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【摘 要】数是十分抽象的，要引导学生从直观走向抽象，从而认识数的意义，老师就要精心选取素材，合理安排操作活动，给学生充分的时间和空间思考和表达，在交流活动中充分发挥引领作用，如此才能帮助学生把握核心概念，体会数学思想，培养学生的数感。
【关键词】操作 开放 引领 数感
新课标指出，数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。这种感悟是一个具体而又抽象的过程，也是一个长期积累、螺旋上升的过程。我想，在数的认识教学中，我们要注重优化学生的动手操作能力，引导学生多路径感悟，从而较好地培养学生的数感。下面笔者结合具体的课例，谈谈自己粗浅的体会。
一、 合理安排操作材料，帮助学生抽象数的认识
史宁中教授指出，抽象、建模和推理是学生数学素养的核心。数的产生，它是一个因需而生的过程，数是十分抽象的，对于形象思维为主的学生来说，理解数的意义是非常困难的。我想，这就要老师精心选取素材，让学生从生活中看得见、摸得着的具体材料入手，过渡到半直观、半抽象的材料，最后抽象出数。
《认识千以内的数》教学片断：
1. （课件出示一堆苹果）
师：猜一猜大约有多少个苹果？
学生猜。
2. 师：怎样才能知道猜得对不对？
生：可以數一数。
师：这一堆苹果怎么数呢？
生：可以摆整齐了，然后再数。
3. （出示排列整齐的小正方体）
师：我们用小正方体代表苹果，请你数一数，圈一圈，让大家能一下子看出有多少个苹果。
学生活动。
4. 师：你数出结果了吗？能说说是怎么数的吗？
生1：我数出有359个。
生2：我是一个一个数的。
生3：一个一个地数太慢，我是十个十个数的。
生4：我先一个一个地数，找出一列是10个，再十个十个地数，数出100个，接着一百一百地数，数出有3个百，5个十和9个一，就是359。
5. 师：数出的359这个数，在计数器上怎么拨呢？
学生动手拨一拨。
师：百位上3颗珠子表示什么？十位上5颗珠子呢？个位上9颗呢？
学生口答。
……
6. 师：刚刚我们一起整理了数位顺序表，你能借助它把359写下来吗？
学生写一写，说说自己的思考过程。
7. 师：现在不借助小正方体、小棒、计数器和数位顺序表，你能写一个三位数并和同桌交流吗？
学生活动。
在这个教学片断中，老师合理有序地安排了以下几种操作材料：一是直观的、齐性的材料，基于解决问题的数数，让学生感受到一大堆苹果不好数，需要摆整齐再数，体会到“1”是最基础也是最重要的计数单位。二是直观的、结构化的材料，让学生自己尝试着数一数，出现了多种方法，自主感悟到可以十个十个地数、一百一百地数，这样的“十”和“百”是自然而然产生的。三是半直观、半抽象的结构化学具，让学生尝试在计数器上拨出一个数，去理解数的组成，借助数位顺序表写出一个数，去感悟数的位置值。在此基础上，教师让学生尝试直接写一个数，是把这些直观的、结构化的、半抽象的学具材料带来的理解感悟映射在头脑中，进而抽象出对这个数的认识。
二、 注重开放操作过程，帮助学生建构数的意义
刘加霞教授在PCK理论中指出，要关注学生在学习该学科内容时的路径、困难等，也就是说关注的核心是学生知识。我想，发展学生的数感，要正视学生学习的困难和不同学生之间的差异，借助动手操作，给学生多一点时间，多一点空间，鼓励学生自我尝试、自主建构。分享不同的方法，呈现的是学生认知的不同路径，可以帮助学生建构数的意义。
《分数单位》教学片断：
1. 师：你能用这张红纸条去量数学书的长吗？
学生动手量。
生1：我用这张纸条量了一次，发现数学书的长还没有量完，再把纸条平均分成4份去量，发现多出的是这样的3份。
生2：我量出数学书的长是一张纸条的长再多它的3/4。
师：一起数一数1/4、2/4、3/4、4/4、5/4、6/4、7/4，我们是用了一个新的单位1/4去度量的。
2. 师：你还能用不同的单位去量数学书的长，请你动手试一试。
学生动手操作。
交流。（有1/2、1/8、1/7、1/11、1/9、1/16等）
在这个片段中，学生从量的实际出发，感受到“分”的需要。在动手操作的过程中，教师留给学生很多的时间和很大的思考空间，呈现了多种可能，这些新的单位都是学生创造出来的。最后学生“数”出这样的几份，在这个过程中动态地感受到了分数的形成过程。在解决实际问题的过程中，学生经历了分数单位的再创造过程，即把一个度量单位平均分成若干份，其中的一份作为新的度量单位。学生自主建构分数的这一度量定义的过程，也帮助学生再次巩固了分数的份数定义。
《认识11—20》教学片断：
1. 师：请小朋友们数出11根小棒。
学生独立数一数，一起数一数。
2. 师：请你想个办法，摆一摆11根小棒，让老师一眼看出有多少根？
学生活动，交流。
生1：……
生2：……
生3：……
生4：……
3. 师：这4种方法，哪种方法能更快地让老师一眼看出有几根小棒？
生：第4种，因为10个一捆成一捆是1个十，1个十和1个一合起来是11。
4. 师：11这个数中有两个1，这两个1一样吗？ 生：前面的1表示1个十，后面的1表示1个一，是不一样的。
这个教学片断中，问题的开放带来了方法的多样，交流过程中再进行方法的优化，让学生感受到“1个十和1个一合起来就是11”，动态地帮助学生形成了对数的意义的认识。同时，在摆和捆的过程中，学生自然而然认识了“满十进一”；在比较两个1的过程中，初步让学生体会了数的位置值。
三、 有效引领操作交流，帮助学生打通数的联系
郑毓信老师指出：“数学教学不应求全，而应求联。”我想，在教学中不仅要关注各个知识点的教学，还要注意沟通知识点之间的联系。建立联系，就是要不断增强学生对具体经验、语言、图片和数学符号之间关系的认识，来建构学生对数的意义的理解。在这个过程中，学生的认识可能是片面的、模糊的，甚至是错误的，我们要充分发挥教师在组织操作交流中的引领作用，帮助学生沟通数的内在联系。
《认识千以内的数》教学片断：
1. 师：拨一拨，数一数。从424数到1000，在计数器上边拨边数。
学生活动。
2. 师：谁来说说是怎么数的？
3. 生1： 424，425，426，627，428，429，430。
师追问：429到430，你具体说说是怎样拨的？
生1：429的个位上有9颗珠子，再拨一颗珠子，是10颗了，把它们都退去，向十位上拨1颗珠子。
师：哦，這位同学的意思是个位满10向十位进1。
生1：我接着数，430，440，450，460，470，480，490，500。490的时候，十位上是9颗珠子，再加1颗是10颗，十位满10向百位进1。
我继续数，500，600，700，800，900，1000。900的时候，百位上是9颗再加1颗是10颗，百位满10向千位进1。
4. 师：还有同学想说说自己的方法吗？
生2： 424，434， 444。
师：你现在拨出的数是444，这三个4表示的意义一样吗？
生2：不一样，前面的4在百位，表示4个百，中间的4在十位，表示4个十，后面的4在个位，表示4个1。
师：说得很有道理，请你接着数。
生2： 444，454，464，474，484，494，495，496，497，498，499，500。
师：499数到500，你给大家具体说说怎么拨？
生2： 499的个位上是9颗珠子，再加1颗是10颗，个位满10向十位进1，十位上刚刚已经有9颗珠子了，加上进上来的1颗珠子，又满10颗了，再向百位进1。
师：嗯，你能边拨边说，表达地特别清楚。请你接着数。
生2： 500，600，700，800，900，1000。
生3：我还有不同的方法，424，524，624，724，824，924，925，926，927，928，929，930；940，950，960，970，980，990，1000。
5. 师：嗯，第一位同学先一个一个地数，第二个同学先十个十个地数，第三位同学先一百一百地数。大家都注意选择合适的计数单位，数的又快又对。
这个教学环节中，在学生自主尝试从424数到1000后，老师组织全班交流。在学生回答的过程中，老师适时追问：一是让一小部分学习稍有困难的学生，能够明确数的方法，能够跟上大家；二是让学生在数“拐点数”的时候，通过边拨边数，借助计数器这一半直观的学具，来突破数数的难点；三是让学生有充分的时间操作和表达，自然而然地理解数的两个本质，即十进制和位置值。
《分数单位》教学片断：
1. 师：同学们通过用纸条去量数学书的活动，自己找到了1/4、1/2、1/8、1/7、1/11、1/9、1/16等分数单位，怎样能很快发现这些分数单位之间的规律呢？
生：可以从大到小排一排。（一起排一排这些分数的大小）
2. 师：你能从中发现一些规律吗？
生1：这些单位的分母越大，这个分数就越小。
师：你能说说想法吗？
生1：分母越大，表示平均分的份数越多，那么其中的一份就越小。
师：有最大的分数单位吗？最小的呢？
生1：最大的分数单位是1/2，没有最小的分数单位。
师：你是怎样想的？
生1：把单位“1”平均分成2份，2份是最少的了，那么其中的1份最大。而平均分的份数可以越来越多，但是找不到最多是多少份，也就找不到最小的1份是多少。
师：你能联系分数的意义来解释，使我们加深了理解。
3. 师：还有其他发现吗？
生2：2个1/2正好是1，8个1/8正好是1。
师：你能给大家数一数吗？
生2：1/8，2/8，3/8，4/8，5/8，6/8，7/8。
师： 3/8里面有几个1/8？1/8里面有几个1/8？
生2：3/8里面有3个1/8，7/8里面有7个1/8。
师：对呀，1/8，2/8，3/8，4/8，5/8，6/8，7/8累加起来的，它们的分数单位都是1/8。随着我们的继续学习，还会发现很多分数的单位也是1/8。
3. 师：谁还有补充？
生3： 2个1/4是1/2，2个1/6是1/3。
生4：2个1/4是1/2，4个1/8是1/2。
师：这位同学发现了不同分数单位之间的关系，还发现了同一个分数，可以用不同的分数单位数出来。
……
这个教学片断中，教师引导学生观察分数墙，引发学生的进一步思考。通过老师适时地点拨，学生自主沟通了分数单位和单位“1”之间的联系、分数与分数之间的联系；在充分地表达想法中，还让学生感悟到了分数的度量定义，并加深了学生对分数的份数定义的理解。这样的联系，原本对学生来说是很难的，但借助了分数墙，有了老师的引领，学生的感悟由浅入深，水到渠成。
在数的认识中，我们要及时沟通数的前后联系和内在联系，准确把握数位、计数单位、十进制、位置值这四个核心概念，努力引导学生感悟数形结合的思想、对应的思想，才能更好地发展学生的数感。
【关键词】操作 开放 引领 数感
新课标指出，数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。这种感悟是一个具体而又抽象的过程，也是一个长期积累、螺旋上升的过程。我想，在数的认识教学中，我们要注重优化学生的动手操作能力，引导学生多路径感悟，从而较好地培养学生的数感。下面笔者结合具体的课例，谈谈自己粗浅的体会。
一、 合理安排操作材料，帮助学生抽象数的认识
史宁中教授指出，抽象、建模和推理是学生数学素养的核心。数的产生，它是一个因需而生的过程，数是十分抽象的，对于形象思维为主的学生来说，理解数的意义是非常困难的。我想，这就要老师精心选取素材，让学生从生活中看得见、摸得着的具体材料入手，过渡到半直观、半抽象的材料，最后抽象出数。
《认识千以内的数》教学片断：
1. （课件出示一堆苹果）
师：猜一猜大约有多少个苹果？
学生猜。
2. 师：怎样才能知道猜得对不对？
生：可以數一数。
师：这一堆苹果怎么数呢？
生：可以摆整齐了，然后再数。
3. （出示排列整齐的小正方体）
师：我们用小正方体代表苹果，请你数一数，圈一圈，让大家能一下子看出有多少个苹果。
学生活动。
4. 师：你数出结果了吗？能说说是怎么数的吗？
生1：我数出有359个。
生2：我是一个一个数的。
生3：一个一个地数太慢，我是十个十个数的。
生4：我先一个一个地数，找出一列是10个，再十个十个地数，数出100个，接着一百一百地数，数出有3个百，5个十和9个一，就是359。
5. 师：数出的359这个数，在计数器上怎么拨呢？
学生动手拨一拨。
师：百位上3颗珠子表示什么？十位上5颗珠子呢？个位上9颗呢？
学生口答。
……
6. 师：刚刚我们一起整理了数位顺序表，你能借助它把359写下来吗？
学生写一写，说说自己的思考过程。
7. 师：现在不借助小正方体、小棒、计数器和数位顺序表，你能写一个三位数并和同桌交流吗？
学生活动。
在这个教学片断中，老师合理有序地安排了以下几种操作材料：一是直观的、齐性的材料，基于解决问题的数数，让学生感受到一大堆苹果不好数，需要摆整齐再数，体会到“1”是最基础也是最重要的计数单位。二是直观的、结构化的材料，让学生自己尝试着数一数，出现了多种方法，自主感悟到可以十个十个地数、一百一百地数，这样的“十”和“百”是自然而然产生的。三是半直观、半抽象的结构化学具，让学生尝试在计数器上拨出一个数，去理解数的组成，借助数位顺序表写出一个数，去感悟数的位置值。在此基础上，教师让学生尝试直接写一个数，是把这些直观的、结构化的、半抽象的学具材料带来的理解感悟映射在头脑中，进而抽象出对这个数的认识。
二、 注重开放操作过程，帮助学生建构数的意义
刘加霞教授在PCK理论中指出，要关注学生在学习该学科内容时的路径、困难等，也就是说关注的核心是学生知识。我想，发展学生的数感，要正视学生学习的困难和不同学生之间的差异，借助动手操作，给学生多一点时间，多一点空间，鼓励学生自我尝试、自主建构。分享不同的方法，呈现的是学生认知的不同路径，可以帮助学生建构数的意义。
《分数单位》教学片断：
1. 师：你能用这张红纸条去量数学书的长吗？
学生动手量。
生1：我用这张纸条量了一次，发现数学书的长还没有量完，再把纸条平均分成4份去量，发现多出的是这样的3份。
生2：我量出数学书的长是一张纸条的长再多它的3/4。
师：一起数一数1/4、2/4、3/4、4/4、5/4、6/4、7/4，我们是用了一个新的单位1/4去度量的。
2. 师：你还能用不同的单位去量数学书的长，请你动手试一试。
学生动手操作。
交流。（有1/2、1/8、1/7、1/11、1/9、1/16等）
在这个片段中，学生从量的实际出发，感受到“分”的需要。在动手操作的过程中，教师留给学生很多的时间和很大的思考空间，呈现了多种可能，这些新的单位都是学生创造出来的。最后学生“数”出这样的几份，在这个过程中动态地感受到了分数的形成过程。在解决实际问题的过程中，学生经历了分数单位的再创造过程，即把一个度量单位平均分成若干份，其中的一份作为新的度量单位。学生自主建构分数的这一度量定义的过程，也帮助学生再次巩固了分数的份数定义。
《认识11—20》教学片断：
1. 师：请小朋友们数出11根小棒。
学生独立数一数，一起数一数。
2. 师：请你想个办法，摆一摆11根小棒，让老师一眼看出有多少根？
学生活动，交流。
生1：……
生2：……
生3：……
生4：……
3. 师：这4种方法，哪种方法能更快地让老师一眼看出有几根小棒？
生：第4种，因为10个一捆成一捆是1个十，1个十和1个一合起来是11。
4. 师：11这个数中有两个1，这两个1一样吗？ 生：前面的1表示1个十，后面的1表示1个一，是不一样的。
这个教学片断中，问题的开放带来了方法的多样，交流过程中再进行方法的优化，让学生感受到“1个十和1个一合起来就是11”，动态地帮助学生形成了对数的意义的认识。同时，在摆和捆的过程中，学生自然而然认识了“满十进一”；在比较两个1的过程中，初步让学生体会了数的位置值。
三、 有效引领操作交流，帮助学生打通数的联系
郑毓信老师指出：“数学教学不应求全，而应求联。”我想，在教学中不仅要关注各个知识点的教学，还要注意沟通知识点之间的联系。建立联系，就是要不断增强学生对具体经验、语言、图片和数学符号之间关系的认识，来建构学生对数的意义的理解。在这个过程中，学生的认识可能是片面的、模糊的，甚至是错误的，我们要充分发挥教师在组织操作交流中的引领作用，帮助学生沟通数的内在联系。
《认识千以内的数》教学片断：
1. 师：拨一拨，数一数。从424数到1000，在计数器上边拨边数。
学生活动。
2. 师：谁来说说是怎么数的？
3. 生1： 424，425，426，627，428，429，430。
师追问：429到430，你具体说说是怎样拨的？
生1：429的个位上有9颗珠子，再拨一颗珠子，是10颗了，把它们都退去，向十位上拨1颗珠子。
师：哦，這位同学的意思是个位满10向十位进1。
生1：我接着数，430，440，450，460，470，480，490，500。490的时候，十位上是9颗珠子，再加1颗是10颗，十位满10向百位进1。
我继续数，500，600，700，800，900，1000。900的时候，百位上是9颗再加1颗是10颗，百位满10向千位进1。
4. 师：还有同学想说说自己的方法吗？
生2： 424，434， 444。
师：你现在拨出的数是444，这三个4表示的意义一样吗？
生2：不一样，前面的4在百位，表示4个百，中间的4在十位，表示4个十，后面的4在个位，表示4个1。
师：说得很有道理，请你接着数。
生2： 444，454，464，474，484，494，495，496，497，498，499，500。
师：499数到500，你给大家具体说说怎么拨？
生2： 499的个位上是9颗珠子，再加1颗是10颗，个位满10向十位进1，十位上刚刚已经有9颗珠子了，加上进上来的1颗珠子，又满10颗了，再向百位进1。
师：嗯，你能边拨边说，表达地特别清楚。请你接着数。
生2： 500，600，700，800，900，1000。
生3：我还有不同的方法，424，524，624，724，824，924，925，926，927，928，929，930；940，950，960，970，980，990，1000。
5. 师：嗯，第一位同学先一个一个地数，第二个同学先十个十个地数，第三位同学先一百一百地数。大家都注意选择合适的计数单位，数的又快又对。
这个教学环节中，在学生自主尝试从424数到1000后，老师组织全班交流。在学生回答的过程中，老师适时追问：一是让一小部分学习稍有困难的学生，能够明确数的方法，能够跟上大家；二是让学生在数“拐点数”的时候，通过边拨边数，借助计数器这一半直观的学具，来突破数数的难点；三是让学生有充分的时间操作和表达，自然而然地理解数的两个本质，即十进制和位置值。
《分数单位》教学片断：
1. 师：同学们通过用纸条去量数学书的活动，自己找到了1/4、1/2、1/8、1/7、1/11、1/9、1/16等分数单位，怎样能很快发现这些分数单位之间的规律呢？
生：可以从大到小排一排。（一起排一排这些分数的大小）
2. 师：你能从中发现一些规律吗？
生1：这些单位的分母越大，这个分数就越小。
师：你能说说想法吗？
生1：分母越大，表示平均分的份数越多，那么其中的一份就越小。
师：有最大的分数单位吗？最小的呢？
生1：最大的分数单位是1/2，没有最小的分数单位。
师：你是怎样想的？
生1：把单位“1”平均分成2份，2份是最少的了，那么其中的1份最大。而平均分的份数可以越来越多，但是找不到最多是多少份，也就找不到最小的1份是多少。
师：你能联系分数的意义来解释，使我们加深了理解。
3. 师：还有其他发现吗？
生2：2个1/2正好是1，8个1/8正好是1。
师：你能给大家数一数吗？
生2：1/8，2/8，3/8，4/8，5/8，6/8，7/8。
师： 3/8里面有几个1/8？1/8里面有几个1/8？
生2：3/8里面有3个1/8，7/8里面有7个1/8。
师：对呀，1/8，2/8，3/8，4/8，5/8，6/8，7/8累加起来的，它们的分数单位都是1/8。随着我们的继续学习，还会发现很多分数的单位也是1/8。
3. 师：谁还有补充？
生3： 2个1/4是1/2，2个1/6是1/3。
生4：2个1/4是1/2，4个1/8是1/2。
师：这位同学发现了不同分数单位之间的关系，还发现了同一个分数，可以用不同的分数单位数出来。
……
这个教学片断中，教师引导学生观察分数墙，引发学生的进一步思考。通过老师适时地点拨，学生自主沟通了分数单位和单位“1”之间的联系、分数与分数之间的联系；在充分地表达想法中，还让学生感悟到了分数的度量定义，并加深了学生对分数的份数定义的理解。这样的联系，原本对学生来说是很难的，但借助了分数墙，有了老师的引领，学生的感悟由浅入深，水到渠成。
在数的认识中，我们要及时沟通数的前后联系和内在联系，准确把握数位、计数单位、十进制、位置值这四个核心概念，努力引导学生感悟数形结合的思想、对应的思想，才能更好地发展学生的数感。