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1 引言:一道似乎迈不过的坎
关于有理数乘法法则的教学设计的讨论,由来已久. 话题的焦点主要围绕着对“负负得正”的合理性阐述的探寻与努力. 有权威专家的理性设计,有一线教师的实证研究,感性与理性的思维交相辉映,多层次、多角度的碰撞,从中折射出数学思考的智慧与精彩. 但最终的结局却总是遭遇尴尬,无论教者,亦或学生,大多很难从自己的逻辑中,让彼此真正信服. 张奠宙教授更是感慨:世界上还没有发现一个为大家[ZZ(!]普遍接受[ZZ)]的“负负得正”的实际情境. 可以说“负负得正”至今仍是一个困惑初中数学界的疑难问题.
2 现实的困境:思维在跋山涉水,回眸处却依旧迷雾重重
2.1在水位的变化中,学生的思维无法前行
①熟悉规则
水位每天上升4cm 3天前 水位的总变化
3天后 水位的总变化
与今天及今天的水位相比,规定:水位上升记为正,下降记为负,
几天后记为正,几天前记为负.
水位每天下降4cm 3天前 水位的总变化
3天后 水位的总变化
②理解规则
学生2:在数轴上,从-3出发,反方向移动4次,每次移动3格,恰好到9的地方,故得(-3)×(-4)=9(学生边说边画图2)
②教师的解释
你们在这些地方有误:
移动的起点:区别在于,从-3开始移还是从原点开始移,实质是移线段还是移点的位置.
移动的方向:区别在于,是-3的反方向还是数轴的负方向,这涉及两个维度上相反意义的量.
移动的过程:每次移3格,一共移4次.
移动的结果:看移动终点的数值. (即坐标,既有绝对值,又有符号)
……那我们还是回到气温问题好了,气温是每天下降3度,今天是零度,现在要计算出4天前的温度……
反思:从师生的交流对话中,我们可以清楚的认识到,困境之一在于,数轴本身的正负方向的规定与运动中的方向的确定是学生很难分辨的;困境之二在于,将一个静态的负数理解成一个动态的运动过程,看似简单的一步,但实际上两者之间却是隔着千山万水. 所以,在交流的最后,连教师本人都不能再坚守数轴的阵地,而重新转向更现实的温度情境去寻求答案.
2.3 相反意义的生成,学生的思维能否被说服
①约定
做乘法时[4],当乘数为正数时,乘式意义可看作被乘数的连加. 乘数为负数时,就表示相反的意义,也就是说,当乘数为负数时,乘式意义可看作被乘数的连减. 这样的话,( 4)×(-3)表示3个4连减,即( 4)×(-3)=-4-4-4=-12,其结果等于( 4)×(-3)的结果.
②微型教学
教师:做乘法时,当乘数为负数时,乘式意义可看作被乘数的连减. 按照这样的理解,( 5)×(-4)等于多少?
学生:表示4个5连减,即( 5)×(-4)=-5-5-5-5=-20.
教师:负数乘以负数,应当如何处理呢?
学生:因为乘数为负数,表示被乘数的连减,因此,(-4)×(-3)表示3个-4的连减,即(-4)×(-3)=-(-4)-(-4)-(-4)=0-(-4)-(-4)-(-4)=12.
教师:那么(-5)×(-4)呢?
学生:(-5)×(-4)表示4个-5的连减,即(-5)×(-4)=-(-5)-(-5)-(-5)-(-5)=20.
教师:(-5)×(-4)=5×4,(-4)×(-3)=4×3,这是巧合吗?
学生:乘数为负数,可以看作被乘数相反数的连加,比如,(-5)×(-4)看做4个5的连加,就是5×4,(-4)×(-3)表示3个4连加,就是4×3.
教师:两个负数相乘,结果等于它们的绝对值相乘,这就是所谓的“负负得正”.
反思:首先,这并不是一个真正意义上的新授教学,只是对一些已学习过有理数乘法法则的学生的理解上的再次说服,其次,选取的对象的层次无从得知. 若用这一方式对大多数七年级学生进行法则教学,遭遇的第一个困境将会是,“—”号的含义的多重性中,并没有关于运算的“反”的含义,我们凭什么让学生能够接受这种约定,可能除了“权威”别无他法;第二个困境是,学生的思维正处于具体运演阶段,这是不可改变的认知规律,这种抽象的思辨是无法帮助其顺利建构法则的. 3 我们缘何不断探寻:对教与学和谐、自然的追求,是对生命的尊重
其实,这三种设计都涉及到一个问题,学生在进行有理数运算的时候,特别是在依据相关情境提炼出法则之后的运算巩固阶段,学生并不能马上脱离情境而转而纯粹依靠法则操作,而是在解题练习中通过对情境的回忆,进行法则的再理解,以确认法则的可信,通过这种不断的运用中的再理解,理解中的再确信,最终才可能完全抛弃情境的支撑,而完全由纯抽象的法则解题.
这种学习过程中的寻求心理支撑的现象,其实在有理数加减法中就有非常明显的反映:负数的加减,有许多规则. 按照课本,首先要了解绝对值,然后把正负数加减运算的规则用黑体字写出来,让学生背诵记住、练习操作,其实,一个正数和一个负数的加减规则,用一个词“抵消”,学生就全明白了. 一场足球赛,对方进球5个为-5,我方进球3个为 3,“抵消”之后,当然是输两个,结果是-5 3=-2.与其死记那些黑体字,用“抵消”这样的教育形态,要容易理解得多了. 再看看老师自己头脑中的正负数加减规则,实际上,也是“抵消”在支撑着,并不会想到“绝对值”之类的黑体字.[5]
当学生在解题出现困难时,试图回想以上三类情境以寻求现实的支撑时,繁复的背景和陌生的推演无法让学生形成准确的表象,注定了这种尝试是不可能成功的. 在此之下的相应练习,也就不会有理解与运用的相互融合,只能演变成机械操作. 4
我们何不另辟蹊径:用生活的道理作为承载,让彼此共同领悟
①以国庆放假为话题导入
教师:国庆节快到了,同学知道2009年国庆放几天假吗?
(大多数学生都知道放假8天)
教师:这8天,可能许多同学都已经想好怎么去玩了,那老师想问你们,你们的爸爸妈妈会放假休息吗?
学生1:我的爸爸准备带我出去旅游. (说的时候,一脸的幸福)
学生2:我妈妈在肯德基上班,越是节假日就越忙,这8天都得加班.
教师:真辛苦.
②以勤俭、节约为理解的载体
教师:我们的父母有的为了陪我们少工作几天,有的为了家庭多工作几天. 他们每天大约可以收入50元,那么,这一个国庆长假之后,他们的收入情况相比又会怎么样呢?
老师在黑板上写下问题
父母 总收入情况
每天收入50元多工作8天
每天收入50元少工作8天
教师:你能用学过的正负数来表示这两种情况下总收入相比的情况吗?
学生3:如果把每天收入50元记作 50元,多工作8天记作 8天,可用算式( 50)×( 8)= 400,表示多收入400元.
学生4:如果把每天收入50元记作 50元,少工作8天记作-8天,可用算式( 50)×(-8)=-400,表示少收入400元.
教师:我们还是学生,没有收入,父母还给我们零花钱消费,每天大约几元,有10元吗?
(学生在下面纷纷表示没有这么多,估计每天支出5元钱. )
教师:国庆这8天,我想肯定有同学不出去消费,而在家看看书,帮父母亲做做家务,做一个父母贴心的好孩子.
老师继续在黑板上写出问题
子女 总支出情况
每天支出5元多用8天
每天支出5元少用8天
教师:你能用学过的正负数来表示这两种情况下总支出相比的情况吗?
学生5:如果把每天支出5元记作-5元,多用8天记作 8天,可用算式(-5)×( 8)=-40,表示多支出40元.
学生6:如果把每天支出5元记作-5元,少用8天记作-8天,可用算式(-5)×(-8)= 40,表示节省出40元.
教师:负数乘以负数居然得到了正数,能再给我们大家解释清楚吗?
学生7:每天父母给我5元钱准备支出,但我没有支出,留了下来,所以口袋里多出了40元.
教师:哦,该用的没有用,所以口袋里多出了一些钱. 大家懂了吗?
……
也许不够准确,也许不够严密,但朴素的生活道理却是人人不言自明的,没有机械的强迫,没有复杂的背景,不需要反复的比较和场景切换,无需费解的数学约定,由“负负而得正”,顺畅自然,合情合理. 5 结束语:希望就在脚下
看过了,不代表真正经历,会做题了,不代表真正领会,追寻师生心灵上的交融,打造出和谐的课堂,生命的课堂,让学生顺利地实现知识意义的建构,只要我们努力,就不会只是一种美好的设想.
参考文献
[1]义务教育课程标准实验教科书.七年级数学(上)[M].江苏科技出版社. 2007.5.
[2]龚烈烔.“负负得正”教学再思考[J].中学数学教学参考(初中),2008,(8).
[3]罗增儒.案例创作:“(-3)×(-4)=?”数轴表示的挑战[J].中学数学教学参考,2004,(12).
[4]曾小平,涂荣豹.基于数学规定的“有理数乘法”教学[J].中学数学教学参考(中旬),2009,(1—2).
[5]张奠宙,路建英.构建学生容易理解的教育形态——10个案例[J].中学数学教学参考(初中),2008,(3).
关于有理数乘法法则的教学设计的讨论,由来已久. 话题的焦点主要围绕着对“负负得正”的合理性阐述的探寻与努力. 有权威专家的理性设计,有一线教师的实证研究,感性与理性的思维交相辉映,多层次、多角度的碰撞,从中折射出数学思考的智慧与精彩. 但最终的结局却总是遭遇尴尬,无论教者,亦或学生,大多很难从自己的逻辑中,让彼此真正信服. 张奠宙教授更是感慨:世界上还没有发现一个为大家[ZZ(!]普遍接受[ZZ)]的“负负得正”的实际情境. 可以说“负负得正”至今仍是一个困惑初中数学界的疑难问题.
2 现实的困境:思维在跋山涉水,回眸处却依旧迷雾重重
2.1在水位的变化中,学生的思维无法前行
①熟悉规则
水位每天上升4cm 3天前 水位的总变化
3天后 水位的总变化
与今天及今天的水位相比,规定:水位上升记为正,下降记为负,
几天后记为正,几天前记为负.
水位每天下降4cm 3天前 水位的总变化
3天后 水位的总变化
②理解规则
学生2:在数轴上,从-3出发,反方向移动4次,每次移动3格,恰好到9的地方,故得(-3)×(-4)=9(学生边说边画图2)
②教师的解释
你们在这些地方有误:
移动的起点:区别在于,从-3开始移还是从原点开始移,实质是移线段还是移点的位置.
移动的方向:区别在于,是-3的反方向还是数轴的负方向,这涉及两个维度上相反意义的量.
移动的过程:每次移3格,一共移4次.
移动的结果:看移动终点的数值. (即坐标,既有绝对值,又有符号)
……那我们还是回到气温问题好了,气温是每天下降3度,今天是零度,现在要计算出4天前的温度……
反思:从师生的交流对话中,我们可以清楚的认识到,困境之一在于,数轴本身的正负方向的规定与运动中的方向的确定是学生很难分辨的;困境之二在于,将一个静态的负数理解成一个动态的运动过程,看似简单的一步,但实际上两者之间却是隔着千山万水. 所以,在交流的最后,连教师本人都不能再坚守数轴的阵地,而重新转向更现实的温度情境去寻求答案.
2.3 相反意义的生成,学生的思维能否被说服
①约定
做乘法时[4],当乘数为正数时,乘式意义可看作被乘数的连加. 乘数为负数时,就表示相反的意义,也就是说,当乘数为负数时,乘式意义可看作被乘数的连减. 这样的话,( 4)×(-3)表示3个4连减,即( 4)×(-3)=-4-4-4=-12,其结果等于( 4)×(-3)的结果.
②微型教学
教师:做乘法时,当乘数为负数时,乘式意义可看作被乘数的连减. 按照这样的理解,( 5)×(-4)等于多少?
学生:表示4个5连减,即( 5)×(-4)=-5-5-5-5=-20.
教师:负数乘以负数,应当如何处理呢?
学生:因为乘数为负数,表示被乘数的连减,因此,(-4)×(-3)表示3个-4的连减,即(-4)×(-3)=-(-4)-(-4)-(-4)=0-(-4)-(-4)-(-4)=12.
教师:那么(-5)×(-4)呢?
学生:(-5)×(-4)表示4个-5的连减,即(-5)×(-4)=-(-5)-(-5)-(-5)-(-5)=20.
教师:(-5)×(-4)=5×4,(-4)×(-3)=4×3,这是巧合吗?
学生:乘数为负数,可以看作被乘数相反数的连加,比如,(-5)×(-4)看做4个5的连加,就是5×4,(-4)×(-3)表示3个4连加,就是4×3.
教师:两个负数相乘,结果等于它们的绝对值相乘,这就是所谓的“负负得正”.
反思:首先,这并不是一个真正意义上的新授教学,只是对一些已学习过有理数乘法法则的学生的理解上的再次说服,其次,选取的对象的层次无从得知. 若用这一方式对大多数七年级学生进行法则教学,遭遇的第一个困境将会是,“—”号的含义的多重性中,并没有关于运算的“反”的含义,我们凭什么让学生能够接受这种约定,可能除了“权威”别无他法;第二个困境是,学生的思维正处于具体运演阶段,这是不可改变的认知规律,这种抽象的思辨是无法帮助其顺利建构法则的. 3 我们缘何不断探寻:对教与学和谐、自然的追求,是对生命的尊重
其实,这三种设计都涉及到一个问题,学生在进行有理数运算的时候,特别是在依据相关情境提炼出法则之后的运算巩固阶段,学生并不能马上脱离情境而转而纯粹依靠法则操作,而是在解题练习中通过对情境的回忆,进行法则的再理解,以确认法则的可信,通过这种不断的运用中的再理解,理解中的再确信,最终才可能完全抛弃情境的支撑,而完全由纯抽象的法则解题.
这种学习过程中的寻求心理支撑的现象,其实在有理数加减法中就有非常明显的反映:负数的加减,有许多规则. 按照课本,首先要了解绝对值,然后把正负数加减运算的规则用黑体字写出来,让学生背诵记住、练习操作,其实,一个正数和一个负数的加减规则,用一个词“抵消”,学生就全明白了. 一场足球赛,对方进球5个为-5,我方进球3个为 3,“抵消”之后,当然是输两个,结果是-5 3=-2.与其死记那些黑体字,用“抵消”这样的教育形态,要容易理解得多了. 再看看老师自己头脑中的正负数加减规则,实际上,也是“抵消”在支撑着,并不会想到“绝对值”之类的黑体字.[5]
当学生在解题出现困难时,试图回想以上三类情境以寻求现实的支撑时,繁复的背景和陌生的推演无法让学生形成准确的表象,注定了这种尝试是不可能成功的. 在此之下的相应练习,也就不会有理解与运用的相互融合,只能演变成机械操作. 4
我们何不另辟蹊径:用生活的道理作为承载,让彼此共同领悟
①以国庆放假为话题导入
教师:国庆节快到了,同学知道2009年国庆放几天假吗?
(大多数学生都知道放假8天)
教师:这8天,可能许多同学都已经想好怎么去玩了,那老师想问你们,你们的爸爸妈妈会放假休息吗?
学生1:我的爸爸准备带我出去旅游. (说的时候,一脸的幸福)
学生2:我妈妈在肯德基上班,越是节假日就越忙,这8天都得加班.
教师:真辛苦.
②以勤俭、节约为理解的载体
教师:我们的父母有的为了陪我们少工作几天,有的为了家庭多工作几天. 他们每天大约可以收入50元,那么,这一个国庆长假之后,他们的收入情况相比又会怎么样呢?
老师在黑板上写下问题
父母 总收入情况
每天收入50元多工作8天
每天收入50元少工作8天
教师:你能用学过的正负数来表示这两种情况下总收入相比的情况吗?
学生3:如果把每天收入50元记作 50元,多工作8天记作 8天,可用算式( 50)×( 8)= 400,表示多收入400元.
学生4:如果把每天收入50元记作 50元,少工作8天记作-8天,可用算式( 50)×(-8)=-400,表示少收入400元.
教师:我们还是学生,没有收入,父母还给我们零花钱消费,每天大约几元,有10元吗?
(学生在下面纷纷表示没有这么多,估计每天支出5元钱. )
教师:国庆这8天,我想肯定有同学不出去消费,而在家看看书,帮父母亲做做家务,做一个父母贴心的好孩子.
老师继续在黑板上写出问题
子女 总支出情况
每天支出5元多用8天
每天支出5元少用8天
教师:你能用学过的正负数来表示这两种情况下总支出相比的情况吗?
学生5:如果把每天支出5元记作-5元,多用8天记作 8天,可用算式(-5)×( 8)=-40,表示多支出40元.
学生6:如果把每天支出5元记作-5元,少用8天记作-8天,可用算式(-5)×(-8)= 40,表示节省出40元.
教师:负数乘以负数居然得到了正数,能再给我们大家解释清楚吗?
学生7:每天父母给我5元钱准备支出,但我没有支出,留了下来,所以口袋里多出了40元.
教师:哦,该用的没有用,所以口袋里多出了一些钱. 大家懂了吗?
……
也许不够准确,也许不够严密,但朴素的生活道理却是人人不言自明的,没有机械的强迫,没有复杂的背景,不需要反复的比较和场景切换,无需费解的数学约定,由“负负而得正”,顺畅自然,合情合理. 5 结束语:希望就在脚下
看过了,不代表真正经历,会做题了,不代表真正领会,追寻师生心灵上的交融,打造出和谐的课堂,生命的课堂,让学生顺利地实现知识意义的建构,只要我们努力,就不会只是一种美好的设想.
参考文献
[1]义务教育课程标准实验教科书.七年级数学(上)[M].江苏科技出版社. 2007.5.
[2]龚烈烔.“负负得正”教学再思考[J].中学数学教学参考(初中),2008,(8).
[3]罗增儒.案例创作:“(-3)×(-4)=?”数轴表示的挑战[J].中学数学教学参考,2004,(12).
[4]曾小平,涂荣豹.基于数学规定的“有理数乘法”教学[J].中学数学教学参考(中旬),2009,(1—2).
[5]张奠宙,路建英.构建学生容易理解的教育形态——10个案例[J].中学数学教学参考(初中),2008,(3).