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圆周率的计算
“圆，一中同长也”。意思是说：圆只有一个中心，圆周上每一点到中心的距离相等。早在我国先秦时期，《墨经》就已经记载了圆的这个定义。人们从认识圆到得出有关于圆的种种计算又经历了相当长时间的探索。其中，圆周率就是横在人们面前的一道壕沟。
传统所认为的圆周率指圆的周长与直径之比，最初产生于制作圆形工具的需要，并且是通过测量计算出来的，即圆底量法。目前，用符号π来表示圆周率。圆周率是一个常数，这一事实很早就为人们所知。在战国时期的著作《墨子·小取》中就记载有“小圆之圆与大圆之圆同”的说法，可见，在墨子时代人们已经认识到圆的周径之比是一个常数。
人们对圆周率的认识过程
在古代，巴比伦、印度、中国等在很长一段时间都是使用π=3这个数值。直到公元前2世纪，中国的《周髀算经》里仍然有周三径一的记载，这个“圆径一而周三”是我国最早关于圆周率的一个误差较大的近似值，后人称之为“古率”。直到东汉时才有数学家将π值改为约3.16。但真正使圆周率计算建立在科学基础之上，首先应归功于阿基米德。他专门写了一篇论文《圆的度量》，用几何方法证明了圆周率与圆直径之比小于22/7，而大于233/71。这也是第一次在科学中创用上下界来确定近似值。这之后我国魏晋时期的刘徽第一次采用正确的方法计算出了π值。公元263年，他首创了用圆的内接正多边形面积来逼近圆面积的方法，算得π值为3.14。我国称这种方法为割圆术。直到1200年后，西方才找到了类似的方法。后人为纪念刘徽的贡献，将3.14称为徽率。
公元460年，南朝的祖冲之利用刘徽的割圆术，把π值推算到小数点后第7位，即3.1415926，这在当时世界尚属首次。祖冲之还找到了两个分数：22/7和355/113，用分数来代替π，极大地简化了计算，这种思想比西方也早1000多年。
祖冲之的圆周率，保持了1000多年的世界纪录。终于在1596年，这一纪录被荷兰数学家鲁道夫打破。鲁道夫先把π的值推算到小数点后第15位，最后又推算到第35位。为了纪念他这项成就，在他1610年去世后，人们在他的墓碑刻上了3.14159265358979323846264338327950288这个数。
近代计算机的发明，大大促进了科学的进步，到90年代初，人们已经可以将π的值精确到小数点后4.8亿位。即便这样，圆周率的计算仍然在继续。我们已经清楚地知道，圆周率是一个“无限不循环小数”，而且还是一个超越数。但是科学家仍会像登山运动员那样，奋力向上攀登，不断探索下去。
刘徽的割圆术
刘徽到底是怎么计算出π值的呢？“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，这句话是刘徽对于他的“割圆术”的描述。意思是说：圆内接正多边形的边数无限增加的时候，它的周长的极限是圆周长，它的面积的极限是圆面积。即“割圆术”实际上就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，并且内接正多边形的边数越大，所求得的圆周率越精确。
刘徽从圆的内接正六边形开始割圆，并且得到了一个正6·2n边形面积序列。咱们不妨假设S是圆的面积，L是圆的周长，Sn是6·2n边形面积，Pn是每边长。显然，n越大，S-Sn越小，即所谓的“割之弥细，所失弥少”。而“割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”用现代数学公式表示就是：
L=lim 6·2n·Pn
S=lim Sn
所谓“余径”，就是指半径减垂径所剩的长度。在下图中，6·2n-1边形的余径就是指线段CD。那么，余径乘以边长就是6·2n-1边形余径长方形ABFE的面积。△ACB称为6·2n-1边形余径三角形，其面积为其余径长方形面积之半。从图中可以看出Sn-Sn-1的值等于6·2n-1个余径三角形的面积之和，圆的面积大于6·2n边形面积Sn，小于6·2n-1边形面积Sn-1加上6·2n-1个余径长方形的面积。即：
Sn<S<Sn-1+2（Sn-Sn-1 ）
而当n趋近于无限大时，rn→0，那么：
lim [Sn-1+2（Sn-Sn-1）]=S
假设圆的半径为1，刘徽利用这种方法算出了圆内接正192边形的面积3.141024与圆内接正96边形的面积3.139344，得出了圆面积范围：3.141024<S<3.142704，这就是徽率3.14的来源。祖冲之在刘徽的基础上，算出圆內接12288边形的面积3.14159251，圆内接24576边形的面积3.14159261，两数相差0.00000010，得出了圆面积范围3.14159261<S<3.14159271。这是人类第一次首创圆周率上下限的提法，将圆周率限定在了这个界限之间，也是人类第一次将圆周率推算到小数点后七位。
“圆，一中同长也”。意思是说：圆只有一个中心，圆周上每一点到中心的距离相等。早在我国先秦时期，《墨经》就已经记载了圆的这个定义。人们从认识圆到得出有关于圆的种种计算又经历了相当长时间的探索。其中，圆周率就是横在人们面前的一道壕沟。
传统所认为的圆周率指圆的周长与直径之比，最初产生于制作圆形工具的需要，并且是通过测量计算出来的，即圆底量法。目前，用符号π来表示圆周率。圆周率是一个常数，这一事实很早就为人们所知。在战国时期的著作《墨子·小取》中就记载有“小圆之圆与大圆之圆同”的说法，可见，在墨子时代人们已经认识到圆的周径之比是一个常数。
人们对圆周率的认识过程
在古代，巴比伦、印度、中国等在很长一段时间都是使用π=3这个数值。直到公元前2世纪，中国的《周髀算经》里仍然有周三径一的记载，这个“圆径一而周三”是我国最早关于圆周率的一个误差较大的近似值，后人称之为“古率”。直到东汉时才有数学家将π值改为约3.16。但真正使圆周率计算建立在科学基础之上，首先应归功于阿基米德。他专门写了一篇论文《圆的度量》，用几何方法证明了圆周率与圆直径之比小于22/7，而大于233/71。这也是第一次在科学中创用上下界来确定近似值。这之后我国魏晋时期的刘徽第一次采用正确的方法计算出了π值。公元263年，他首创了用圆的内接正多边形面积来逼近圆面积的方法，算得π值为3.14。我国称这种方法为割圆术。直到1200年后，西方才找到了类似的方法。后人为纪念刘徽的贡献，将3.14称为徽率。
公元460年，南朝的祖冲之利用刘徽的割圆术，把π值推算到小数点后第7位，即3.1415926，这在当时世界尚属首次。祖冲之还找到了两个分数：22/7和355/113，用分数来代替π，极大地简化了计算，这种思想比西方也早1000多年。
祖冲之的圆周率，保持了1000多年的世界纪录。终于在1596年，这一纪录被荷兰数学家鲁道夫打破。鲁道夫先把π的值推算到小数点后第15位，最后又推算到第35位。为了纪念他这项成就，在他1610年去世后，人们在他的墓碑刻上了3.14159265358979323846264338327950288这个数。
近代计算机的发明，大大促进了科学的进步，到90年代初，人们已经可以将π的值精确到小数点后4.8亿位。即便这样，圆周率的计算仍然在继续。我们已经清楚地知道，圆周率是一个“无限不循环小数”，而且还是一个超越数。但是科学家仍会像登山运动员那样，奋力向上攀登，不断探索下去。
刘徽的割圆术
刘徽到底是怎么计算出π值的呢？“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，这句话是刘徽对于他的“割圆术”的描述。意思是说：圆内接正多边形的边数无限增加的时候，它的周长的极限是圆周长，它的面积的极限是圆面积。即“割圆术”实际上就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，并且内接正多边形的边数越大，所求得的圆周率越精确。
刘徽从圆的内接正六边形开始割圆，并且得到了一个正6·2n边形面积序列。咱们不妨假设S是圆的面积，L是圆的周长，Sn是6·2n边形面积，Pn是每边长。显然，n越大，S-Sn越小，即所谓的“割之弥细，所失弥少”。而“割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”用现代数学公式表示就是：
L=lim 6·2n·Pn
S=lim Sn
所谓“余径”，就是指半径减垂径所剩的长度。在下图中，6·2n-1边形的余径就是指线段CD。那么，余径乘以边长就是6·2n-1边形余径长方形ABFE的面积。△ACB称为6·2n-1边形余径三角形，其面积为其余径长方形面积之半。从图中可以看出Sn-Sn-1的值等于6·2n-1个余径三角形的面积之和，圆的面积大于6·2n边形面积Sn，小于6·2n-1边形面积Sn-1加上6·2n-1个余径长方形的面积。即：
Sn<S<Sn-1+2（Sn-Sn-1 ）
而当n趋近于无限大时，rn→0，那么：
lim [Sn-1+2（Sn-Sn-1）]=S
假设圆的半径为1，刘徽利用这种方法算出了圆内接正192边形的面积3.141024与圆内接正96边形的面积3.139344，得出了圆面积范围：3.141024<S<3.142704，这就是徽率3.14的来源。祖冲之在刘徽的基础上，算出圆內接12288边形的面积3.14159251，圆内接24576边形的面积3.14159261，两数相差0.00000010，得出了圆面积范围3.14159261<S<3.14159271。这是人类第一次首创圆周率上下限的提法，将圆周率限定在了这个界限之间，也是人类第一次将圆周率推算到小数点后七位。