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三角形的角平分线、中线和高线是三角形中三条重要的线段理解“三线”的概念对证明线段和角之间的关系起着重要的作用，因此地位尤为突出.
一、三角形角平分线的用法
用法1直接应用角平分线的性质
例1如图1，点I是△ABC的内心，AI交△ABC的外接圆于点E，交边BC于点D，连接BE．
求证：EB=EI.
分析：由于线段EB和EI有公共端点E，所以要证EB＝EI，只要证明线段EB和EI围成的三角形是一个等腰三角形，即连接BI，证明∠EBI＝∠EIB即可．已知点I是△ABC的内心，它是三角形三条角平分线的交点，借助AI和BI是角平分线即可证明．
证明：连接BI．
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAE=∠CAE，∠ABI=∠CBI．
∵∠EBC=∠CAE，∴∠EBC=∠BAE．
∴∠EBC+∠CBI=∠BAE+∠ABI，
即∠EBI=∠EIB，∴EB=EI．
评注：本题中确定线段间的关系，可充分利用内心是三角形三条角平分线的交点这一条件，将证明线段的问题转化为三角形的问题解决．
用法2在角的两边截取相等的线段
例2如图2，已知△ABC的角平分线AD交BC于点D，且∠ABC=2∠C， AB=4 cm，BD=3 cm，求线段AC的长．
分析：只要将线段AC与已知线段AB和BD联系起来，问题就能得到解决，利用∠BAD与∠CAD相等，可在∠BAC的两边截取相等线段，如在边AB所在的射线上截取AE=AC，可得△AED≌△ACD，只要证明△BDE是等腰三角形即可.
证明：延长AB到E，使AE=AC，连接DE．
∵△ABC的角平分线AD交BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵AD=AD，∴△ADE≌ADC.
∴∠E=∠C．
∵∠ABC=2∠C，∠ABC=∠E+∠BDE，
∴∠E=∠BDE，∴BE=BD=3.
∴AC=AE=AB+BE=AB+BD=4+3=7cm．
评注：当给定的题设条件及图形并不具有明显的全等条件时，我们可根据图形的结构特征挖掘潜在因素，通过添加适当的辅助线，巧构全等三角形．
用法3向角的两边作垂线
例3如图2，在△ABC中，PB、PC分别是∠ABC和∠ACB的外角的平分线，求证：∠1=∠2.
分析：要证明AP是∠BAC的平分线，需要证明点P到∠BAC两边的距离相等，可作PE⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，易证PE=PH，PH=PG，从而得出PE=PG．
证明：过点P作PE⊥AB于点E，PG⊥AC于点G，PH⊥BC于点H．
∵P在∠EBC的平分线上，PE⊥AB，PH⊥BC，
∴PE=PH.
同理可证PH=PG.
∴PG=PE.
又因为PE⊥AB，PG⊥AC，所以PA是∠BAC的平分线，
所以∠1=∠2.
评注：本题巧妙地利用了角平分线的性质定理和判定定理.
用法4向角的一边作平行线
例4如图4，已知△ABC的角平分线AD交BC于点D．求证： =．
分析：由于线段BD和CD在一条直线上，过点C作CE∥AB交AD延长线于点E，就产生了相似三角形，得到 =，借助平行线和角平分线定理可得CE=AC，从而得证．
证明：过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E．
∴△ABD∽△ECD，∠BAD=∠E，
∴ =．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠E，∴AC=CE.
∴ =．
评注：根据题设和图形特征，恰当添加辅助线，巧构相似三角形，不仅能使问题化难为易，迎刃而解，而且有助于创新思维的培养．
二、三角形中线的用法
用法1利用中线证相似
例5如图5，Rt△ABC中∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为点D，延长△ABD的中线BE交AC于点F，过点F作FH⊥BC于点H．求证：FH2=AF·CF．
分析：要证FH2 =AF·CF，易想到证明它们围成的△CFH、△AFH相似，但△CFH为直角三角形，△AFH为钝角三角形，显然不相似.考虑到AD∥FH，故延长HF交BA的延长线于点G，借助点E为AD的中点，易知点F为GH的中点，只需证△AFG与△HFC相似即可得到要证的结论．
证明：延长HF交BA的延长线与点G．
∵AD⊥BC，FH⊥BC，
∴∠ADB=∠GHB=90°，∴AD∥GH，
∴△ABE∽△GBF，△BDE∽△BHF，
∴= ，= ，
∴ =．
∵AE=DE，∴GF=HF．
又∵∠GAF=∠FHC=90°，∠AFG=∠HFC，
∴△AFG∽△HFC.
∴= ，即FH2 =AF·CF．
评注：解决这类问题的总体思路是采用综合法或分析法，即根据已知条件推导结论或根据结论进行逆推，探索结论成立所须的条件．
用法2利用中点证全等
例6如图6，已知在△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE=EC，过点D作DF∥AB交AE于点F，且DF=AC.求证：AE平分∠BAC．
分析：DF∥AB，可知∠BAE=∠DFE．要证AE平分∠BAC，就转化为证∠DFE=∠CAE．利用点E为DC的中点，过点C作CH∥DF交AE的延长线于点H，既可得到∠DFE=∠H，又可得到△DEF≌△CEH，从而可得DF=CH=AC，得到∠CAE=∠H，从而得证AE平分∠BAC．
证明：过点C作CH∥DF交AE的延长线于点H．
∴∠DFE=∠H．
又∵DE=CE，∠DEF=∠CEH，
∴△DEF≌△CEH，∴DF=CH．
∵DF=AC，∴AC=CH，
∴∠CAE=∠H，∴∠DFE=∠CAE．
∵DF∥AB，∴∠BAE=∠DFE．
∴∠BAE=∠CAE，即AE平分∠BAC．
评注：本题从不变的数学本质出发，寻求变化的规律，题设层层递进，从而考查分析问题、应用数学模型解决问题的能力．
用法3利用中线作中位线
例7如图7，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，点F是BE延长线与AC的交点．则的值为（）．
A．1B．C．D．
分析：要求AF与FC的比值，可借助题目中的中点，转移AF或CF．如果取BF的中点H，则DH为△BCF的中位线，且可求得DH=AF．易求=．
证明：取BF的中点H．
在△BCF中，点D为BC的中点，点H为BF的中点，
∴DH为△BCF的中位线，
∴DH= CF，且DH∥AC，
∴∠HDE=∠FAE．
又∵∠DEH=∠AEF，AE=DE，
∴△DHE≌△AFE，∴DH=AF.
∴=，故选B．
评注：本题的解决方法较多，上述解法不仅用到利用中点作中位线，还用到利用中点作全等．
三、三角形高的用法
用法1直接运用高的定义
例8如图8，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A、D重合的一动点，PE⊥AC，PF⊥BD，垂足为E、F，则PE+PF的值为_________．
分析：由于P是AD上不与A、D重合的一动点，故PF和PE的值不确定．连接PO后， PE和PF分别为△APO和△DPO的高，在两个三角形中运用面积即可求得的PE＋PF的值．
证明：连接PO．
在Rt△ACD中，由勾股定理可得，AC=5．
在矩形ABCD中，AO=DO= AC=．
S△ADO=S△APO +S△DPO= AO·PE+ DO·PF
=（PE+PF）．
又 S△ADO= S矩形ABCD = ×3×4，
∴（PE＋PF）=×3×4，即PE＋PF=．
评注：本题充分利用高的定义，结合三角形的面积，求得PE＋PF的值.本题的实质是求等腰三角形底边上一点到两腰的距离和．
用法2利用定理转化问题
例9如图9，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE，G为垂足．
求证：G是CE的中点．
分析：AD是△ABC的高，则△ABD和△ACD均为直角三角形.由于CE是△ABC的中线，则点E为AB的中点，在Rt△ABD中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知DE= AB=BE.利用DC=BE可得DE=DC，从而利用等腰三角形三线合一定理可证．
证明：连接DE．
∵AD是△ABC的高，∴△ABD为直角三角形．
∵CE是△ABC的中线，∴则点E为AB的中点，
∴DE= AB=BE．
∵DC=BE，
∴DE=DC，
DG⊥CE，由等腰三角形三线合一定理可知，G是CE的中点．
评注：利用定理（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）的关键在于一是要有直角三角形，二是要找到斜边的中点.
编辑/王宇
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一、三角形角平分线的用法
用法1直接应用角平分线的性质
例1如图1，点I是△ABC的内心，AI交△ABC的外接圆于点E，交边BC于点D，连接BE．
求证：EB=EI.
分析：由于线段EB和EI有公共端点E，所以要证EB＝EI，只要证明线段EB和EI围成的三角形是一个等腰三角形，即连接BI，证明∠EBI＝∠EIB即可．已知点I是△ABC的内心，它是三角形三条角平分线的交点，借助AI和BI是角平分线即可证明．
证明：连接BI．
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAE=∠CAE，∠ABI=∠CBI．
∵∠EBC=∠CAE，∴∠EBC=∠BAE．
∴∠EBC+∠CBI=∠BAE+∠ABI，
即∠EBI=∠EIB，∴EB=EI．
评注：本题中确定线段间的关系，可充分利用内心是三角形三条角平分线的交点这一条件，将证明线段的问题转化为三角形的问题解决．
用法2在角的两边截取相等的线段
例2如图2，已知△ABC的角平分线AD交BC于点D，且∠ABC=2∠C， AB=4 cm，BD=3 cm，求线段AC的长．
分析：只要将线段AC与已知线段AB和BD联系起来，问题就能得到解决，利用∠BAD与∠CAD相等，可在∠BAC的两边截取相等线段，如在边AB所在的射线上截取AE=AC，可得△AED≌△ACD，只要证明△BDE是等腰三角形即可.
证明：延长AB到E，使AE=AC，连接DE．
∵△ABC的角平分线AD交BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵AD=AD，∴△ADE≌ADC.
∴∠E=∠C．
∵∠ABC=2∠C，∠ABC=∠E+∠BDE，
∴∠E=∠BDE，∴BE=BD=3.
∴AC=AE=AB+BE=AB+BD=4+3=7cm．
评注：当给定的题设条件及图形并不具有明显的全等条件时，我们可根据图形的结构特征挖掘潜在因素，通过添加适当的辅助线，巧构全等三角形．
用法3向角的两边作垂线
例3如图2，在△ABC中，PB、PC分别是∠ABC和∠ACB的外角的平分线，求证：∠1=∠2.
分析：要证明AP是∠BAC的平分线，需要证明点P到∠BAC两边的距离相等，可作PE⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，易证PE=PH，PH=PG，从而得出PE=PG．
证明：过点P作PE⊥AB于点E，PG⊥AC于点G，PH⊥BC于点H．
∵P在∠EBC的平分线上，PE⊥AB，PH⊥BC，
∴PE=PH.
同理可证PH=PG.
∴PG=PE.
又因为PE⊥AB，PG⊥AC，所以PA是∠BAC的平分线，
所以∠1=∠2.
评注：本题巧妙地利用了角平分线的性质定理和判定定理.
用法4向角的一边作平行线
例4如图4，已知△ABC的角平分线AD交BC于点D．求证： =．
分析：由于线段BD和CD在一条直线上，过点C作CE∥AB交AD延长线于点E，就产生了相似三角形，得到 =，借助平行线和角平分线定理可得CE=AC，从而得证．
证明：过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E．
∴△ABD∽△ECD，∠BAD=∠E，
∴ =．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠E，∴AC=CE.
∴ =．
评注：根据题设和图形特征，恰当添加辅助线，巧构相似三角形，不仅能使问题化难为易，迎刃而解，而且有助于创新思维的培养．
二、三角形中线的用法
用法1利用中线证相似
例5如图5，Rt△ABC中∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为点D，延长△ABD的中线BE交AC于点F，过点F作FH⊥BC于点H．求证：FH2=AF·CF．
分析：要证FH2 =AF·CF，易想到证明它们围成的△CFH、△AFH相似，但△CFH为直角三角形，△AFH为钝角三角形，显然不相似.考虑到AD∥FH，故延长HF交BA的延长线于点G，借助点E为AD的中点，易知点F为GH的中点，只需证△AFG与△HFC相似即可得到要证的结论．
证明：延长HF交BA的延长线与点G．
∵AD⊥BC，FH⊥BC，
∴∠ADB=∠GHB=90°，∴AD∥GH，
∴△ABE∽△GBF，△BDE∽△BHF，
∴= ，= ，
∴ =．
∵AE=DE，∴GF=HF．
又∵∠GAF=∠FHC=90°，∠AFG=∠HFC，
∴△AFG∽△HFC.
∴= ，即FH2 =AF·CF．
评注：解决这类问题的总体思路是采用综合法或分析法，即根据已知条件推导结论或根据结论进行逆推，探索结论成立所须的条件．
用法2利用中点证全等
例6如图6，已知在△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE=EC，过点D作DF∥AB交AE于点F，且DF=AC.求证：AE平分∠BAC．
分析：DF∥AB，可知∠BAE=∠DFE．要证AE平分∠BAC，就转化为证∠DFE=∠CAE．利用点E为DC的中点，过点C作CH∥DF交AE的延长线于点H，既可得到∠DFE=∠H，又可得到△DEF≌△CEH，从而可得DF=CH=AC，得到∠CAE=∠H，从而得证AE平分∠BAC．
证明：过点C作CH∥DF交AE的延长线于点H．
∴∠DFE=∠H．
又∵DE=CE，∠DEF=∠CEH，
∴△DEF≌△CEH，∴DF=CH．
∵DF=AC，∴AC=CH，
∴∠CAE=∠H，∴∠DFE=∠CAE．
∵DF∥AB，∴∠BAE=∠DFE．
∴∠BAE=∠CAE，即AE平分∠BAC．
评注：本题从不变的数学本质出发，寻求变化的规律，题设层层递进，从而考查分析问题、应用数学模型解决问题的能力．
用法3利用中线作中位线
例7如图7，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，点F是BE延长线与AC的交点．则的值为（）．
A．1B．C．D．
分析：要求AF与FC的比值，可借助题目中的中点，转移AF或CF．如果取BF的中点H，则DH为△BCF的中位线，且可求得DH=AF．易求=．
证明：取BF的中点H．
在△BCF中，点D为BC的中点，点H为BF的中点，
∴DH为△BCF的中位线，
∴DH= CF，且DH∥AC，
∴∠HDE=∠FAE．
又∵∠DEH=∠AEF，AE=DE，
∴△DHE≌△AFE，∴DH=AF.
∴=，故选B．
评注：本题的解决方法较多，上述解法不仅用到利用中点作中位线，还用到利用中点作全等．
三、三角形高的用法
用法1直接运用高的定义
例8如图8，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A、D重合的一动点，PE⊥AC，PF⊥BD，垂足为E、F，则PE+PF的值为_________．
分析：由于P是AD上不与A、D重合的一动点，故PF和PE的值不确定．连接PO后， PE和PF分别为△APO和△DPO的高，在两个三角形中运用面积即可求得的PE＋PF的值．
证明：连接PO．
在Rt△ACD中，由勾股定理可得，AC=5．
在矩形ABCD中，AO=DO= AC=．
S△ADO=S△APO +S△DPO= AO·PE+ DO·PF
=（PE+PF）．
又 S△ADO= S矩形ABCD = ×3×4，
∴（PE＋PF）=×3×4，即PE＋PF=．
评注：本题充分利用高的定义，结合三角形的面积，求得PE＋PF的值.本题的实质是求等腰三角形底边上一点到两腰的距离和．
用法2利用定理转化问题
例9如图9，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE，G为垂足．
求证：G是CE的中点．
分析：AD是△ABC的高，则△ABD和△ACD均为直角三角形.由于CE是△ABC的中线，则点E为AB的中点，在Rt△ABD中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知DE= AB=BE.利用DC=BE可得DE=DC，从而利用等腰三角形三线合一定理可证．
证明：连接DE．
∵AD是△ABC的高，∴△ABD为直角三角形．
∵CE是△ABC的中线，∴则点E为AB的中点，
∴DE= AB=BE．
∵DC=BE，
∴DE=DC，
DG⊥CE，由等腰三角形三线合一定理可知，G是CE的中点．
评注：利用定理（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）的关键在于一是要有直角三角形，二是要找到斜边的中点.
编辑/王宇
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”