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《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）提出“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.认真听课、积极思考、动手操作、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”.由此可见，数学教学过程应当是在教师指导下的一种学生自主探索的学习活动过程.为了体现让学生充分参与“活动”，在数学教学中，一定要给学生提供机会，让他们尝试用自主、主动的方式，去探索发现问题.下面通过一个案例来展示探索的过程.
案例三角形内角和等于180°.
这是数学中的一个定理，大部分教材都是通过“拼接”图形的方法“直观”得到的.由于拼接的方法有多种，所以这是培养学生发现新方法、提出新问题的好“素材”.利用这个素材可以培养学生观察、思考、探索、交流的能力以及发现问题、提出问题的能力.下面是某中学教师设计的探索过程，这个过程分为五个环节：
（1）情景、设疑
师：同学们回忆一下，我们在小学是用什么方法来验证“三角形的内角和等于180°”的？
（2）剪纸、拼图
S1：用量角器量三个内角的度数，计算它们的和，得出结论.
S2：用撕拼的方法，将三角形中的两个角剪下，拼在第三个角的旁边，看是否能构成平角.
S3：用折纸的方法，将三个角折叠到一起.
师：上面三名同学为我们提供了不同的验证方法.下面我们以小组为单位进行验证，验证完后请同学代表你们的小组上来展示验证方法.
S4：我们是用两种方法进行验证的：
一种方法是测量法，如图1，分别测得∠A=58°，∠B=62°，∠C=60°，这样就有：
∠A ∠B ∠C=58° 62° 60°=180°；
图1图2另一种方法是剪拼法，如图2，将∠A、∠B剪下拼到点C处，可以得到：
∠A ∠B ∠C=180°.
师：你是怎样知道∠A ∠B ∠C=180°的？
S5：因为∠A、∠B、∠C拼成了一个平角.
S6：我们小组也是用剪拼的方法，不过拼的方法和他们的不一样.我们拼的图形如图3所示，∠A、∠B、∠C也拼成了一个平角.
S7：我们小组是这样拼的：如图4，只把∠A移动拼在∠C处，根据两直线平行，同旁內角互补，可得到：∠A ∠B ∠C=180°.
（3）发现、生成
师：好，数学结论的正确性是要建立在推理基础上的.上述实验结果是否可靠，还需要加以证明.刚才的拼图过程已经为我们提供了证明的思路和方法，请把你们是怎么想到各种拼接的方法，以及证明的方法先在小组内相互交流.然后每个小组出一名同学代表你们小组在全班进行汇报.在汇报结束后，我们针对他的方法和依据提出问题，最后请做汇报的同学予以答辩.
S8（第6小组的代表）：过点C作CD∥AB，延长BC到E（如图5），证明过程如下：
因为∠1=∠A，∠2=∠B，所以∠A ∠B ∠C=180°.图5
S9：生8的说理过程有问题，以下是我们小组的说理过程：
因为CD∥AB，所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），
∠2=∠B（两直线平行，同位角相等），
又因为∠ACB ∠1 ∠2=180°（平角意义），所以∠A ∠B ∠C=180°.
师：很好，补充上因果关系就比较清楚了.老师还有一个疑问，你是怎样想到过点C作AB的平行线CD的？
S8：由图4的拼法可以发现：把∠A剪下并拼到点C处时，得到∠A=∠A，根据内错角相等，可以得到两直线平行；反过来，如果两直线平行，那么∠A=∠A，就相当于把∠A剪下并拼到点C处.这样，我们就得到图5所示的作平行线的方法.
师：你们很善于借助拼图中的经验解答问题.如果不作平行线能行吗？图6
S10：如图6，直接在点C处以点C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形ABC外画∠1=∠A，延长BC到E.理由如下：
因为∠1=∠A，所以CD∥AB（内错角相等，两直线平行）.
因为CD∥AB，所以∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）.
所以有∠A ∠B ∠ACB=∠1 ∠2 ∠ACB=180°.
师：好！其他小组还有别的方法吗？
S11（第4小组的代表）：我们受图3的启发，过点C画EF∥AB，如图7.这样相当于把∠A、∠B拼在∠ACB的两旁.理由为：
因为EF∥AB，所以∠1=∠A，∠2=∠B（两直线平行，内错角相等）.
所以有∠A ∠B ∠ACB=∠1 ∠2 ∠ACB=180°.
S12：（第1小组代表）：我们受拼图4的启发，如图8，过点C作CD∥AB.理由如下：
因为CD∥AB，所以∠B ∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
所以∠A ∠B ∠ACB=180°.
S13：我认为S12的说理不够准确.应在第一个“所以”后加上“∠ACD=∠A（两直线平行，内错角相等）”.
师：同学们实在是太聪明了.大家不仅能从拼图中发现方法，采用不同的途径证明“三角形的内角和等于180度”（板书），而且道理也讲得很明白.
（4）拓展、探索
由于平行线这种辅助线作法在平面几何中有着很重要的应用，教师抓住时机，提出问题.
师：有人说“过平面上任一点作三角形边的平行线均可证明三角形内角和结论”，你们认为行吗？
一石激起千层浪，此时，学生已发现过三角形的顶点作对边的平行线可达目的.学生在学习小组内展开了积极的讨论，尝试过其它点画平行线，不一会儿就有学生举手. S3：如下图9，在BC上任意取一点P，作PE∥AC、PD∥AB.说理过程如下：
因为PD∥AB，所以∠1=∠B、∠A=∠2（两直线平行，同位角相等）.
因为PE∥AC，所以∠3=∠C（两直线平行，同位角相等）.
∠4=∠2（两直线平行，内错角相等）.
所以∠A ∠B ∠C=∠3 ∠4 ∠1=∠BPC=180°.
S14（第2小组的代表）：如图10，在△ABC的内部任取一点P，分别作MN∥BC、PD∥AB、PE∥AC.思路如下：
因为MN∥BC，所以∠AMN=∠B、∠ANM=∠C（两直线平行，同位角相等）.接下来就可以转化为生3的证明方法了.
15（第3小组的代表）：在△ABC外任取一点P，如图11所示，过点P作MN∥BC交AB、AC的延长线于点M、N，作PD∥AB、PE∥AC分别交AC、AB于点D、E.证明方法类似S14.
在学生解决问题之后，教师提出一个能激发学生继续探究的问题，引导学生进入到新的研究境地，学生在这个研究境地中发现的就不再是个别的解决问题的方法，而是通过独立探索、合作交流，发现不同解决方法之间的转化途径.让学生“身不由己”地经历从“一般到特殊”，再由“特殊到一般”的过程.
（5）归纳、升华
师：大家都研究好了，那么，如何把我们研究的方法归纳一下呢？
S16：我认为从作平行线的点的位置分类归纳，可分三种情况：点在三角形边上；点在三角形内；点在三角形外.
师：好！请一个同学把刚才的方法归纳一下.
S17：我们发现过三角形所在平面内的任意一点作三角形边的平行线，均可达到目的：
①如果过三角形的顶点做平行线，只需作一条平行线即可，如图5、图7、图8的情形；
②如果过三角形一边上一点作平行线（顶点外，含边的延长线上的点），需作两条平行线，如图9的情形；
③如果过三角形内或外一点作平行线，需作三条平行线，如图10、图11的情形.
师：就这个问题来说，同学们有多种方法可以完成.无论哪种研究方法都“锁定”了一点，即180°，这是解决问题的核心所在.正当教师准备结束对这个问题的讨论时，又有一个学生把手高高举起了.
S18：我发现过三角形的任一顶点作平行线也可论证.下面是论证过程：如图12，在BC上取点D，连接AD，过点B、C分别作BE∥AD，CF∥AD.
因为BE∥AD，CF∥AD，所以BE∥AD∥CF，
所以∠1=∠3，∠4=∠2（两直线平行，内错角相等），
∠EBC ∠FCB=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
又因为∠BAC=∠3 ∠4，所以有∠ABC ∠BAC ∠ACB=180°，即
∠A ∠B ∠C=180°.
師：很好！这种方法是正确的，我都没有想到这样的方法，看来研究这个问题的方法还是很多的，相信同学们一定还能发现其他方法.课后继续在小组内研究交流，把新的方法告诉老师.
通过教师的引导，把学生研究的方法加以归纳总结，学生研究问题的思想方法就不再是零散的、单一的，而是“多法合一”、“殊途同归”.同时，也点燃了学生思维的火花，为今后多边形内角和的论证提供了方法上的借鉴.
从上面的探索过程看，学生的个性得到了充分的发展，很好的体现了《标准》提出的“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的课程基本理念.我们知道在数学教学中，教师一定要善于捕捉和利用生成性的资源，在这方面本课例也是非常成功的.该探索过程强调了学生已有的知识背景（三角形内角和的知识），学生的实践活动（动手剪拼），学生的抽象概括（由剪拼图抽象成几何模型），学生的知识迁移（由几何模型到辅助线的作法），学生的思维发散（强调联系、联想），渗透数学思想（分类、化归、一般与特殊）.
历代的教育家都不同程度地提出了在教学活动中培养学生探索精神的作用.孔丘的“学而不思则罔，思而不学则殆”强调了在学习过程中思考探索对学习的意义；空想社会主义者们要求将教育放在生产劳动之中，是强调了实践探索的作用；杜威的实用主义教育思想，罗杰斯的“以学生为中心”教育思想，以及布鲁纳的“发现学习”思想和赞科夫的“一般发展”教学理论，都不同程度地强调了对学生进行探索精神与探索能力的培养.但是，翻阅教育发展的历史，我们便不难发现，关于学生的探索学习问题还远远没有被提到应有的高度.探索意识与探索能力培养之于学生学习、之于学生发展、之于社会进步所起到的巨大作用，还远远没有被人们认识.因此，构建一种以探索学习为主轴的教学活动模式，突出学生探索精神、探索能力与创新能力的培养，便成为我们数学教学的重心之一.为此：
1.教师要认真学习和研究《标准》，用课改的理念来统领我们的教学.
2.彻底转变学习方式，注重过程教学.教学中必须重视数学知识的形成过程，让学生在亲身“参入”、“经历”这些知识的发生、发展过程中掌握这些知识，学生在经历过程中其动手操作能力、探索发现能力和空间想象能力才能得以培养和提高.
3.以显现的数学知识为载体，加强数学思想方法的教学.《标准》已把基本的数学思想方法作为基础知识，这就决定了我们数学教学的一个方向——注重数学思想方法的教学.数学思想方法越来越多地被应用于环境科学、经济学、社会学、心理学和认知科学之中.在这样的时代，学生只有掌握了一些具有普遍意义的数学思想方法，才能够有效地创造性地解决所遇到的问题.
4.教师要精心地剪辑与选编教材.剪辑、补充与选编教材是教师指导作用的具体体现形式之一，也是教师的一个创造性活动.在目前的情况下，一部教材往往供几百万、几千万学生共同使用，其科学性与合理性固且不说，起码的一点是，它不可能照顾到不同地域、不同性格和使用不同教学方法的学生的学习特点.因此，教师们要创造性的使用教材，在课前合理地安排教学内容，采取删减、组合、补充等方法，使呈现在学生面前的教材，符合人类的认知规律，符合知识的发展逻辑，符合学生的各自特点，并为学生的探索学习创设好简明的知识序列.
5.在教学过程中，教师要着力引导学生去阅读、去思考、去尝试、去探索、去发现、去进行自主探索学习.要养成学生自主探索学习的习惯.同时要启发学生更加主动地提出问题、解决问题，并自主地探索、总结解决问题中所用到或产生的思想与方法.同时要使自己所掌握的知识、能力与思想方法有机融合，形成牢固的认知结构.
6.教师与学生、学生与学生之间要形成良好的合作学习关系.这种良好关系的形成有利于学生探索意识与探索能力的培养.
7.加强对学生自信心的培养.一个人的自信心是它能有效地进行（创新性）学习的基础，更是他将来能适应经济时代的必备心理素质.基于这样一个事实，许多国家都把对学生自信心的培养作为数学教育的一个基本目标，使学生从自身的生活背景中发现数学、创造数学、运用数学，并在此过程中获得足够的自信.许多事例说明我们的学生更需要建立自信心.
案例三角形内角和等于180°.
这是数学中的一个定理，大部分教材都是通过“拼接”图形的方法“直观”得到的.由于拼接的方法有多种，所以这是培养学生发现新方法、提出新问题的好“素材”.利用这个素材可以培养学生观察、思考、探索、交流的能力以及发现问题、提出问题的能力.下面是某中学教师设计的探索过程，这个过程分为五个环节：
（1）情景、设疑
师：同学们回忆一下，我们在小学是用什么方法来验证“三角形的内角和等于180°”的？
（2）剪纸、拼图
S1：用量角器量三个内角的度数，计算它们的和，得出结论.
S2：用撕拼的方法，将三角形中的两个角剪下，拼在第三个角的旁边，看是否能构成平角.
S3：用折纸的方法，将三个角折叠到一起.
师：上面三名同学为我们提供了不同的验证方法.下面我们以小组为单位进行验证，验证完后请同学代表你们的小组上来展示验证方法.
S4：我们是用两种方法进行验证的：
一种方法是测量法，如图1，分别测得∠A=58°，∠B=62°，∠C=60°，这样就有：
∠A ∠B ∠C=58° 62° 60°=180°；
图1图2另一种方法是剪拼法，如图2，将∠A、∠B剪下拼到点C处，可以得到：
∠A ∠B ∠C=180°.
师：你是怎样知道∠A ∠B ∠C=180°的？
S5：因为∠A、∠B、∠C拼成了一个平角.
S6：我们小组也是用剪拼的方法，不过拼的方法和他们的不一样.我们拼的图形如图3所示，∠A、∠B、∠C也拼成了一个平角.
S7：我们小组是这样拼的：如图4，只把∠A移动拼在∠C处，根据两直线平行，同旁內角互补，可得到：∠A ∠B ∠C=180°.
（3）发现、生成
师：好，数学结论的正确性是要建立在推理基础上的.上述实验结果是否可靠，还需要加以证明.刚才的拼图过程已经为我们提供了证明的思路和方法，请把你们是怎么想到各种拼接的方法，以及证明的方法先在小组内相互交流.然后每个小组出一名同学代表你们小组在全班进行汇报.在汇报结束后，我们针对他的方法和依据提出问题，最后请做汇报的同学予以答辩.
S8（第6小组的代表）：过点C作CD∥AB，延长BC到E（如图5），证明过程如下：
因为∠1=∠A，∠2=∠B，所以∠A ∠B ∠C=180°.图5
S9：生8的说理过程有问题，以下是我们小组的说理过程：
因为CD∥AB，所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），
∠2=∠B（两直线平行，同位角相等），
又因为∠ACB ∠1 ∠2=180°（平角意义），所以∠A ∠B ∠C=180°.
师：很好，补充上因果关系就比较清楚了.老师还有一个疑问，你是怎样想到过点C作AB的平行线CD的？
S8：由图4的拼法可以发现：把∠A剪下并拼到点C处时，得到∠A=∠A，根据内错角相等，可以得到两直线平行；反过来，如果两直线平行，那么∠A=∠A，就相当于把∠A剪下并拼到点C处.这样，我们就得到图5所示的作平行线的方法.
师：你们很善于借助拼图中的经验解答问题.如果不作平行线能行吗？图6
S10：如图6，直接在点C处以点C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形ABC外画∠1=∠A，延长BC到E.理由如下：
因为∠1=∠A，所以CD∥AB（内错角相等，两直线平行）.
因为CD∥AB，所以∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）.
所以有∠A ∠B ∠ACB=∠1 ∠2 ∠ACB=180°.
师：好！其他小组还有别的方法吗？
S11（第4小组的代表）：我们受图3的启发，过点C画EF∥AB，如图7.这样相当于把∠A、∠B拼在∠ACB的两旁.理由为：
因为EF∥AB，所以∠1=∠A，∠2=∠B（两直线平行，内错角相等）.
所以有∠A ∠B ∠ACB=∠1 ∠2 ∠ACB=180°.
S12：（第1小组代表）：我们受拼图4的启发，如图8，过点C作CD∥AB.理由如下：
因为CD∥AB，所以∠B ∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
所以∠A ∠B ∠ACB=180°.
S13：我认为S12的说理不够准确.应在第一个“所以”后加上“∠ACD=∠A（两直线平行，内错角相等）”.
师：同学们实在是太聪明了.大家不仅能从拼图中发现方法，采用不同的途径证明“三角形的内角和等于180度”（板书），而且道理也讲得很明白.
（4）拓展、探索
由于平行线这种辅助线作法在平面几何中有着很重要的应用，教师抓住时机，提出问题.
师：有人说“过平面上任一点作三角形边的平行线均可证明三角形内角和结论”，你们认为行吗？
一石激起千层浪，此时，学生已发现过三角形的顶点作对边的平行线可达目的.学生在学习小组内展开了积极的讨论，尝试过其它点画平行线，不一会儿就有学生举手. S3：如下图9，在BC上任意取一点P，作PE∥AC、PD∥AB.说理过程如下：
因为PD∥AB，所以∠1=∠B、∠A=∠2（两直线平行，同位角相等）.
因为PE∥AC，所以∠3=∠C（两直线平行，同位角相等）.
∠4=∠2（两直线平行，内错角相等）.
所以∠A ∠B ∠C=∠3 ∠4 ∠1=∠BPC=180°.
S14（第2小组的代表）：如图10，在△ABC的内部任取一点P，分别作MN∥BC、PD∥AB、PE∥AC.思路如下：
因为MN∥BC，所以∠AMN=∠B、∠ANM=∠C（两直线平行，同位角相等）.接下来就可以转化为生3的证明方法了.
15（第3小组的代表）：在△ABC外任取一点P，如图11所示，过点P作MN∥BC交AB、AC的延长线于点M、N，作PD∥AB、PE∥AC分别交AC、AB于点D、E.证明方法类似S14.
在学生解决问题之后，教师提出一个能激发学生继续探究的问题，引导学生进入到新的研究境地，学生在这个研究境地中发现的就不再是个别的解决问题的方法，而是通过独立探索、合作交流，发现不同解决方法之间的转化途径.让学生“身不由己”地经历从“一般到特殊”，再由“特殊到一般”的过程.
（5）归纳、升华
师：大家都研究好了，那么，如何把我们研究的方法归纳一下呢？
S16：我认为从作平行线的点的位置分类归纳，可分三种情况：点在三角形边上；点在三角形内；点在三角形外.
师：好！请一个同学把刚才的方法归纳一下.
S17：我们发现过三角形所在平面内的任意一点作三角形边的平行线，均可达到目的：
①如果过三角形的顶点做平行线，只需作一条平行线即可，如图5、图7、图8的情形；
②如果过三角形一边上一点作平行线（顶点外，含边的延长线上的点），需作两条平行线，如图9的情形；
③如果过三角形内或外一点作平行线，需作三条平行线，如图10、图11的情形.
师：就这个问题来说，同学们有多种方法可以完成.无论哪种研究方法都“锁定”了一点，即180°，这是解决问题的核心所在.正当教师准备结束对这个问题的讨论时，又有一个学生把手高高举起了.
S18：我发现过三角形的任一顶点作平行线也可论证.下面是论证过程：如图12，在BC上取点D，连接AD，过点B、C分别作BE∥AD，CF∥AD.
因为BE∥AD，CF∥AD，所以BE∥AD∥CF，
所以∠1=∠3，∠4=∠2（两直线平行，内错角相等），
∠EBC ∠FCB=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
又因为∠BAC=∠3 ∠4，所以有∠ABC ∠BAC ∠ACB=180°，即
∠A ∠B ∠C=180°.
師：很好！这种方法是正确的，我都没有想到这样的方法，看来研究这个问题的方法还是很多的，相信同学们一定还能发现其他方法.课后继续在小组内研究交流，把新的方法告诉老师.
通过教师的引导，把学生研究的方法加以归纳总结，学生研究问题的思想方法就不再是零散的、单一的，而是“多法合一”、“殊途同归”.同时，也点燃了学生思维的火花，为今后多边形内角和的论证提供了方法上的借鉴.
从上面的探索过程看，学生的个性得到了充分的发展，很好的体现了《标准》提出的“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的课程基本理念.我们知道在数学教学中，教师一定要善于捕捉和利用生成性的资源，在这方面本课例也是非常成功的.该探索过程强调了学生已有的知识背景（三角形内角和的知识），学生的实践活动（动手剪拼），学生的抽象概括（由剪拼图抽象成几何模型），学生的知识迁移（由几何模型到辅助线的作法），学生的思维发散（强调联系、联想），渗透数学思想（分类、化归、一般与特殊）.
历代的教育家都不同程度地提出了在教学活动中培养学生探索精神的作用.孔丘的“学而不思则罔，思而不学则殆”强调了在学习过程中思考探索对学习的意义；空想社会主义者们要求将教育放在生产劳动之中，是强调了实践探索的作用；杜威的实用主义教育思想，罗杰斯的“以学生为中心”教育思想，以及布鲁纳的“发现学习”思想和赞科夫的“一般发展”教学理论，都不同程度地强调了对学生进行探索精神与探索能力的培养.但是，翻阅教育发展的历史，我们便不难发现，关于学生的探索学习问题还远远没有被提到应有的高度.探索意识与探索能力培养之于学生学习、之于学生发展、之于社会进步所起到的巨大作用，还远远没有被人们认识.因此，构建一种以探索学习为主轴的教学活动模式，突出学生探索精神、探索能力与创新能力的培养，便成为我们数学教学的重心之一.为此：
1.教师要认真学习和研究《标准》，用课改的理念来统领我们的教学.
2.彻底转变学习方式，注重过程教学.教学中必须重视数学知识的形成过程，让学生在亲身“参入”、“经历”这些知识的发生、发展过程中掌握这些知识，学生在经历过程中其动手操作能力、探索发现能力和空间想象能力才能得以培养和提高.
3.以显现的数学知识为载体，加强数学思想方法的教学.《标准》已把基本的数学思想方法作为基础知识，这就决定了我们数学教学的一个方向——注重数学思想方法的教学.数学思想方法越来越多地被应用于环境科学、经济学、社会学、心理学和认知科学之中.在这样的时代，学生只有掌握了一些具有普遍意义的数学思想方法，才能够有效地创造性地解决所遇到的问题.
4.教师要精心地剪辑与选编教材.剪辑、补充与选编教材是教师指导作用的具体体现形式之一，也是教师的一个创造性活动.在目前的情况下，一部教材往往供几百万、几千万学生共同使用，其科学性与合理性固且不说，起码的一点是，它不可能照顾到不同地域、不同性格和使用不同教学方法的学生的学习特点.因此，教师们要创造性的使用教材，在课前合理地安排教学内容，采取删减、组合、补充等方法，使呈现在学生面前的教材，符合人类的认知规律，符合知识的发展逻辑，符合学生的各自特点，并为学生的探索学习创设好简明的知识序列.
5.在教学过程中，教师要着力引导学生去阅读、去思考、去尝试、去探索、去发现、去进行自主探索学习.要养成学生自主探索学习的习惯.同时要启发学生更加主动地提出问题、解决问题，并自主地探索、总结解决问题中所用到或产生的思想与方法.同时要使自己所掌握的知识、能力与思想方法有机融合，形成牢固的认知结构.
6.教师与学生、学生与学生之间要形成良好的合作学习关系.这种良好关系的形成有利于学生探索意识与探索能力的培养.
7.加强对学生自信心的培养.一个人的自信心是它能有效地进行（创新性）学习的基础，更是他将来能适应经济时代的必备心理素质.基于这样一个事实，许多国家都把对学生自信心的培养作为数学教育的一个基本目标，使学生从自身的生活背景中发现数学、创造数学、运用数学，并在此过程中获得足够的自信.许多事例说明我们的学生更需要建立自信心.