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摘要：“减负”的实施，让学生从大量的习题中解放出来，培养学生的创新能力和解决问题的能力，是教师进行课堂教学改革所要追寻的最终目标。而实现这一目标的途径是多方位、多角度、多因素的。笔者认为，注重变式教学是提高学生学习效率的一种强有力的教学措施。变式教学是对数学中的问题进行不同层次、不同情形、不同背景的变式，以暴露数学的本质，揭示不同知识点间内在联系的一种教学方法。本文介绍了笔者在变式教学上的尝试，旨在与同仁一起交流分享。
关键词：变式教学；数学；高效
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）05-0102
题目：如图1，在正方形ABCD中，点M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点。N是∠DCP的平分线上一点.若∠AMN=90°，求证：AM=MN.
题目一抛出，思考片刻，有学生举手。
学生1：看到∠AMN=90°这个条件，我想到构造“一线三等角”模型（如图2）。过点N作NF⊥BP，易得∠1=∠2。再根据∠B=∠NFM=90°，得△ABM∽△MFN。
∵∠NCF=45°
∴设CF=NF=x，MC=y，BM=z，
由△ABM∽△MFN得：■=■，
∴■=■，化简得：x=z。
∴■=■=■=1即AM=MN
学生2：要证明AM=MN，我想到构造全等三角形。在AB边上截取AE=MC，连结EM。易得△EBM为等腰直角三角形，则∠AEM=∠MCN=135°，∵∠1=∠2，∴△AEM≌△MCN.∴AM=MN。
师：两位同学的建模构造得非常漂亮！现在老师再给它找个双胞胎兄弟。已知正方形ABCD和正方形ECGF如图4放置（B、C、G三点共线），连结AF、DG交于点O，求证：∠AOD=45°。
生思考片刻，没动静。师启发：45°角可以构造等腰直角三角形，要出现等腰三角形，我们同样可以去构造全等三角形。
温馨提示，可以参照图3的解法。
生3：老师，我做出来了。如图5，在BC边上截取BH=CG，连结AH、FH，FH交DG于点M。则BC=AB=HG，BH=GF，∠B=∠FCG=90°，∴△ABH≌△HGF。∴AH=HF，∠1=∠2。∵∠1 ∠3=90°，∴∠2 ∠3=90°，得△AFH为等腰直角三角形。∴∠AFH=45°。又∵AD∥HG，AD=BC=HG，∴四邊形AHGD为平行四边形.∴HF⊥DG，∴∠AOD=∠FOM=45°。
话音刚落，其他学生忍不住为其鼓掌.多么敏捷的思维，多么严谨的语言。趁胜追击，笔者将题进一步变式：现在老师让调皮的小弟弟（小正方形ECGF）牵着哥哥的手（点C）旋转到某个位置（如图6），请问这时∠AOD还等于45°吗？
学生纷纷点头，嘴里嘀咕着：凭多年的解题经验∠AOD应该还是45°。
师：那我们能不能用类似的方法去解决这种情况呢？
有学生马上否定：肯定不是构造全等三角形了，因为此时点B、C、G不在同一条直线上，找不到刚才的那对全等三角形了。
师：哦，那我们要另寻方法了。构造不了等腰直角三角形，那我们想想，在正方形中，哪里可以找到45°的身影呢？
众生齐答：连结正方形的对角线，对角线平分直角。
师继续引导：所有的正方形都是相似图形，那我们能不能从相似三角形着手试试呢？
学生有种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的喜悦感，开始埋头尝试起来。
生4：老师，我真的解出来了。如图7，连结AC、CF，设AF与DC的交点为点H.∵正方形ABCD和正方形ECGF。∴■=■=■。又∵∠ACF=45° ∠DCE 45°=90° ∠DCE，∠DCG=90° ∠DCE，∴∠ACF=∠DCG。∴△ACF∽△DCG。∴∠1=∠2。又∵∠AHC=∠DHO。∴∠AOD=∠ACD=45°。
师：非常棒！以上的三个题，我们体验了根据题意出发，完美构造全等三角形和构造相似三角形，同时也体验了从图形特殊的位置（三点共线）到旋转至任意位置的解题策略。
现在老师暂且给类似图6的两个双胞胎（相似图形）的一个顶点重合在一起的两个图形称为“手牵手”型。刚才的两个双胞胎是正方形，老师在想，当双胞胎的形状发生改变时，不知还会不会有类似的结论。
这时，教室里开始一阵“骚动”，学生们开始跃跃欲试了。
生5：老师，我想到了最简单但又很美的图形——等腰直角三角形（该生边说边上台画出了图8的图形），然后自信满满地说：此时的∠AOC=45°。明白的同学请举手。
在座的学生先是愣了一下，随后不约而同地举起了双手！多么聪明的孩子啊，把正方形的另一半“抛弃”以后就成了这种“手牵手”型的，我不禁感叹学生的聪颖与睿智！
受到了这位同学的启发，其他学生也不甘落后，开始大胆猜测、验证。
生6：老师，我觉得还可以是两个等边三角形“手牵手”型.如图9，∵两个等边三角形相似，同理可得△ACE∽△BCD，∴∠1=∠2。又∵∠BHC=∠AHO。∴∠AOB=∠ACB=60°。
掌声响起了，那是源自学生内心深处的喜悦啊！
生7：老师，老师，我还有发现.我觉得只要两个顶角相等的等腰三角形“手牵手”，同理可得∠AOB=∠ACB，也就是∠AOB的度数等于等腰三角形的顶角度数。
生8：老师，我还总结出了这样一个结论：“手牵手”型的三角形全等或相似都是SAS型的，其中两边是两个相似图形的大边和小边，夹角是它们的相等的内角加上公共角。
这时，教室里顿时沸腾起来，所有的学生向生7和生8投去了“羡慕、嫉妒、恨”的目光。此刻学生的思维已经达到了质的飞跃，从正方形的“手牵手”型着手，让学生自己去观察、发现、创造、概括，让学生经历了方法模型的过程，掌握了抓住基本图形的变化，体会变中不变的性质，笔者认为这肯定是传统课堂所严重缺失的部分。
“手牵手”型的变式历程，让笔者更加坚信变式教学的高效性，尤其是在教师引导下的学生自主地对题目进行改编并进行解答，能最大程度地激发学生的好奇心和求知欲，在变式训练中提高学生识别和运用基本模型的能力，使学生的解题能力得到更高层次的提升，对学生思维发展提供知识再创造的过程，也使类比、转化、特殊与一般数学思想在变题、解题过程中自然、完美地进行渗透，真正达到举一反三、触类旁通的效果。
相信在变式的路上，抓住数学的本质，形散而神不散，一定会迎来繁花相送的美丽景象！
（作者单位：浙江省宁波市鄞州区姜山镇中心初级中学 315100）
关键词：变式教学；数学；高效
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）05-0102
题目：如图1，在正方形ABCD中，点M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点。N是∠DCP的平分线上一点.若∠AMN=90°，求证：AM=MN.
题目一抛出，思考片刻，有学生举手。
学生1：看到∠AMN=90°这个条件，我想到构造“一线三等角”模型（如图2）。过点N作NF⊥BP，易得∠1=∠2。再根据∠B=∠NFM=90°，得△ABM∽△MFN。
∵∠NCF=45°
∴设CF=NF=x，MC=y，BM=z，
由△ABM∽△MFN得：■=■，
∴■=■，化简得：x=z。
∴■=■=■=1即AM=MN
学生2：要证明AM=MN，我想到构造全等三角形。在AB边上截取AE=MC，连结EM。易得△EBM为等腰直角三角形，则∠AEM=∠MCN=135°，∵∠1=∠2，∴△AEM≌△MCN.∴AM=MN。
师：两位同学的建模构造得非常漂亮！现在老师再给它找个双胞胎兄弟。已知正方形ABCD和正方形ECGF如图4放置（B、C、G三点共线），连结AF、DG交于点O，求证：∠AOD=45°。
生思考片刻，没动静。师启发：45°角可以构造等腰直角三角形，要出现等腰三角形，我们同样可以去构造全等三角形。
温馨提示，可以参照图3的解法。
生3：老师，我做出来了。如图5，在BC边上截取BH=CG，连结AH、FH，FH交DG于点M。则BC=AB=HG，BH=GF，∠B=∠FCG=90°，∴△ABH≌△HGF。∴AH=HF，∠1=∠2。∵∠1 ∠3=90°，∴∠2 ∠3=90°，得△AFH为等腰直角三角形。∴∠AFH=45°。又∵AD∥HG，AD=BC=HG，∴四邊形AHGD为平行四边形.∴HF⊥DG，∴∠AOD=∠FOM=45°。
话音刚落，其他学生忍不住为其鼓掌.多么敏捷的思维，多么严谨的语言。趁胜追击，笔者将题进一步变式：现在老师让调皮的小弟弟（小正方形ECGF）牵着哥哥的手（点C）旋转到某个位置（如图6），请问这时∠AOD还等于45°吗？
学生纷纷点头，嘴里嘀咕着：凭多年的解题经验∠AOD应该还是45°。
师：那我们能不能用类似的方法去解决这种情况呢？
有学生马上否定：肯定不是构造全等三角形了，因为此时点B、C、G不在同一条直线上，找不到刚才的那对全等三角形了。
师：哦，那我们要另寻方法了。构造不了等腰直角三角形，那我们想想，在正方形中，哪里可以找到45°的身影呢？
众生齐答：连结正方形的对角线，对角线平分直角。
师继续引导：所有的正方形都是相似图形，那我们能不能从相似三角形着手试试呢？
学生有种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的喜悦感，开始埋头尝试起来。
生4：老师，我真的解出来了。如图7，连结AC、CF，设AF与DC的交点为点H.∵正方形ABCD和正方形ECGF。∴■=■=■。又∵∠ACF=45° ∠DCE 45°=90° ∠DCE，∠DCG=90° ∠DCE，∴∠ACF=∠DCG。∴△ACF∽△DCG。∴∠1=∠2。又∵∠AHC=∠DHO。∴∠AOD=∠ACD=45°。
师：非常棒！以上的三个题，我们体验了根据题意出发，完美构造全等三角形和构造相似三角形，同时也体验了从图形特殊的位置（三点共线）到旋转至任意位置的解题策略。
现在老师暂且给类似图6的两个双胞胎（相似图形）的一个顶点重合在一起的两个图形称为“手牵手”型。刚才的两个双胞胎是正方形，老师在想，当双胞胎的形状发生改变时，不知还会不会有类似的结论。
这时，教室里开始一阵“骚动”，学生们开始跃跃欲试了。
生5：老师，我想到了最简单但又很美的图形——等腰直角三角形（该生边说边上台画出了图8的图形），然后自信满满地说：此时的∠AOC=45°。明白的同学请举手。
在座的学生先是愣了一下，随后不约而同地举起了双手！多么聪明的孩子啊，把正方形的另一半“抛弃”以后就成了这种“手牵手”型的，我不禁感叹学生的聪颖与睿智！
受到了这位同学的启发，其他学生也不甘落后，开始大胆猜测、验证。
生6：老师，我觉得还可以是两个等边三角形“手牵手”型.如图9，∵两个等边三角形相似，同理可得△ACE∽△BCD，∴∠1=∠2。又∵∠BHC=∠AHO。∴∠AOB=∠ACB=60°。
掌声响起了，那是源自学生内心深处的喜悦啊！
生7：老师，老师，我还有发现.我觉得只要两个顶角相等的等腰三角形“手牵手”，同理可得∠AOB=∠ACB，也就是∠AOB的度数等于等腰三角形的顶角度数。
生8：老师，我还总结出了这样一个结论：“手牵手”型的三角形全等或相似都是SAS型的，其中两边是两个相似图形的大边和小边，夹角是它们的相等的内角加上公共角。
这时，教室里顿时沸腾起来，所有的学生向生7和生8投去了“羡慕、嫉妒、恨”的目光。此刻学生的思维已经达到了质的飞跃，从正方形的“手牵手”型着手，让学生自己去观察、发现、创造、概括，让学生经历了方法模型的过程，掌握了抓住基本图形的变化，体会变中不变的性质，笔者认为这肯定是传统课堂所严重缺失的部分。
“手牵手”型的变式历程，让笔者更加坚信变式教学的高效性，尤其是在教师引导下的学生自主地对题目进行改编并进行解答，能最大程度地激发学生的好奇心和求知欲，在变式训练中提高学生识别和运用基本模型的能力，使学生的解题能力得到更高层次的提升，对学生思维发展提供知识再创造的过程，也使类比、转化、特殊与一般数学思想在变题、解题过程中自然、完美地进行渗透，真正达到举一反三、触类旁通的效果。
相信在变式的路上，抓住数学的本质，形散而神不散，一定会迎来繁花相送的美丽景象！
（作者单位：浙江省宁波市鄞州区姜山镇中心初级中学 315100）