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带电粒子在磁场中运动时，可能会受到洛伦兹力的作用，其大小跟速度与磁场方向的夹角有关. 当带电粒子的速度与磁场方向夹角为[θ]时，有[F洛=qvBsinθ]，洛伦兹力的方向垂直于速度[v]和磁感应强度[B]所决定的平面.注意[θ=0]时[F洛=0]和[θ=π2]时[F洛=qvB]两种特殊情况.无论带电粒子做什么运动，洛伦兹力均与速度垂直，都不做功. 洛伦兹力的方向用左手定则判断.
一、直线运动
若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向平行，则粒子不受洛伦兹力，做匀速直线运动.如果有其它力存在，但只要垂直于运动方向的合力为0，也可以做直线运动.
例1 如图1，带电量为[+q]、质量为[m]的小球从倾角为[θ]的足够长的光滑斜面上由静止下滑，匀强磁场的方向垂直纸面向外，磁感应强度为[B]. 求小球在斜面上滑行的最大速度及最大距离.
解析 小球沿光滑斜面下滑时，受力如图2，有
[FN+Bqv=mgcosθ]
当[FN]=0时，小球离开斜面.此时小球速度最大
[vm=mgcosθqB]
当小球在斜面上运动时，所受合外力为[mgsinθ]，根据牛顿第二定律，可得小球的加速度[a=gsinθ].又因小球的初速度[v0=0]，据匀变速运动的公式，可得最大距离[lm=m2gcos2θ2q2B2sinθ]
点拨 本例洛伦兹力的变化只影响弹力，因斜面光滑，不存在摩擦力，对沿斜面方向的运动没有影响.因而在沿斜面的运动方向上加速度不变，做匀变速直线运动.如果斜面不光滑，则不一样：洛伦兹力的变化所引起的弹力的减小还将进一步引起摩擦力减小，导致加速度变大，小球将做加速度变大的变加速运动.
例2 如图3，质量是[m]的小球带有正电荷，电荷量为[q]，小球中间有一孔，套在足够长的绝缘细杆上. 杆与水平方向成夹角[θ]，与球之间的动摩擦因数为[μ]，此装置放在沿水平方向、磁感应强度为[B]的匀强磁场中. 若从高处将小球无初速释放，讨论小球下滑过程中加速度的最大值和运动速度的最大值.
解析 先分析带电小球的受力，如图4甲，在释放点[a]处，由于初速度为零，不受洛伦兹力.随着小球的加速运动，产生大小逐渐增加、方向垂直细杆斜向上的洛伦兹力，在[b]处为一般情况，有
[∑Fx=mgsinθ-Ff=ma∑Fy=FN+F洛-mgcosθ=0Ff=μFN]
[c]处洛伦兹力与重力在垂直细杆方向的分力平衡，不受弹力，从而不受摩擦力，则加速度
随着小球的继续加速，洛伦兹力继续增大，小球受到的弹力将反向，变为垂直于细杆斜向下，这时又恢复了摩擦力，且逐渐增大，使小球的加速度逐渐减小.当摩擦力[Ff]与重力沿斜面方向的分力平衡时，小球的加速运动结束，将做匀速直线运动，速度也达到最大值，如图中[d]位置，有[∑Fx=mgsinθ-Ff=ma=0∑Fy=FN-F洛+mgcosθ=0Ff=μFN]
则[FN+mgcosθ=Bqvm]，[Ff=mgsinθ]，得[vm=mgqBsinθμ+cosθ]. 从[c]到[d]，做加速度减小的加速运动，在[d]之后做匀速运动，小球的[v-t]图象如图4乙.
二、匀速圆周运动
带电粒子在匀强磁场中常常不计重力，它的运动一般有三种情况：一是当带电粒子的运动方向与磁场方向平行时，做匀速直线运动；二是当带电粒子的运动方向与匀强磁场方向垂直时，做匀速圆周运动；三是当带电粒子既不垂直也不平行射入匀强磁场时，沿磁感线方向不受力，做匀速直线运动，垂直于磁场方向受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动，合运动为螺旋运动.
在匀速圆周运动中，通常注意以下两个方面.
1. 受力关系：洛伦兹力提供向心力，沿半径方向建立坐标系，列牛顿第二定律关系.
2. 几何关系：找出几何特点，通过几何作图确定三个点，即进场点、出场点和圆心，画出轨迹，再列勾股定理或三角函数关系式.
例3 在真空中半径[r=2×10-2m]的圆形区域内有一匀强磁场，磁场的磁感应强度[B=0.3T]，方向如图5，在[O]处有一放射源，可沿纸面向各个方向射出速率均为[v0=1.2×106m/s]的带正电粒子. 已知该粒子的荷质比[qm=1×108C/kg]，不计粒子重力，求粒子在磁场中运动的最长时间.
解析 由[t=θ2π×T]可知，在比荷一定时，若[α]最大，则粒子在磁场中运动的时间最长，且其所对的弦最长，而入射点与出射点间的距离即弦长.所以粒子要在磁场中的运动时间最长，必定从[O]点进，而从[M]点出，如图6. 有
[R=mvqB=1.0×10-8×1.2×106×10.3m=4.0×10-2m]
由弦[OM]和半径[R]可作出粒子在磁场中的运动轨迹，由图易知[α=π3].则粒子在磁场中运动的最长时间为[t=α?mqB=π3×10×10-8×10.3s=π9×10-7s]
点拨 粒子通过圆形磁场区域在[OM]之间运动时，明显地具有对称性. 如图7甲，粒子的运动轨迹关于入射点[P]与出射点[Q]的中垂线对称，轨迹圆心[O]位于对称线上，入射速度、出射速度与[PQ]线间的夹角（也称为弦切角）相等，并有[φ=α=2θ=ωt].
带电粒子在圆形磁场中运动时的对称性规律常常运用到. 如图7乙，从磁场的直边界射入的粒子，若再从此边界射出，则速度方向与边界的夹角相等.
如图7丙，如在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子必沿径向射出，即出磁场时速度方向反向必过圆心.
例4 如图8，加速电场[M、N]板间距离为[L]，电压为[U]，[M]板内侧中点处有一静止的电子，质量为[m]，电量为[e]. [N]板中点处有一小孔[S1]，其右侧有一内壁光滑半径为[R]的金属圆筒，圆筒内有垂直圆筒横截面方向的匀强磁场，磁感应强度为[B]，圆筒壁上有一小孔[S2]，电子与[S1]、[S2]和圆心[O]在同一直线上，[S1]与圆心[O]的距离为[d（d>R）]. 电子经电场加速后射入圆筒，在圆筒壁上碰撞[n]次后回到出发点. 不计重力，设碰撞过程无动能损失，求电子运动的周期.
解析 电子在电场中运动的加速度为[a=eUmL]，设电子在电场中的运动时间为[t1]，有
[L=12at2=12（eUmL）t12U=12mv2]
[则t1=L2meU]
设电子在[S1][S2]的运动时间为[t2]，有
[t2=d-Rv=d-R2qUm=（d-R）m2eU]
设电子与筒壁碰撞次数为[n]，由于碰撞是弹性的，可得出电子运动的轨迹是对称的，且每次碰撞后速度方向仍指向圆心.
因[Bev0=mv20r]，电子在磁场中做圆周运动的周期[T=2πmeB.]
电子在圆筒内经[n]次碰撞转过的角度
[θ=（n+1）π-2π=（n-1）π]
则电子在磁场中的运动时间
[t3=θ2πT=n-12T=（n-1）mπeB]
电子运动的周期
[T=2t1+2t2+t3=2L2meU+2（d-R）m2eU]
[+（n-1）mπeB（n=2，3，4…）.]
点拨 多解可能因磁场方向不确定、电荷的电性正负不确定、磁场边界的约束、临界状态的多种可能、运动轨迹的周期性以及粒子的速度大小和方向变化等形成. 本题当带电粒子在圆形磁场中运动时，因带电粒子运动轨道的对称性而形成的多解. 应用粒子运动轨迹的对称性，其关键是要确定粒子在圆筒内经[n]次碰撞转过的角度[θ=（n+1）π-2π=（n-1）π].
一、直线运动
若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向平行，则粒子不受洛伦兹力，做匀速直线运动.如果有其它力存在，但只要垂直于运动方向的合力为0，也可以做直线运动.
例1 如图1，带电量为[+q]、质量为[m]的小球从倾角为[θ]的足够长的光滑斜面上由静止下滑，匀强磁场的方向垂直纸面向外，磁感应强度为[B]. 求小球在斜面上滑行的最大速度及最大距离.
解析 小球沿光滑斜面下滑时，受力如图2，有
[FN+Bqv=mgcosθ]
当[FN]=0时，小球离开斜面.此时小球速度最大
[vm=mgcosθqB]
当小球在斜面上运动时，所受合外力为[mgsinθ]，根据牛顿第二定律，可得小球的加速度[a=gsinθ].又因小球的初速度[v0=0]，据匀变速运动的公式，可得最大距离[lm=m2gcos2θ2q2B2sinθ]
点拨 本例洛伦兹力的变化只影响弹力，因斜面光滑，不存在摩擦力，对沿斜面方向的运动没有影响.因而在沿斜面的运动方向上加速度不变，做匀变速直线运动.如果斜面不光滑，则不一样：洛伦兹力的变化所引起的弹力的减小还将进一步引起摩擦力减小，导致加速度变大，小球将做加速度变大的变加速运动.
例2 如图3，质量是[m]的小球带有正电荷，电荷量为[q]，小球中间有一孔，套在足够长的绝缘细杆上. 杆与水平方向成夹角[θ]，与球之间的动摩擦因数为[μ]，此装置放在沿水平方向、磁感应强度为[B]的匀强磁场中. 若从高处将小球无初速释放，讨论小球下滑过程中加速度的最大值和运动速度的最大值.
解析 先分析带电小球的受力，如图4甲，在释放点[a]处，由于初速度为零，不受洛伦兹力.随着小球的加速运动，产生大小逐渐增加、方向垂直细杆斜向上的洛伦兹力，在[b]处为一般情况，有
[∑Fx=mgsinθ-Ff=ma∑Fy=FN+F洛-mgcosθ=0Ff=μFN]
[c]处洛伦兹力与重力在垂直细杆方向的分力平衡，不受弹力，从而不受摩擦力，则加速度
随着小球的继续加速，洛伦兹力继续增大，小球受到的弹力将反向，变为垂直于细杆斜向下，这时又恢复了摩擦力，且逐渐增大，使小球的加速度逐渐减小.当摩擦力[Ff]与重力沿斜面方向的分力平衡时，小球的加速运动结束，将做匀速直线运动，速度也达到最大值，如图中[d]位置，有[∑Fx=mgsinθ-Ff=ma=0∑Fy=FN-F洛+mgcosθ=0Ff=μFN]
则[FN+mgcosθ=Bqvm]，[Ff=mgsinθ]，得[vm=mgqBsinθμ+cosθ]. 从[c]到[d]，做加速度减小的加速运动，在[d]之后做匀速运动，小球的[v-t]图象如图4乙.
二、匀速圆周运动
带电粒子在匀强磁场中常常不计重力，它的运动一般有三种情况：一是当带电粒子的运动方向与磁场方向平行时，做匀速直线运动；二是当带电粒子的运动方向与匀强磁场方向垂直时，做匀速圆周运动；三是当带电粒子既不垂直也不平行射入匀强磁场时，沿磁感线方向不受力，做匀速直线运动，垂直于磁场方向受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动，合运动为螺旋运动.
在匀速圆周运动中，通常注意以下两个方面.
1. 受力关系：洛伦兹力提供向心力，沿半径方向建立坐标系，列牛顿第二定律关系.
2. 几何关系：找出几何特点，通过几何作图确定三个点，即进场点、出场点和圆心，画出轨迹，再列勾股定理或三角函数关系式.
例3 在真空中半径[r=2×10-2m]的圆形区域内有一匀强磁场，磁场的磁感应强度[B=0.3T]，方向如图5，在[O]处有一放射源，可沿纸面向各个方向射出速率均为[v0=1.2×106m/s]的带正电粒子. 已知该粒子的荷质比[qm=1×108C/kg]，不计粒子重力，求粒子在磁场中运动的最长时间.
解析 由[t=θ2π×T]可知，在比荷一定时，若[α]最大，则粒子在磁场中运动的时间最长，且其所对的弦最长，而入射点与出射点间的距离即弦长.所以粒子要在磁场中的运动时间最长，必定从[O]点进，而从[M]点出，如图6. 有
[R=mvqB=1.0×10-8×1.2×106×10.3m=4.0×10-2m]
由弦[OM]和半径[R]可作出粒子在磁场中的运动轨迹，由图易知[α=π3].则粒子在磁场中运动的最长时间为[t=α?mqB=π3×10×10-8×10.3s=π9×10-7s]
点拨 粒子通过圆形磁场区域在[OM]之间运动时，明显地具有对称性. 如图7甲，粒子的运动轨迹关于入射点[P]与出射点[Q]的中垂线对称，轨迹圆心[O]位于对称线上，入射速度、出射速度与[PQ]线间的夹角（也称为弦切角）相等，并有[φ=α=2θ=ωt].
带电粒子在圆形磁场中运动时的对称性规律常常运用到. 如图7乙，从磁场的直边界射入的粒子，若再从此边界射出，则速度方向与边界的夹角相等.
如图7丙，如在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子必沿径向射出，即出磁场时速度方向反向必过圆心.
例4 如图8，加速电场[M、N]板间距离为[L]，电压为[U]，[M]板内侧中点处有一静止的电子，质量为[m]，电量为[e]. [N]板中点处有一小孔[S1]，其右侧有一内壁光滑半径为[R]的金属圆筒，圆筒内有垂直圆筒横截面方向的匀强磁场，磁感应强度为[B]，圆筒壁上有一小孔[S2]，电子与[S1]、[S2]和圆心[O]在同一直线上，[S1]与圆心[O]的距离为[d（d>R）]. 电子经电场加速后射入圆筒，在圆筒壁上碰撞[n]次后回到出发点. 不计重力，设碰撞过程无动能损失，求电子运动的周期.
解析 电子在电场中运动的加速度为[a=eUmL]，设电子在电场中的运动时间为[t1]，有
[L=12at2=12（eUmL）t12U=12mv2]
[则t1=L2meU]
设电子在[S1][S2]的运动时间为[t2]，有
[t2=d-Rv=d-R2qUm=（d-R）m2eU]
设电子与筒壁碰撞次数为[n]，由于碰撞是弹性的，可得出电子运动的轨迹是对称的，且每次碰撞后速度方向仍指向圆心.
因[Bev0=mv20r]，电子在磁场中做圆周运动的周期[T=2πmeB.]
电子在圆筒内经[n]次碰撞转过的角度
[θ=（n+1）π-2π=（n-1）π]
则电子在磁场中的运动时间
[t3=θ2πT=n-12T=（n-1）mπeB]
电子运动的周期
[T=2t1+2t2+t3=2L2meU+2（d-R）m2eU]
[+（n-1）mπeB（n=2，3，4…）.]
点拨 多解可能因磁场方向不确定、电荷的电性正负不确定、磁场边界的约束、临界状态的多种可能、运动轨迹的周期性以及粒子的速度大小和方向变化等形成. 本题当带电粒子在圆形磁场中运动时，因带电粒子运动轨道的对称性而形成的多解. 应用粒子运动轨迹的对称性，其关键是要确定粒子在圆筒内经[n]次碰撞转过的角度[θ=（n+1）π-2π=（n-1）π].