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【摘要】数形结合的思想方法，不像一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。要想提高学生运用数形结合思想的能力，需要教师耐心细致地引导学生学会联系数形结合思想，理解、运用和掌握数形结合思想。它需要根据学生的年龄特征，学生在学习各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断地丰富自身的内涵。
【关键词】数形结合思想；渗透；感受；挖掘；感悟
数学是研究客观世界的空间形式与数量关系的科学，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。华罗庚先生指出，数缺形时少直观，形缺数时难入微。数形结合既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。“数形结合”对教师来说是一种教学方法、教学策略，如果长期渗透，运用得当，则可以使学生形成良好的数学意识和思想，并升华成为数学方法，长期稳固地作用于学生的数学学习生涯中。
数形结合的思想方法，不象一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。要想提高学生运用数形结合思想的能力，需要教师耐心细致地引导学生学会联系数形结合思想、理解数形结合思想、运用数形结合思想、掌握数形结合思想。它需要根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断地丰富自身的内涵。因此应该分三个阶段让学生感受、挖掘、感悟数形结合思想方法。下面就各阶段谈一下渗透策略。
第一阶段：感受数形结合思想方法，激发认识数形结合思想方法的兴趣
这一策略主要针对刚进入中学的七年级学生，他们虽然具备了一定的知识和经验基础，但直接经验少，理解能力差，思维形式正处在由具体形象思维逐步向抽象逻辑思维过渡的阶段，对隐藏在具体内容中的数形结合思想方法，抽象又陌生。在这个时候最需要老师帮助他们扫清认识障碍。老师要抓准时机帮助学生激发使用数形结合思想方法的兴趣。义务教育阶段的数学教育，培养学生的学习兴趣是至关重要的，只有兴趣才是学习的不懈动力。为此我们从学生身心特点和学科的特殊性入手，注重内容的生活性、丰富性、启发性，选择有探索欲望又能帮助学生解决问题的教学内容，让学生体验数形结合思想方法对学习的帮助，真正调动七年级学生学习的积极性。
数轴的引入是有理数内容体现数形结合思想的重要课题。对于每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的（实数的大小比较也是如此）。相反数、绝对值概念则是通过数轴上的点与原点的位置关系来刻画的。尽管我们学习的是有理数，但要时刻牢记它的形（数轴上的点），通过数形结合的思想方法的运用，帮助七年级的学生正确理解有理数的性质及其运算法则。
例如：学习“有理数的加法”
学生在小学已经学习过算术四则运算，而初中的有理数运算是以小学算术四则运算为基础的。不同的是有理数运算多了一个符号问题。因此符号问题是一个很重要的问题，在有理数运算法则中都突出了符号，它是运算法则的重要组成部分。这一点应引起大家的重视，并且在确定符号方面一向都是学生的大难题。这里可以借助数轴帮助学生理解如何确定符号，与此同时引入数形结合思想，激发学生认识和学习数形结合思想的兴趣。
在学习有理数加法法则时可以这样创设情境：
步骤1.做一做：利用数轴来表示有理数加法的运算过程，以原点为起点，规定向东的方向为正方向，向西的方向为负方向（下列做法要求学生按要求画出数轴，然后写出结果）。
（1）先向东移动2个单位，再向东移动3个单位，一共向东移动了 个单位；
（2）先向西移动2个单位，再向西移动3个单位，一共向西移动了 个单位；
（3）先向西移动3个单位，再向东移动2个单位，此时在原点 侧 个单位；
（4）先向东移动3个单位，再向西移动2个单位，此时在原点 侧 个单位；
（5）先向西移动4个单位，再向东移动4个单位，则此时在 .
步骤2：让学生把上述式子写在一起
（6）请把刚才5种情况列式表示
① ；② ；
③ ；④ ；
⑤ .
步骤3：仔细观察上述算式，通过小组讨论的形式归納总结你发现了什么运算规律（考虑一下应该分几种情况）？并写出来。
授课过程中，充分显示数形结合思想将抽象的符号确定问题具体化为数轴上的方向确定问题，让学生在画数轴的过程中不自觉地获得了知识。课后针对只用了课本引例的班级与加入数轴引例的班级进行测试对比，数据显示得到数形结合思想的帮助效果是明显的（其中7（2）、（4）是进行试验的班级）
“数学好玩”曾是数学家陈省身先生对数学的赞美，如何让学生感受到数学有这种特有魅力，需要教师在激发学生学习兴趣上下功夫，拨动学生的好奇心，激发学生学习的原动力。因此在引导学生认识数形结合思想的前提就是激趣。我们可以把生活中的形与数相结合迁移到数学中来，在教学中进行数学数形结合思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。
第二阶段：挖掘数形结合思想方法，养成思维
八年级的学生对数形结合思想方法有了初步的了解和认识，其思维和能力有了质的飞跃。我们尽可能在设计问题和设计教学时挖掘、显化数形结合思想方法，让思想方法在学生大脑中“着床”，积累更多经验，逐渐养成思维能力，利用数形结合思考的习惯，为今后的学习做好巩固铺垫工作。
函数是初中数学的重要内容之一，也是学习的一个难点，同时又是“数形结合”的思想方法体现得最充分的章节。平面直角坐标系把“点”和“数”对应起来，使抽象的“数”与直观的“形”有了统一，开创了研究数学问题的新途径。
例如：学习“正比例函数”图象及性质
在这里我们可以借助正比例函数的知识作为载体，挖掘其中的数形结合思想方法，引导学生如何通过“数”与“形”来研究一种函数的性质，从而养成一种思维的习惯。在学习一次函数、反比例函数和二次函数中也可以用同样的方式方法类比学习，降低学习的难度，减轻学习的负担，更重要的是增强学生学习的信心。 教学过程可以这样设计：
步骤1：理解图象定义，推断出画函数图象的一般步骤
函数的图象的定义从字面理解较为抽象，我们可以借助本章开始摩天轮上一点的高度与旋转时间之间函数关系的图象，引导学生理解函数中自变量、因变量与图象上的点的一一对应关系，点动成线形成了图象。
因此引出问题思考：若要研究某种函数的图象特征，我们该从何入手呢？下面从画正比例函数y=2x的图象来想办法。上面已经知道函数图象由很多点组成，那么我们必须求出很多相对应的的函数值。为了表达方便，列表表示清晰；下一步可以利用表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内找出相应的点；最后把点一次连接起来。于是就总结出画函数图象的一般步骤：列表，描点，连线。
那么往下画正比例函数的图象就水到渠成了。
步骤2：“形”中觅“数”，观察图象归纳性质
在同一直角坐标系内画出正比例函数y=x，y=3x，和y=-4x的图象后，教师作为教学活动的引导者，设计好问题引导学生探究：正比例函数图象的形状，所处的位置（提问时可以追问，所处位置受什么影响？）；上述函数中，随着x值的增大，y的值如何变化（提问时可以追问，变化的不同又受什么影响，怎样影响？）。探究问题，作为教师应该做好组织者，让学生在小组学习的模式下进行，让学生在自主探究、合作交流的学习方式中获得最佳的学习效果。
借助正比例函数教学开启函数学习的大门，将研究函数的套路勾画出来，为以后其他函数的研究积累经验
第三阶段：感悟数形结合思想方法，衍生思维
数学思想的形成需要在过程中实现，只有经历问题解决的过程，才能体会到思想的作用，才能理解数学思想的精髓。让学生感悟数学思想和方法，关键是让学生经历和体验一些数学知识的获取过程，并在其中获得对数学思想方法的感悟。当学生的认识和思维又上了一个台阶后，可以要求他们对数形结合思想方法进行梳理，以进一步提高思维能力和解决问题的能力。这一阶段是数形结合思想内化的过程，它是获得能力的自身性增长与实质性提高、具有形成新认知结构功能的过程。因此在这阶段的教学要做到：
1.反复理解，归纳提升
在教学中，教师要对具体的数学知识进行深入的分析对比，挖掘相应内容所蕴涵的数学思想，进行反复渗透理解，归纳提升，提高学生的认识水平。例如，学习反比例函数，既要以已有的研究函数的经验和方法为基础，又要深化和丰富对函数的认识，可结合函数的表达式推测函数的图象形状，根据图象的形状从不同角度归纳函数的性质，进一步让学生体会以形思数、以数觅数的思维形式。学习过程中注重反比例函数与一次函数的对比，帮助学生反复理解数形结合思想，把握學习函数的思维规律，归纳总结学习方法，提升学习数学的能力。
2.注重复习课的提炼，形成思维方法
在九年级对整个初中数学的复习中，教师要对具体的知识进行深入贯通，对数形结合思想进行反复的渗透以，提高学生的认识水平；让学生通过不断重复、不断深入思考，逐步“领悟”数学知识、技能中蕴涵的数形结合思想；让学生在用数形结合思想解决具体问题时，逐步形成程序化的操作，并构成解题方法。所以注重复习课的方法提炼显得尤为重要。
例如：反比例函数
【复习目标】
1.能根据已知条件确定反比例函数表达式，根据图象和函数表达式，进一步理解其性质；
2.能利用反比例函数解决实际问题；
3.掌握反比例函数和一次函数的综合运用，深刻体会数形结合的思想。
【典型例题】
【例1】水池内装有12 m3的水，如果从排水管中每小时流出x m3的水，则经过y小时，就可以把水放完。
（1）求y与x的函数关系式。
（2）画出函数的图象。
（3）若必须在3 h之内把水放完，那么每小时排水量不能小于多少？
【例2】如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点A（-4，-2）和B（a，4）.
（1）反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象回答，当x在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值。
（3）连接OA，OB，
求△AOB的面积。
四、小结
通过三年三个阶段的数形结合思想方法的渗透，让学生在数与形的结合、抽象与直观的结合、思维与感知的结合中，使初中学生接触到的数学不再是枯燥、乏味、抽象的，而是美丽、生动、具体的，使初中学生对数学活动表现出浓厚的兴趣，学会主动探索、积极思考、不断发现问题、提出问题、解决问题，学习的主动性大大提高。学生获得数学的基本思想是数学课程的重要目标，他们在用数学思想解决具体问题时，会逐步形成程序化的操作，从而形成数学思想，掌握正确的学习方法，使其在今后的学习、生活中终身受益。
【参考文献】
[1]义务教育数学课程标准（2011年版）解读
[2]中学数学教学参考
[3]作为教育任务的数学思想与方法
【关键词】数形结合思想；渗透；感受；挖掘；感悟
数学是研究客观世界的空间形式与数量关系的科学，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。华罗庚先生指出，数缺形时少直观，形缺数时难入微。数形结合既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。“数形结合”对教师来说是一种教学方法、教学策略，如果长期渗透，运用得当，则可以使学生形成良好的数学意识和思想，并升华成为数学方法，长期稳固地作用于学生的数学学习生涯中。
数形结合的思想方法，不象一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。要想提高学生运用数形结合思想的能力，需要教师耐心细致地引导学生学会联系数形结合思想、理解数形结合思想、运用数形结合思想、掌握数形结合思想。它需要根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断地丰富自身的内涵。因此应该分三个阶段让学生感受、挖掘、感悟数形结合思想方法。下面就各阶段谈一下渗透策略。
第一阶段：感受数形结合思想方法，激发认识数形结合思想方法的兴趣
这一策略主要针对刚进入中学的七年级学生，他们虽然具备了一定的知识和经验基础，但直接经验少，理解能力差，思维形式正处在由具体形象思维逐步向抽象逻辑思维过渡的阶段，对隐藏在具体内容中的数形结合思想方法，抽象又陌生。在这个时候最需要老师帮助他们扫清认识障碍。老师要抓准时机帮助学生激发使用数形结合思想方法的兴趣。义务教育阶段的数学教育，培养学生的学习兴趣是至关重要的，只有兴趣才是学习的不懈动力。为此我们从学生身心特点和学科的特殊性入手，注重内容的生活性、丰富性、启发性，选择有探索欲望又能帮助学生解决问题的教学内容，让学生体验数形结合思想方法对学习的帮助，真正调动七年级学生学习的积极性。
数轴的引入是有理数内容体现数形结合思想的重要课题。对于每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的（实数的大小比较也是如此）。相反数、绝对值概念则是通过数轴上的点与原点的位置关系来刻画的。尽管我们学习的是有理数，但要时刻牢记它的形（数轴上的点），通过数形结合的思想方法的运用，帮助七年级的学生正确理解有理数的性质及其运算法则。
例如：学习“有理数的加法”
学生在小学已经学习过算术四则运算，而初中的有理数运算是以小学算术四则运算为基础的。不同的是有理数运算多了一个符号问题。因此符号问题是一个很重要的问题，在有理数运算法则中都突出了符号，它是运算法则的重要组成部分。这一点应引起大家的重视，并且在确定符号方面一向都是学生的大难题。这里可以借助数轴帮助学生理解如何确定符号，与此同时引入数形结合思想，激发学生认识和学习数形结合思想的兴趣。
在学习有理数加法法则时可以这样创设情境：
步骤1.做一做：利用数轴来表示有理数加法的运算过程，以原点为起点，规定向东的方向为正方向，向西的方向为负方向（下列做法要求学生按要求画出数轴，然后写出结果）。
（1）先向东移动2个单位，再向东移动3个单位，一共向东移动了 个单位；
（2）先向西移动2个单位，再向西移动3个单位，一共向西移动了 个单位；
（3）先向西移动3个单位，再向东移动2个单位，此时在原点 侧 个单位；
（4）先向东移动3个单位，再向西移动2个单位，此时在原点 侧 个单位；
（5）先向西移动4个单位，再向东移动4个单位，则此时在 .
步骤2：让学生把上述式子写在一起
（6）请把刚才5种情况列式表示
① ；② ；
③ ；④ ；
⑤ .
步骤3：仔细观察上述算式，通过小组讨论的形式归納总结你发现了什么运算规律（考虑一下应该分几种情况）？并写出来。
授课过程中，充分显示数形结合思想将抽象的符号确定问题具体化为数轴上的方向确定问题，让学生在画数轴的过程中不自觉地获得了知识。课后针对只用了课本引例的班级与加入数轴引例的班级进行测试对比，数据显示得到数形结合思想的帮助效果是明显的（其中7（2）、（4）是进行试验的班级）
“数学好玩”曾是数学家陈省身先生对数学的赞美，如何让学生感受到数学有这种特有魅力，需要教师在激发学生学习兴趣上下功夫，拨动学生的好奇心，激发学生学习的原动力。因此在引导学生认识数形结合思想的前提就是激趣。我们可以把生活中的形与数相结合迁移到数学中来，在教学中进行数学数形结合思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。
第二阶段：挖掘数形结合思想方法，养成思维
八年级的学生对数形结合思想方法有了初步的了解和认识，其思维和能力有了质的飞跃。我们尽可能在设计问题和设计教学时挖掘、显化数形结合思想方法，让思想方法在学生大脑中“着床”，积累更多经验，逐渐养成思维能力，利用数形结合思考的习惯，为今后的学习做好巩固铺垫工作。
函数是初中数学的重要内容之一，也是学习的一个难点，同时又是“数形结合”的思想方法体现得最充分的章节。平面直角坐标系把“点”和“数”对应起来，使抽象的“数”与直观的“形”有了统一，开创了研究数学问题的新途径。
例如：学习“正比例函数”图象及性质
在这里我们可以借助正比例函数的知识作为载体，挖掘其中的数形结合思想方法，引导学生如何通过“数”与“形”来研究一种函数的性质，从而养成一种思维的习惯。在学习一次函数、反比例函数和二次函数中也可以用同样的方式方法类比学习，降低学习的难度，减轻学习的负担，更重要的是增强学生学习的信心。 教学过程可以这样设计：
步骤1：理解图象定义，推断出画函数图象的一般步骤
函数的图象的定义从字面理解较为抽象，我们可以借助本章开始摩天轮上一点的高度与旋转时间之间函数关系的图象，引导学生理解函数中自变量、因变量与图象上的点的一一对应关系，点动成线形成了图象。
因此引出问题思考：若要研究某种函数的图象特征，我们该从何入手呢？下面从画正比例函数y=2x的图象来想办法。上面已经知道函数图象由很多点组成，那么我们必须求出很多相对应的的函数值。为了表达方便，列表表示清晰；下一步可以利用表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内找出相应的点；最后把点一次连接起来。于是就总结出画函数图象的一般步骤：列表，描点，连线。
那么往下画正比例函数的图象就水到渠成了。
步骤2：“形”中觅“数”，观察图象归纳性质
在同一直角坐标系内画出正比例函数y=x，y=3x，和y=-4x的图象后，教师作为教学活动的引导者，设计好问题引导学生探究：正比例函数图象的形状，所处的位置（提问时可以追问，所处位置受什么影响？）；上述函数中，随着x值的增大，y的值如何变化（提问时可以追问，变化的不同又受什么影响，怎样影响？）。探究问题，作为教师应该做好组织者，让学生在小组学习的模式下进行，让学生在自主探究、合作交流的学习方式中获得最佳的学习效果。
借助正比例函数教学开启函数学习的大门，将研究函数的套路勾画出来，为以后其他函数的研究积累经验
第三阶段：感悟数形结合思想方法，衍生思维
数学思想的形成需要在过程中实现，只有经历问题解决的过程，才能体会到思想的作用，才能理解数学思想的精髓。让学生感悟数学思想和方法，关键是让学生经历和体验一些数学知识的获取过程，并在其中获得对数学思想方法的感悟。当学生的认识和思维又上了一个台阶后，可以要求他们对数形结合思想方法进行梳理，以进一步提高思维能力和解决问题的能力。这一阶段是数形结合思想内化的过程，它是获得能力的自身性增长与实质性提高、具有形成新认知结构功能的过程。因此在这阶段的教学要做到：
1.反复理解，归纳提升
在教学中，教师要对具体的数学知识进行深入的分析对比，挖掘相应内容所蕴涵的数学思想，进行反复渗透理解，归纳提升，提高学生的认识水平。例如，学习反比例函数，既要以已有的研究函数的经验和方法为基础，又要深化和丰富对函数的认识，可结合函数的表达式推测函数的图象形状，根据图象的形状从不同角度归纳函数的性质，进一步让学生体会以形思数、以数觅数的思维形式。学习过程中注重反比例函数与一次函数的对比，帮助学生反复理解数形结合思想，把握學习函数的思维规律，归纳总结学习方法，提升学习数学的能力。
2.注重复习课的提炼，形成思维方法
在九年级对整个初中数学的复习中，教师要对具体的知识进行深入贯通，对数形结合思想进行反复的渗透以，提高学生的认识水平；让学生通过不断重复、不断深入思考，逐步“领悟”数学知识、技能中蕴涵的数形结合思想；让学生在用数形结合思想解决具体问题时，逐步形成程序化的操作，并构成解题方法。所以注重复习课的方法提炼显得尤为重要。
例如：反比例函数
【复习目标】
1.能根据已知条件确定反比例函数表达式，根据图象和函数表达式，进一步理解其性质；
2.能利用反比例函数解决实际问题；
3.掌握反比例函数和一次函数的综合运用，深刻体会数形结合的思想。
【典型例题】
【例1】水池内装有12 m3的水，如果从排水管中每小时流出x m3的水，则经过y小时，就可以把水放完。
（1）求y与x的函数关系式。
（2）画出函数的图象。
（3）若必须在3 h之内把水放完，那么每小时排水量不能小于多少？
【例2】如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点A（-4，-2）和B（a，4）.
（1）反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象回答，当x在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值。
（3）连接OA，OB，
求△AOB的面积。
四、小结
通过三年三个阶段的数形结合思想方法的渗透，让学生在数与形的结合、抽象与直观的结合、思维与感知的结合中，使初中学生接触到的数学不再是枯燥、乏味、抽象的，而是美丽、生动、具体的，使初中学生对数学活动表现出浓厚的兴趣，学会主动探索、积极思考、不断发现问题、提出问题、解决问题，学习的主动性大大提高。学生获得数学的基本思想是数学课程的重要目标，他们在用数学思想解决具体问题时，会逐步形成程序化的操作，从而形成数学思想，掌握正确的学习方法，使其在今后的学习、生活中终身受益。
【参考文献】
[1]义务教育数学课程标准（2011年版）解读
[2]中学数学教学参考
[3]作为教育任务的数学思想与方法