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摘要：圆柱壳在航空航天结构、潜水设备、大型管道系统等领域中均有广泛的应用，圆柱曲壳则是其中必不可少的组成要素。基于经典壳体理论，建立曲壳的自由振动微分方程，进而分析圆柱曲壳的固有频率和振型等特性。结果表明，梁函数组合法可以较好地逼近曲壳的固有振动；约束条件对曲壳的固有频率有较大影响。
关键词：曲壳模型、固有频率、振动特性
1.引言
圆柱壳体具有重量低、强度高、刚度高、跨度大等优点，因此在很多工业和国防领域得到广泛应用，比如热交换器壳体、各种管道和容器、飞机和潜艇的外壳等，成为现代工程中广泛采用的一种基本结构单元。作为不可或缺的组成部分，曲壳具有改变传输介质流动方向、满足空间设计需要、调整安装位置、补偿热胀冷缩等作用。曲壳的固有特性对整个结构的安全运行起着非常重要的作用，因此一直是结构动力学研究的重要内容。
张振华[1]分析了输液管道系统动力响应的研究进展情况。胡平[2]用退化的曲壳单元模拟了厚钣金件的翻边与回弹变形问题。李俊海[3]证明利用曲壳模型可以反映地质构造的真实情况，满足油田分析地层地应力的要求。刘霞光[4]采用曲壳有限元法求得各种形状的开孔支轮筒壳的应力和位移。李尧臣[5]利用曲壳理论解决了金属板材在成型过程的相关问题。
本文以曲壳为研究对象，同时考虑壳体的轴向、切向和径向位移。其中，曲壳的横截面形状假定为一个完整的圆，圆周方向的振型可以表示成三角函数之和的形式；轴向的振型可以用具有相同边界条件的梁的振型函数来近似。利用二者的组合以表示圆柱曲壳的振型函数，进而求解圆柱曲壳的固有频率和振型。
2.自由振动微分方程
此处考虑的是薄壁圆柱曲壳。在中曲面上任取一微元，其轴力、剪力和弯矩如图1所示。把微元本身的惯性力考虑进来，建立如下的动力平衡方程
应用经典壳体理论得出中曲面上的薄膜应变与中曲面位移、弯曲应变与中曲面位移之间的关系式，将各关系式带入公式（1）～（3），可得曲壳自由振动控制方程如下：
3.振动方程求解
根据曲壳关于赤道面的振动是否对称，把位移表达式写成如下两种形式。
用数值方法求解上述方程，得到曲壳的固有频率和相应的振型。此处采用伽辽金法——首先将式（5）（以对称振动为例）代入方程（4）中，并将方程的三个表达式分别乘上相应的试函数，即 、 、 。然后对 和 分别在区间 、 内积分（ 为曲管开口角度）。通过求解系数矩阵的行列式和特征方程，求出相应的频率和振型。
4.数值结果
为便于和相关文献比较，其几何、物理属性分别为：壁厚 ；截面半径；弯曲半径 ；弹性模量 ；泊松比 ；密度 。计算出曲壳在不同边界条件下的固有频率，并与现有文献进行比较。结果发现，对于两端固支以及两端自由条件，本文的计算结果与相关文献给出的结果非常接近，误差在1%之内。图2给出了曲壳在不同约束条件下的前10阶固有频率。图中，C-C表示两端固支、S-S表示两端简支、C-F表示一端固支一端自由（即悬臂）、F-F表示两端自由。
由图可见，约束条件对曲壳固有频率有较大的影响——两端固支具有最高的频率，而两端自由则频率最低。
除固有频率外，结构的振型也往往是我们关注的重要性质。图3给出了两端固支条件下曲壳的第9阶振型。其中，虚线为原始位置，实线为变形后位置；左图为赤道面，右图为45o处的横截面。
显而易见，薄壁曲壳的振型比直壳复杂得多。在某阶频率下出现的往往是混合模态，很难区分出是对称模态还是反对称模态。沿曲壳轴线方向，拱背和拱腹的振型呈现出不同的变化趋势——拱背上只出现一个或者两个波，而拱腹则出现多个波。同时，随着模态阶次的升高，轴向和径向振型也都变得更为复杂。
5.结论
以经典壳体理论为基础，本文用梁函数来描述曲壳沿着轴向的运动，而用三角函数来表示曲壳圆周方向的变形情况，分析了不同边界条件下曲壳的自由振动。结果表明，只要使用的梁函数满足边界条件就可以正确求解固有频率和阵型，其误差可以忽略。约束条件在很大程度上对曲壳固有频率有影响，刚度越好，频率越高。曲壳的轴向和径向振型都很复杂，并且随着模态阶次的提高而变得更加复杂。
参考文献：
[1]张振华， 吴梵， 冯文山. 输液管道系统动力响应的研究进展[J]. 海军工程大学学报， 2000， 5： 25-33
[2]胡平， 刘海鹏， 柳玉起. 厚钣金件压弯翻边与回弹的数值研究[J]. 固体力学学报， 2002， 1： 72-80
[3]李俊海， 王木乐， 吴田忠， 等.曲壳模型在区块地应力研究中的应用[J]. 断块油气田，2003， 5： 20-22
[4]刘霞光.提升机支轮、筒壳强度的曲壳有限元计算[J]. 湘潭矿业学院学报， 1989， 2： 153-157
[5]李尧臣. 金属板材冲压成型过程的有限单元法模拟[J]. 力学学报， 1995， 3： 351-364
关键词：曲壳模型、固有频率、振动特性
1.引言
圆柱壳体具有重量低、强度高、刚度高、跨度大等优点，因此在很多工业和国防领域得到广泛应用，比如热交换器壳体、各种管道和容器、飞机和潜艇的外壳等，成为现代工程中广泛采用的一种基本结构单元。作为不可或缺的组成部分，曲壳具有改变传输介质流动方向、满足空间设计需要、调整安装位置、补偿热胀冷缩等作用。曲壳的固有特性对整个结构的安全运行起着非常重要的作用，因此一直是结构动力学研究的重要内容。
张振华[1]分析了输液管道系统动力响应的研究进展情况。胡平[2]用退化的曲壳单元模拟了厚钣金件的翻边与回弹变形问题。李俊海[3]证明利用曲壳模型可以反映地质构造的真实情况，满足油田分析地层地应力的要求。刘霞光[4]采用曲壳有限元法求得各种形状的开孔支轮筒壳的应力和位移。李尧臣[5]利用曲壳理论解决了金属板材在成型过程的相关问题。
本文以曲壳为研究对象，同时考虑壳体的轴向、切向和径向位移。其中，曲壳的横截面形状假定为一个完整的圆，圆周方向的振型可以表示成三角函数之和的形式；轴向的振型可以用具有相同边界条件的梁的振型函数来近似。利用二者的组合以表示圆柱曲壳的振型函数，进而求解圆柱曲壳的固有频率和振型。
2.自由振动微分方程
此处考虑的是薄壁圆柱曲壳。在中曲面上任取一微元，其轴力、剪力和弯矩如图1所示。把微元本身的惯性力考虑进来，建立如下的动力平衡方程
应用经典壳体理论得出中曲面上的薄膜应变与中曲面位移、弯曲应变与中曲面位移之间的关系式，将各关系式带入公式（1）～（3），可得曲壳自由振动控制方程如下：
3.振动方程求解
根据曲壳关于赤道面的振动是否对称，把位移表达式写成如下两种形式。
用数值方法求解上述方程，得到曲壳的固有频率和相应的振型。此处采用伽辽金法——首先将式（5）（以对称振动为例）代入方程（4）中，并将方程的三个表达式分别乘上相应的试函数，即 、 、 。然后对 和 分别在区间 、 内积分（ 为曲管开口角度）。通过求解系数矩阵的行列式和特征方程，求出相应的频率和振型。
4.数值结果
为便于和相关文献比较，其几何、物理属性分别为：壁厚 ；截面半径；弯曲半径 ；弹性模量 ；泊松比 ；密度 。计算出曲壳在不同边界条件下的固有频率，并与现有文献进行比较。结果发现，对于两端固支以及两端自由条件，本文的计算结果与相关文献给出的结果非常接近，误差在1%之内。图2给出了曲壳在不同约束条件下的前10阶固有频率。图中，C-C表示两端固支、S-S表示两端简支、C-F表示一端固支一端自由（即悬臂）、F-F表示两端自由。
由图可见，约束条件对曲壳固有频率有较大的影响——两端固支具有最高的频率，而两端自由则频率最低。
除固有频率外，结构的振型也往往是我们关注的重要性质。图3给出了两端固支条件下曲壳的第9阶振型。其中，虚线为原始位置，实线为变形后位置；左图为赤道面，右图为45o处的横截面。
显而易见，薄壁曲壳的振型比直壳复杂得多。在某阶频率下出现的往往是混合模态，很难区分出是对称模态还是反对称模态。沿曲壳轴线方向，拱背和拱腹的振型呈现出不同的变化趋势——拱背上只出现一个或者两个波，而拱腹则出现多个波。同时，随着模态阶次的升高，轴向和径向振型也都变得更为复杂。
5.结论
以经典壳体理论为基础，本文用梁函数来描述曲壳沿着轴向的运动，而用三角函数来表示曲壳圆周方向的变形情况，分析了不同边界条件下曲壳的自由振动。结果表明，只要使用的梁函数满足边界条件就可以正确求解固有频率和阵型，其误差可以忽略。约束条件在很大程度上对曲壳固有频率有影响，刚度越好，频率越高。曲壳的轴向和径向振型都很复杂，并且随着模态阶次的提高而变得更加复杂。
参考文献：
[1]张振华， 吴梵， 冯文山. 输液管道系统动力响应的研究进展[J]. 海军工程大学学报， 2000， 5： 25-33
[2]胡平， 刘海鹏， 柳玉起. 厚钣金件压弯翻边与回弹的数值研究[J]. 固体力学学报， 2002， 1： 72-80
[3]李俊海， 王木乐， 吴田忠， 等.曲壳模型在区块地应力研究中的应用[J]. 断块油气田，2003， 5： 20-22
[4]刘霞光.提升机支轮、筒壳强度的曲壳有限元计算[J]. 湘潭矿业学院学报， 1989， 2： 153-157
[5]李尧臣. 金属板材冲压成型过程的有限单元法模拟[J]. 力学学报， 1995， 3： 351-364