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数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，借助识图 、解意的“慧眼”，探索分析数学问题和解决问题的方法，如何教学生变学会为会学，提高学生的数学素养和解决数学问题的能力，从而在数学教学中真正实现素质教育，是我们每一个数学教师面临的一个课题。
一、教之困惑
1.一道题目
在一份练习题中有这样一题：如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们之间有网线联，连线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传送信息，信息可以分开沿不同的路线同时传播，由单位时间内传递的最大信息量为（ ）
A.16 B.20 C.24 D.25
2.一次事故
这是一道比较简单题目，我教的两个班的学生几乎没有人会做，在评讲时，一个班我详细分析了错误原因，思考过程和解题方法。一个班的同学比较活跃没有讲完，准备第二天讲，由于第二天学校的艺术节活动，这一道就忘记讲了。但巧合的是期终考试刚好考到了这道题目，结果发现，讲过的一个班，有一半以上的做对了，而没讲的一个班只有两个人做对了，其中一个是靠运气做对的。
3.一点疑惑
为什么讲过的题目学生未必会做，但没讲的题目学生很可能一定不会做呢？
二、学之困惑
调查发现，好多学生对于有数有形相结合的题目，根本读不懂，也不知道从何处着手，真是“学而不思则罔，思而不学则殆”，学生一味的被学而不“思”，也没有时间思考；学生习惯于老师的安排，忙于完成作业任务，面对老师没讲过的题目只有：知形不解题意，知意而不识图，不解意也不识图等。下面就涉及问题列举几例：
1.知形不解题意
分析：我们给事故题目的各结点处标上字母如图，题目明确指出，连线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，这就是说，由AF—→MF—→MB这条线路上的能到达点B的最大流量为3，由 AF—→FH—→HB这条线路上的能到达点B的最大流量为4，由AE—→EG—→GB这条线路上的能到达点B的最大流量为3，由AE—→EC—→CE这条线路上的能到达点B的最大流量为6，故选A。
这道题错误的根本原因在于学生没弄清每条网线上单位时间内可以通过的最大信息量是什么，所谓知形而不解题意。
2.解意而不识图
如图，直线L经过⊙O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC=30°，点P是直线L上的一个动点（不与圆心重合）,直线CP与⊙O相交于点Q，问是否存在点P，使得QP=QO；若存在，满足条件的点有几个？并求出相应的∠OCP的大小，并简单说明理由。
分析：此题的关键在“点P是直线L上的一个动点（不与圆心重合）”也就是说点P在L上的位置有三种，即P在线段AB上；P在B点的左侧；P在A点的右侧。
如图（1）当P在线段AB上时，设∠OCP=x，因为QP=QO；所以∠QOP=∠QPO=x+30°，又因为OQ=OC，所以∠OCP=∠Q即x=180°-2(x+30°)
所以x=40°
如图（2）当P在线段BA延长线上时，连结OQ，因为QP=QO；所以∠QOP=∠QPO=x，∠QCO=x+30°，又因为OQ=OC，所以∠QCO=∠Q
即x+30°=180°-2x
所以x=50°
所以
∠QCO=x+30°=80°
所以∠OCP=100°
如图（3）当P在线段AB延长线上时，设∠OCP=x，因为OQ=OC；所以∠OQC=∠OCP=x，又因为OQ=PQ，所以∠QPO=∠QOP=x
x+x=30°，所以x=20°
即∠OCP=20°
这道题大部分同学只做出一种情况，忽略了点P在直线L上，并且有的同学知道有三种情况，但画不出相关图形。
3.既不解意也不识图
生活中有人喜欢把信纸或请人传送的便条拆成图丁形状，折叠过程如图所示（阴影部分表示纸条的反面）
（1）如果信纸折成的长方形纸条宽为4cm，为保证能折成图丁形状（即纸条两端均刚好到达点P），纸条至少长多少cm？纸条长最小时，长方形纸条的面积是多少？
（2）假设折成的图丁形状纸条宽为xcm，并且一端超出p点2cm，另一端超出p点3cm，
①请用x的代数式表示信纸折成的长方形纸条的长；
②请用x的代数式表示信纸折成图丁所示的平面的面积S；
分析：这是一道实际生活中动手操作题，只要根据示意图亲手折叠一次，然后根据折叠过程和折痕就不难解决了，如下图是刚好到P点时的展开图：
我们不难发现，BC=CD=2AB=5AE
三、教与学的困惑原因
1.定义+定理(性质、公式)+例题
教学模式较单一，讲授知识点多，讲述数学知识的来源少，讲授知识本身多，缺乏直观性和应用性的教学。教学内容、教材枯燥无味，缺乏引人入胜的材料。受到数学教师的自身水平限制，缺乏对数学文化的真正理解，难以使学生产生对数学学习的兴趣，
2.“得意忘形”现象
过度强调数学知识的严密性和数学理论的抽象思维特性，使数学过度抽象化、神秘化，淡化了数学的通俗性和实用性。
缺乏或不太重视直观性特别是几何直观性教学，使学生知其然而不知其所以然，较大程度上陷入“得意忘形”的境界。“得”了数学知识的字面定义、性质、定理，“忘”了数学知识的原始来源动机和直观。
3.“数学学习缺乏自主”现象
由于教学方法和思想的不當，教师只知道讲，每节自修课都有老师管，学生缺乏自主学习的积极性、主动性，自主思考、开动脑筋的机会少。
（作者单位：浙江省宁波市四眼起中学）
一、教之困惑
1.一道题目
在一份练习题中有这样一题：如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们之间有网线联，连线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传送信息，信息可以分开沿不同的路线同时传播，由单位时间内传递的最大信息量为（ ）
A.16 B.20 C.24 D.25
2.一次事故
这是一道比较简单题目，我教的两个班的学生几乎没有人会做，在评讲时，一个班我详细分析了错误原因，思考过程和解题方法。一个班的同学比较活跃没有讲完，准备第二天讲，由于第二天学校的艺术节活动，这一道就忘记讲了。但巧合的是期终考试刚好考到了这道题目，结果发现，讲过的一个班，有一半以上的做对了，而没讲的一个班只有两个人做对了，其中一个是靠运气做对的。
3.一点疑惑
为什么讲过的题目学生未必会做，但没讲的题目学生很可能一定不会做呢？
二、学之困惑
调查发现，好多学生对于有数有形相结合的题目，根本读不懂，也不知道从何处着手，真是“学而不思则罔，思而不学则殆”，学生一味的被学而不“思”，也没有时间思考；学生习惯于老师的安排，忙于完成作业任务，面对老师没讲过的题目只有：知形不解题意，知意而不识图，不解意也不识图等。下面就涉及问题列举几例：
1.知形不解题意
分析：我们给事故题目的各结点处标上字母如图，题目明确指出，连线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，这就是说，由AF—→MF—→MB这条线路上的能到达点B的最大流量为3，由 AF—→FH—→HB这条线路上的能到达点B的最大流量为4，由AE—→EG—→GB这条线路上的能到达点B的最大流量为3，由AE—→EC—→CE这条线路上的能到达点B的最大流量为6，故选A。
这道题错误的根本原因在于学生没弄清每条网线上单位时间内可以通过的最大信息量是什么，所谓知形而不解题意。
2.解意而不识图
如图，直线L经过⊙O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC=30°，点P是直线L上的一个动点（不与圆心重合）,直线CP与⊙O相交于点Q，问是否存在点P，使得QP=QO；若存在，满足条件的点有几个？并求出相应的∠OCP的大小，并简单说明理由。
分析：此题的关键在“点P是直线L上的一个动点（不与圆心重合）”也就是说点P在L上的位置有三种，即P在线段AB上；P在B点的左侧；P在A点的右侧。
如图（1）当P在线段AB上时，设∠OCP=x，因为QP=QO；所以∠QOP=∠QPO=x+30°，又因为OQ=OC，所以∠OCP=∠Q即x=180°-2(x+30°)
所以x=40°
如图（2）当P在线段BA延长线上时，连结OQ，因为QP=QO；所以∠QOP=∠QPO=x，∠QCO=x+30°，又因为OQ=OC，所以∠QCO=∠Q
即x+30°=180°-2x
所以x=50°
所以
∠QCO=x+30°=80°
所以∠OCP=100°
如图（3）当P在线段AB延长线上时，设∠OCP=x，因为OQ=OC；所以∠OQC=∠OCP=x，又因为OQ=PQ，所以∠QPO=∠QOP=x
x+x=30°，所以x=20°
即∠OCP=20°
这道题大部分同学只做出一种情况，忽略了点P在直线L上，并且有的同学知道有三种情况，但画不出相关图形。
3.既不解意也不识图
生活中有人喜欢把信纸或请人传送的便条拆成图丁形状，折叠过程如图所示（阴影部分表示纸条的反面）
（1）如果信纸折成的长方形纸条宽为4cm，为保证能折成图丁形状（即纸条两端均刚好到达点P），纸条至少长多少cm？纸条长最小时，长方形纸条的面积是多少？
（2）假设折成的图丁形状纸条宽为xcm，并且一端超出p点2cm，另一端超出p点3cm，
①请用x的代数式表示信纸折成的长方形纸条的长；
②请用x的代数式表示信纸折成图丁所示的平面的面积S；
分析：这是一道实际生活中动手操作题，只要根据示意图亲手折叠一次，然后根据折叠过程和折痕就不难解决了，如下图是刚好到P点时的展开图：
我们不难发现，BC=CD=2AB=5AE
三、教与学的困惑原因
1.定义+定理(性质、公式)+例题
教学模式较单一，讲授知识点多，讲述数学知识的来源少，讲授知识本身多，缺乏直观性和应用性的教学。教学内容、教材枯燥无味，缺乏引人入胜的材料。受到数学教师的自身水平限制，缺乏对数学文化的真正理解，难以使学生产生对数学学习的兴趣，
2.“得意忘形”现象
过度强调数学知识的严密性和数学理论的抽象思维特性，使数学过度抽象化、神秘化，淡化了数学的通俗性和实用性。
缺乏或不太重视直观性特别是几何直观性教学，使学生知其然而不知其所以然，较大程度上陷入“得意忘形”的境界。“得”了数学知识的字面定义、性质、定理，“忘”了数学知识的原始来源动机和直观。
3.“数学学习缺乏自主”现象
由于教学方法和思想的不當，教师只知道讲，每节自修课都有老师管，学生缺乏自主学习的积极性、主动性，自主思考、开动脑筋的机会少。
（作者单位：浙江省宁波市四眼起中学）