轴的交点坐标.
高频考点4 一次函数在实际问题中的应用
例4 （2019.南充）在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支笔、一个笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元.
（1）钢笔和笔记本的单价分别为多少元？
（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加1支单价降低0.1元：超过50支时，均按购买50支的单价销售.笔记本一律按原价销售.学校计划奖励获得一、二等奖的学生共计100人，其中获得一等奖的学生不少于30人，且不超过60人.当这次奖励获得一等奖的学生为多少人时，购买奖品的总金额最少？最少为多少元？
解析： （1）设钢笔、笔记本的单价分别为x元、y元.
∴钢笔、笔记本的单价分别为10元、6元.
（2）设钢笔单价为a元，购买的数量为6支，购买钢笔和笔记本的总金额为W元，
①当30≤b≤50时，a=10-0.1（b-30） =-O.1b+13.
W=b（-0.1b+13）+6 （100-b）=-0.1 （b-35）2+722.5.
当b=35时，W取得最大值722.5.当b=50时，W取得最小值700.
∴700≤W≤722.5.
②当50
因为2>0.所以W随b的增大而增大，
.’.700
综上可知，当30≤b≤60时，W的最小值为700.
∴当这次奖励获得一等奖的学生为50人时，购买奖品的总金额最少，最少为700元.
点拨：求二次函数的最值时，注意最值不一定在抛物线顶点处取得，要考虑函数自变量的取值范围.对于一次函数y=kx+b，增减性由k的正负性决定，要根据自变量的取值范围求最值.
例5某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准.按照新标准，用户每月缴纳的水费y（元）与每月用水量x（ m3）之间的关系如图2所示.
（1）求y关于x的函数解析式.
（2）若某用户二、三月份共用水40m3（=月份用水量不超过25 m3），缴纳水费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少立方米？
8 （1）当0≤x≤15时，设y=mx，则15m=27.得m=1.8.
（2）设二月份的用水量是am3，则三月份用水（40-a）m3.
∵二月份用水量不超过25 m3。
∴40-a≥15，即三月份的用水量不少于15 m3.
①当0≤a≤15时，由题意得1.8a+2.4（40-a） -9=79.8，解得a=12，则40-a=28.
②当15≤a≤25时，这两个月用水量均不少于15 m3，故2.4a-9+2.4 （40-a） -9=79.8，此方程无解， 综上可知，该用户二、三月份用水量分别是12 m3和28 m3.
点拨：实际问题中的函数模型通常是分段函数，本题中x=15就是一个关键节点.尽管第（2）问最终答案唯一，但如果不分类讨论，就有失推理的缜密性，
解析：先将点P（n，-4）的坐标代入y=-x-2，求出n的值，再找出直线y=2x+m在直线y=-x-2的下方且都在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可，
∵ 一次函数y=-x-2的图象过点P（n，-4），
∴ -4=-n-2.解得n=2.
∴P的坐标为（2，-4）.
又直线y=-x-2与x轴的交点是（-2，0），
∴关于x的不等式组2x+m<-x-2<0的解集为-2
点拨：本题体现了数形结合的思想方法.要弄清楚一元一次不等式组的解集与一次函數自变量的关系，然后结合函数图象解题.
中考命题预测
1.已知一次函数y=（k-3）x+l的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是 ___.
2.如图4，直线y=一3/4x-3交x轴于点A， 交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，1个单位长度为半径作⊙P当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是 ____
.
3.如图5，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=k2/x的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标 为（-1，4），点B的坐标为（4，n）.
（1）根据图象直接写出满足k1x+b> k2/x的x的取值范围.
（2）求这两个函数的表达式.
（3）点p在线段AB上，连接OA，OB，OP，恰有S△AOP：S△BOP=1：2，求点P的坐标.
4.学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品，已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元：购买5个A奖品和4个B奖品共需210元.
（1）求A、B两种奖品的单价.
（2）学校准备购买A、B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的÷，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由.
5.某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用，该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元.目前两家超市同时在做促销活动，
A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售.
B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球，
设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA元，在日超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB元.请解答下列问题：
（1）分别写出yA、yB与x之间的关系式.
（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？
（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案。
6.小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象l1，l2，如图6所示，他解的这个方程组是（
）.
考点、易混易错点解读
考点：一次函数的图象与性质，用待定系数法确定一次函数解析式，一次函数与反比例函数、三角形、四边形的综合问题，一次函数的实际应用，
易混易错点：（1）正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
（2）涉及实际问题的一次函数图象不一定是直线，也可能是线段、射线，所以构建一次函数模型解决实际问题时要注意考虑自变量的取值范围.
（3）一次函数的图象是直线，但直线不一定是一次函数的图象，例如平行于坐标轴的直线不是一次函数的图象，
高頻考点例题点拨
高频考点1 一次函数的图象与性质
例1 （2019 临沂）下列关于一次函数y=kx+b （k<0，b>0）的说法，错误的是（
）.
A.图象经过第一、二、四象限
B.y随x的增大而减小
C.图象与y轴交于点（0，b）
D.当x>-b/k时，y>0误.选D.
点拨：一次函数y=kx+b的图象是一条直线，k、b决定函数图象的位置.一次函数y=kx+b的增减性由k的正负性决定，当k>0时，y随x的增大而增大;当k<0时，y随x的增大而减小.以上结论也可以逆向应用，
高频考点2用待定系数法确定一次函数解析式
例2（2019.苏州）若一次函数y=kx+b（k，6为常数，且k≠0）的图象经过点A（0，-1），B（1，1），则不等式kx+b>1的解集为（
）.
A.x<0
B.x>0
C.x<1
D.x>1
解析：把点A、B的坐标代人一次函数解析式，可得k=2，b=-1，故一次函数的解析式为y=2x-1.解不等式2x-1>1.得x>1.选D.
点拨：用待定系数法求一次函数解析式时，把满足条件的点坐标代人一次函数的解析式，列出关于k、b的二元一次方程组，得出k、b的值.根据数形结合的数学思想利用函数与方程、不等式之间的联系可以解决很多问题.例如，求函数图象的交点坐标，可联立关于函数解析式的方程组，解方程组，得到的方程组的解就是交点横、纵坐标的值.又例如，解不等式可以看作两个函数值比较大小，通过函数图象可以直接判断.
高频考点3 一次函数与反比例函数的综合应用
点拨：本题是一次函数与反比例函数的综合应用问题，解答时用到待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点坐标的方法等，根据坐标轴上点的坐标特征（y轴上点的横坐标为0，x轴上点的纵坐标为0），可确定一次函数图象与坐标轴的交点坐标.
高频考点4 一次函数在实际问题中的应用
例4 （2019.南充）在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支笔、一个笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元.
（1）钢笔和笔记本的单价分别为多少元？
（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加1支单价降低0.1元：超过50支时，均按购买50支的单价销售.笔记本一律按原价销售.学校计划奖励获得一、二等奖的学生共计100人，其中获得一等奖的学生不少于30人，且不超过60人.当这次奖励获得一等奖的学生为多少人时，购买奖品的总金额最少？最少为多少元？
解析： （1）设钢笔、笔记本的单价分别为x元、y元.
∴钢笔、笔记本的单价分别为10元、6元.
（2）设钢笔单价为a元，购买的数量为6支，购买钢笔和笔记本的总金额为W元，
①当30≤b≤50时，a=10-0.1（b-30） =-O.1b+13.
W=b（-0.1b+13）+6 （100-b）=-0.1 （b-35）2+722.5.
当b=35时，W取得最大值722.5.当b=50时，W取得最小值700.
∴700≤W≤722.5.
②当50
因为2>0.所以W随b的增大而增大，
.’.700
综上可知，当30≤b≤60时，W的最小值为700.
∴当这次奖励获得一等奖的学生为50人时，购买奖品的总金额最少，最少为700元.
点拨：求二次函数的最值时，注意最值不一定在抛物线顶点处取得，要考虑函数自变量的取值范围.对于一次函数y=kx+b，增减性由k的正负性决定，要根据自变量的取值范围求最值.
例5某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准.按照新标准，用户每月缴纳的水费y（元）与每月用水量x（ m3）之间的关系如图2所示.
（1）求y关于x的函数解析式.
（2）若某用户二、三月份共用水40m3（=月份用水量不超过25 m3），缴纳水费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少立方米？
8 （1）当0≤x≤15时，设y=mx，则15m=27.得m=1.8.
（2）设二月份的用水量是am3，则三月份用水（40-a）m3.
∵二月份用水量不超过25 m3。
∴40-a≥15，即三月份的用水量不少于15 m3.
①当0≤a≤15时，由题意得1.8a+2.4（40-a） -9=79.8，解得a=12，则40-a=28.
②当15≤a≤25时，这两个月用水量均不少于15 m3，故2.4a-9+2.4 （40-a） -9=79.8，此方程无解， 综上可知，该用户二、三月份用水量分别是12 m3和28 m3.
点拨：实际问题中的函数模型通常是分段函数，本题中x=15就是一个关键节点.尽管第（2）问最终答案唯一，但如果不分类讨论，就有失推理的缜密性，
解析：先将点P（n，-4）的坐标代入y=-x-2，求出n的值，再找出直线y=2x+m在直线y=-x-2的下方且都在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可，
∵ 一次函数y=-x-2的图象过点P（n，-4），
∴ -4=-n-2.解得n=2.
∴P的坐标为（2，-4）.
又直线y=-x-2与x轴的交点是（-2，0），
∴关于x的不等式组2x+m<-x-2<0的解集为-2
点拨：本题体现了数形结合的思想方法.要弄清楚一元一次不等式组的解集与一次函數自变量的关系，然后结合函数图象解题.
中考命题预测
1.已知一次函数y=（k-3）x+l的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是 ___.
2.如图4，直线y=一3/4x-3交x轴于点A， 交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，1个单位长度为半径作⊙P当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是 ____
.
3.如图5，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=k2/x的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标 为（-1，4），点B的坐标为（4，n）.
（1）根据图象直接写出满足k1x+b> k2/x的x的取值范围.
（2）求这两个函数的表达式.
（3）点p在线段AB上，连接OA，OB，OP，恰有S△AOP：S△BOP=1：2，求点P的坐标.
4.学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品，已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元：购买5个A奖品和4个B奖品共需210元.
（1）求A、B两种奖品的单价.
（2）学校准备购买A、B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的÷，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由.
5.某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用，该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元.目前两家超市同时在做促销活动，
A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售.
B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球，
设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA元，在日超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB元.请解答下列问题：
（1）分别写出yA、yB与x之间的关系式.
（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？
（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案。
6.小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象l1，l2，如图6所示，他解的这个方程组是（
）.