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二次函数是初中数学的重难点，与其他知识的结合自然且灵活多变，是帮助学生全面深入理解“函数”这一概念以及加强学生思维训练的合适内容. 我校初中数学实行分层教学，笔者执教的是最高层次S层，本堂习题课选择了一道经典的二次函数与直角三角形相结合的综合问题，题目设置不难，学生容易入手. 为了充分挖掘题目价值，让课堂“思维流量”最大化，笔者决定把课堂“还给”学生，让学生主讲，将他们的思维充分展现出来，适时加以引导和点拨，激发学生自主探究精神，提升他们解决问题的能力.
一、课堂实录
（下发学案）
已知：如图1，一次函数y=x 1的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y=x2 bx c的图像与一次函数y=x 1的图像交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0） .（1）求二次函数的解析式；（2）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由.
师：请同学们用8分钟时间思考和完成这道习题.
（8分钟后）
师：本题第1问比较基础，考查二次函数解析式的求解，请同学直接上台板书答案.
（生1板书答案：y=x2-x 1）
师：答案正确吗？
生齐：正确.
评析：选择学生板书，而不是口答，目的在于强调书写的规范.
师：第2问考查“点是否存在”的问题，请问做此类题型，我们需要注意哪些问题？
生2：可以先假设存在符合条件的点P，然后验证它的合理性，并且往往求出来不止一个点；这里点P在x轴上，所以它的纵坐标一定是0，因此可以设P（a，0）.
生3：这里要求直角三角形，而不是我们最常见等腰三角形，并且题目已经限定直角顶点是点P，那么不需要分类讨论了.
师：两位同学分析的十分到位，认真审题和针对此类题型积累的经验会对解题非常重要.
评析：从学生角度分析题干和总结题型经验会给他们留下更加深刻的印象.
师：老师在巡查大家做题的过程中发现几种不同的做法，那请同学们上台讲解自己的做法.
（生4上台，投影自己的学案）
生4：我先假设点P存在，并在x轴上为它取一个大概的位置，再连接BP和CP. 由题意知∠BPC=90°，那么由勾股定理可得到：BP2 CP2=BC2，而BP、CP和BC的长度均可根据坐标系中“两点距离公式”写出来，从而得到关于a的方程：1 a2 9 （4-a）2=20，化简后为a2-4a 3=0，解得a1=3，a2=1，所以存在符合题意的点P，且有两个，坐标分别是P1（3，0）、P2（1，0）.
（全班掌声）
师：请问有多少同学用这个方法？（学生举手）一多半同学。的确，提到直角三角形，我们很快能想到用勾股定理，其中运用“两点距离公式”时需要认真计算. 用其他方法解题的同学请上台展示.
生5：我是这样做的：过点C向x轴作垂线CH，发现有“一线三等角”模型，因此我用相似三角形对应边成比例计算，我列的等量关系是=，这些线段长度都很容易表示出来，因此列方程 =，化简后也是 a2-4a 3=0，答案和上一个同学一样.
（全班掌声）
师：很棒的发现，原来相似三角形无处不在。但是老师这里需要提醒：方程=是一个分式方程，因此求解过程大家不要忽略了“检验”这一步. 我听见下面有同学说还有方法，有请上台.
生6：我们知道如果两条直线垂直，那么它们解析式的斜率乘积就是-1，即 KBP·KCP=-1，我计算得到KBP=-，KCP=，所以有方程=-1，化简后也是a2-4a 3=0.
（全班掌声）
师：从大家热烈的掌声中，老师听出了同学对这种方法的认可. 的确，坐标系中垂直直线斜率的关系往往为求解直角三角形的问题带来新的思路.
生7：老师，这个“斜率乘积为-1”的结论考试中能直接用吗？教材上没有讲到.
师：可以的，虽然这是高中教材上的知识点，但知识是相通的，可以“提前”使用. 同学们脑洞大开，提出了三种解法，相信大家已經很有收获了，谢谢上台展示的同学们.
生8：老师，我好像又想到一种方法，但不知道行不行？
师：没关系，你来讲一讲，同学们掌声鼓励.
（全班掌声）
生8：我们刚学了圆的知识，知道了圆的直径所对的圆周角是直角，那么点P就一定在以BC为直径的圆上.
师生齐（惊喜）：是的，对的.
生8：呃，可是我还没想到怎么计算.
师：没关系，能联想到圆的性质已经很厉害了. 老师也没想好怎么计算，那我们再花几分钟时间想一想这个办法能否行得通. 开始！
（2分钟后）
生9（激动）：老师，行得通，我做出来了.
师：太好了，那你来完成它.
生9：以BC为直径的圆的圆心在BC的中点，标上点M，那么MP就是半径，即MP=BC，点M的坐标可以用 “中点坐标公式”计算，也就是（2，2），然后用“两点距离公式”写出EP和BC的长度，列出方程 （2-a）2 22=5，化简后还是 a2-4a 3=0.
（全班掌声）
生10：老师，用“直角三角形中斜边上中线等于斜边的一半”也能解释这个问题.
师：是的. 直径BC、弦BP和CP围成的直角三角形，这时半径MP则为斜边BC上的中线. 大家看，这些知识的联系还是非常紧密的. 对于这个二次函数和直角三角形的综合题，大家表现非常好，一共想到了四种解法，不愧是S班的学生. 这里老师给大家留一个课后作业：若将题目中“以点P为直角顶点”的字样去掉，那么答案又是怎样？请大家至少用两种方法求解. 评析：全程展示学生的成果，配合他们自己的讲解，充分将学生的做题思路和思维方式展现出来. 学生成为课堂的主人，充分体现其主体地位；教师适当点评和引导，不失其课堂主导作用. 面对预设外的课堂生成，教师灵活积极地处理，而非“避而不谈”，使得学生收获信心、得到启发，课堂不失灵气. 因势利导地安排课后作业，激发学生 “二次思考”，达到落实和提高的效果.
二、教学反思
1. 学生是课堂的主体
“新课程”理念的不断推进，要求教师不断更新观念，转变角色，改变课堂中注重知识传授的倾向，让学生学会学习，学会合作，倡导学生主动参与，在教学中尊重学生，凸显学生的主体地位. 课堂上教师把时间和空间让出来，学生带着兴趣思考和展示，充分发挥自己的想象，在相互评价与质疑中得到拓展与提升. 教师不再是课堂的主体，但并不意味着丧失主导权. 教师精心备课、合理预设、适时点拨以及灵活应对是保证课堂上学生思维活跃、学习过程详略得当、教学结构完整有序的基础，从而教师之于课堂的“舵手”作用得以彰显.
2. 课堂生成是课堂的资源
教师每天面对的是一群充满活力、充满个性的“生命体”，教师的课堂总处于一种变化的状态中，通过预设和对话促使课堂生成，不断加强对课堂生命和课堂生成状态的思考正是我们执着的追求.本文课堂实录中“生8”提出的第四种解法是课堂预设外的，面对课堂即时生成的资源，教师不是敷衍了事、一笔带过，而是引导并参与到学生的继续探究中. 这里，笔者感受到数学学习并非单纯的解题与应用，而且是对问题的深入思考，也是对事物内在联系的探索. 同时，我也看到了学生无限的想象力与创造力，教师是点燃火炬的人，课堂生成不仅能让火炬旺盛地燃烧，甚至可以把火炬燃烧到课外，指引学生不断发现、思考和解决问题.
3. 课后作业是课堂的延伸
一直以来，如何把握“热烈的课堂氛围”和“知识的巩固落实”的关系是一线数学教师研讨的重要议题，笔者认为课后作业的设计在一定程度上能将二者有效结合. 课堂实录中将例题自然地改编为一道作业题，没有新编的背景、没有复杂的数据，仅将题干的条件弱化，达到了拓宽题目广度和深度的目的. 這样的设计既能让学生保持继续探索的热情，还能将课堂上并未“落在笔头”的知识与技能巩固. 科学有效的课后作业设计是课堂延伸的重要一环，就像刚欣赏完一部优秀的影视作品，人们在津津乐道、流连忘返的同时，更加期待续集的上演.
责任编辑罗峰
一、课堂实录
（下发学案）
已知：如图1，一次函数y=x 1的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y=x2 bx c的图像与一次函数y=x 1的图像交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0） .（1）求二次函数的解析式；（2）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由.
师：请同学们用8分钟时间思考和完成这道习题.
（8分钟后）
师：本题第1问比较基础，考查二次函数解析式的求解，请同学直接上台板书答案.
（生1板书答案：y=x2-x 1）
师：答案正确吗？
生齐：正确.
评析：选择学生板书，而不是口答，目的在于强调书写的规范.
师：第2问考查“点是否存在”的问题，请问做此类题型，我们需要注意哪些问题？
生2：可以先假设存在符合条件的点P，然后验证它的合理性，并且往往求出来不止一个点；这里点P在x轴上，所以它的纵坐标一定是0，因此可以设P（a，0）.
生3：这里要求直角三角形，而不是我们最常见等腰三角形，并且题目已经限定直角顶点是点P，那么不需要分类讨论了.
师：两位同学分析的十分到位，认真审题和针对此类题型积累的经验会对解题非常重要.
评析：从学生角度分析题干和总结题型经验会给他们留下更加深刻的印象.
师：老师在巡查大家做题的过程中发现几种不同的做法，那请同学们上台讲解自己的做法.
（生4上台，投影自己的学案）
生4：我先假设点P存在，并在x轴上为它取一个大概的位置，再连接BP和CP. 由题意知∠BPC=90°，那么由勾股定理可得到：BP2 CP2=BC2，而BP、CP和BC的长度均可根据坐标系中“两点距离公式”写出来，从而得到关于a的方程：1 a2 9 （4-a）2=20，化简后为a2-4a 3=0，解得a1=3，a2=1，所以存在符合题意的点P，且有两个，坐标分别是P1（3，0）、P2（1，0）.
（全班掌声）
师：请问有多少同学用这个方法？（学生举手）一多半同学。的确，提到直角三角形，我们很快能想到用勾股定理，其中运用“两点距离公式”时需要认真计算. 用其他方法解题的同学请上台展示.
生5：我是这样做的：过点C向x轴作垂线CH，发现有“一线三等角”模型，因此我用相似三角形对应边成比例计算，我列的等量关系是=，这些线段长度都很容易表示出来，因此列方程 =，化简后也是 a2-4a 3=0，答案和上一个同学一样.
（全班掌声）
师：很棒的发现，原来相似三角形无处不在。但是老师这里需要提醒：方程=是一个分式方程，因此求解过程大家不要忽略了“检验”这一步. 我听见下面有同学说还有方法，有请上台.
生6：我们知道如果两条直线垂直，那么它们解析式的斜率乘积就是-1，即 KBP·KCP=-1，我计算得到KBP=-，KCP=，所以有方程=-1，化简后也是a2-4a 3=0.
（全班掌声）
师：从大家热烈的掌声中，老师听出了同学对这种方法的认可. 的确，坐标系中垂直直线斜率的关系往往为求解直角三角形的问题带来新的思路.
生7：老师，这个“斜率乘积为-1”的结论考试中能直接用吗？教材上没有讲到.
师：可以的，虽然这是高中教材上的知识点，但知识是相通的，可以“提前”使用. 同学们脑洞大开，提出了三种解法，相信大家已經很有收获了，谢谢上台展示的同学们.
生8：老师，我好像又想到一种方法，但不知道行不行？
师：没关系，你来讲一讲，同学们掌声鼓励.
（全班掌声）
生8：我们刚学了圆的知识，知道了圆的直径所对的圆周角是直角，那么点P就一定在以BC为直径的圆上.
师生齐（惊喜）：是的，对的.
生8：呃，可是我还没想到怎么计算.
师：没关系，能联想到圆的性质已经很厉害了. 老师也没想好怎么计算，那我们再花几分钟时间想一想这个办法能否行得通. 开始！
（2分钟后）
生9（激动）：老师，行得通，我做出来了.
师：太好了，那你来完成它.
生9：以BC为直径的圆的圆心在BC的中点，标上点M，那么MP就是半径，即MP=BC，点M的坐标可以用 “中点坐标公式”计算，也就是（2，2），然后用“两点距离公式”写出EP和BC的长度，列出方程 （2-a）2 22=5，化简后还是 a2-4a 3=0.
（全班掌声）
生10：老师，用“直角三角形中斜边上中线等于斜边的一半”也能解释这个问题.
师：是的. 直径BC、弦BP和CP围成的直角三角形，这时半径MP则为斜边BC上的中线. 大家看，这些知识的联系还是非常紧密的. 对于这个二次函数和直角三角形的综合题，大家表现非常好，一共想到了四种解法，不愧是S班的学生. 这里老师给大家留一个课后作业：若将题目中“以点P为直角顶点”的字样去掉，那么答案又是怎样？请大家至少用两种方法求解. 评析：全程展示学生的成果，配合他们自己的讲解，充分将学生的做题思路和思维方式展现出来. 学生成为课堂的主人，充分体现其主体地位；教师适当点评和引导，不失其课堂主导作用. 面对预设外的课堂生成，教师灵活积极地处理，而非“避而不谈”，使得学生收获信心、得到启发，课堂不失灵气. 因势利导地安排课后作业，激发学生 “二次思考”，达到落实和提高的效果.
二、教学反思
1. 学生是课堂的主体
“新课程”理念的不断推进，要求教师不断更新观念，转变角色，改变课堂中注重知识传授的倾向，让学生学会学习，学会合作，倡导学生主动参与，在教学中尊重学生，凸显学生的主体地位. 课堂上教师把时间和空间让出来，学生带着兴趣思考和展示，充分发挥自己的想象，在相互评价与质疑中得到拓展与提升. 教师不再是课堂的主体，但并不意味着丧失主导权. 教师精心备课、合理预设、适时点拨以及灵活应对是保证课堂上学生思维活跃、学习过程详略得当、教学结构完整有序的基础，从而教师之于课堂的“舵手”作用得以彰显.
2. 课堂生成是课堂的资源
教师每天面对的是一群充满活力、充满个性的“生命体”，教师的课堂总处于一种变化的状态中，通过预设和对话促使课堂生成，不断加强对课堂生命和课堂生成状态的思考正是我们执着的追求.本文课堂实录中“生8”提出的第四种解法是课堂预设外的，面对课堂即时生成的资源，教师不是敷衍了事、一笔带过，而是引导并参与到学生的继续探究中. 这里，笔者感受到数学学习并非单纯的解题与应用，而且是对问题的深入思考，也是对事物内在联系的探索. 同时，我也看到了学生无限的想象力与创造力，教师是点燃火炬的人，课堂生成不仅能让火炬旺盛地燃烧，甚至可以把火炬燃烧到课外，指引学生不断发现、思考和解决问题.
3. 课后作业是课堂的延伸
一直以来，如何把握“热烈的课堂氛围”和“知识的巩固落实”的关系是一线数学教师研讨的重要议题，笔者认为课后作业的设计在一定程度上能将二者有效结合. 课堂实录中将例题自然地改编为一道作业题，没有新编的背景、没有复杂的数据，仅将题干的条件弱化，达到了拓宽题目广度和深度的目的. 這样的设计既能让学生保持继续探索的热情，还能将课堂上并未“落在笔头”的知识与技能巩固. 科学有效的课后作业设计是课堂延伸的重要一环，就像刚欣赏完一部优秀的影视作品，人们在津津乐道、流连忘返的同时，更加期待续集的上演.
责任编辑罗峰