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随着新教改的逐步向纵深方向推进与发展，中考题型的变化也复杂多样起来，其中“格点问题”是颇受命题者青睐的重要题型之一.所谓“格点问题”就是利用由若干个小正方形组成的“网格”图，每个小正方形的顶点都叫做“格点”，利用这个网格图来解答问题，称为“格点问题”.这类问题格调清新，形式灵活，通常与三角形、四边形、圆等相关图形相结合，显示出了这类问题较为强大的生命力.解答时要充分利用网格的对称性，网格中的垂直、平行以及相关图形的性质.
一、 与三角形相结合的格点问题
例1 （荆州）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
【解析】 本题属于中考中的网格问题，本题考察了勾股定理、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定，根据勾股定理得BC=■，AB=2■，AC=■，根据勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，BC∶AB=1∶2，在四个图形中，显然答案B中的三角形为直角三角形且两条直角边的比为1∶2.
【答案】 B
【点评】 本题属于中考中的网格问题，本题考察了勾股定理、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定.
例2 （泰州）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△A■B■C■，然后将△A■B■C■绕点A■顺时针旋转90°得到△A■B■C■．
（1）在网格中画出△A■B■C■和△A■B■C■；
（2）计算线段AC在变换到A■C■的过程中扫过区域的面积（重叠部分不重复计算）
【解析】 （1） 作已知图形的平移图形，需找准平移方向和距离，再作出图形；将已知图形的旋转，需看清旋转中心、旋转角和旋转方向；（2） 观察可知，线段AC变换到A■C■过程中所扫过部分为两个平行四边形和圆心角为45°扇形，求其面积较易．
【答案】 （1）画图略；
（2） 扫过区域的面积=4×2+3×2+■=14+π
【点评】 平移、旋转作图经常在网格中来实现，作图方便，又能体现学生活学活用相关知识的能力，是近几年来新兴的试题．本题主要考查几何变换中的平移与旋转相关知识，只要理解与掌握平移及旋转的定义及性质，作出几何变换后的图形就非常容易了．实际上，图形的变换就是转化为关键点的变换，抓住平移的两要素（平移的方向与距离）与旋转的三要素（旋转中心、旋转方向和旋转角），是解决本题的关键．
二、 与四边形相结合的格点问题
例3 （鸡西）如图，在网格中有一个四边形图案．
（1） 请你画出此图案绕点D顺时针方向旋转90°，180°，270°的图案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置涂错；
（2）若网格中每个小正方形的边长为l，旋转后点A的对应点依次为A■、A■、A■，求四边形AA■A■A■的面积；
（3） 这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论．
【解析】 根据旋转变换的特点进行准确画图，在画图过程中需要利用网格中隐藏的垂直关系来寻求90°，180°，270°；在进行面积计算时既可以利用网格本身来确定四边形的特殊性（△OAC，△ABC均为直角三角形），也可以利用“整体法”来求出答案.
【答案】 （1）如图，正确画出图案
（2） 如图，S■=S■-4S■=（3+5）■-4×■×3×5 =34.
故四边形似AA■A■A■的面积为34．
（3） 结论：AB■+BC■=AC■或勾股定理的文字叙述
【点评】 本题在格点问题中既考查了四边形本身的特性，又巧妙将旋转变换融入进来，综合程度相对较高.变换以后又升级到图形面积的计算和对整个图形的把握高度，设计巧妙，角度新颖.
三、 与圆或弧相结合的格点问题
例4 （海淀区）如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C.
（1） 用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2） 若A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（7，0），试验证点D是否在经过点A、B、C的抛物线上；
（3） 在（2）的条件下，求证直线CD是⊙M的切线.
【解析】 若要确定圆弧的圆心位置，则需要在圆弧上选取恰当的三点，构成两条弦，然后作出这两条弦的中垂线，交点即为圆心，证明切线只需要说明两个条件，即直线经过圆上一点，并且垂直于过该点的半径即可，循着这个思路可以轻松解决.
【答案】 （1） 如图1，点M即为所求.
（2） 点D不在经过A、B、C的抛物线上（过程略）
（3） 如图2，设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E，连结MC，作直线CD.
所以CE＝2，ME＝4，ED＝1，MD＝5
在Rt△CEM中，∠CEM＝90°
所以MC2=ME2+CE2=42+22=20
在Rt△CED中，∠CED＝90°
所以CD2=ED2+CE2=12+22=5
所以MD2=MC2+CD2
所以∠MCE＝90° ，因为MC为半径，
所以直线CD是⊙M的切线
【点评】 该题巧妙的将圆弧、平面直角坐标系和网格相结合，利用网格容易作出线段的垂直平分线，省去了“尺规作图”保留作图痕迹的麻烦，该题不仅仅考查了“作图”的能力，更用到了分析图形，利用图形，利用垂直平分的性质，对学生的要求比较高.
例5 如图在8×6的网格图（每个小正方形的边长均为1个单位长度）中，⊙A的半径为2个单位长度，⊙B的半径为1个单位长度，要使运动的⊙B与静止的⊙A内切，应将⊙B由图示位置向左平移 个单位长度． 【解析】 解决该题的关键之处要做到两点：一是理解两圆内切的数量考查标准（d=R-r），二是⊙B与⊙A内切有两种情况（切点在左和在右），该题还可以将“内切”改为“相切”，那么结果应该有四种情况.
【答案】 4或6
【点评】 将两圆内切问题放到格点中来考查，既方便考生准确画图，又能够便于“观察”图形的移动位置，解题过程中要注意平移的方向和顺序，不能有遗漏.
四、 与函数结合的格点问题
例6 如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB的顶点O、A、B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在x轴上．
（1） 以O为位似中心，将△OAB放大，使得放大后的△OA1B1与△OAB对应线段的比为2∶1，画出△OA1B1．（所画△OA1B1与△OAB在原点两侧）．
（2） 求出线段A1B1所在直线的函数关系式．
【解析】 解决该题，重点要理解“位似”的本质特征，利用网格比较方便作出位似图形，注意这里的关键词“放大”以及括号内的要求.
【答案】 （1）如图，△OA1B1就是△OAB放大后的图象
（2） 由题意得： A1（4，0），B1（2，-4）
设线段A1B1所在直线的函数关系式为y=kx+b（k≠0）
则4x+b=02k+b=-4 解得k=2b=-8
∴函数关系式为y=2x-8
【点评】 本题考查的重点是学生的作图和对图形的理解能力，用待定系数法求一次函数解析式的能力，求直线解析式，关键就是要找出该直线上恰当的两个“点”，以“点”来“定”直线是求一次函数问题较为常用的方法.
例7 （兰州）在如图的方格纸中，∠1的正切值为 ．
【解析】 根据圆周角定理知∠A=∠1，然后在直角三角形ACD中，求∠CAD的正切值即可．
【答案】 解：根据图意，知∠A=∠1（同弧所对的圆周角相等），
∴tan∠1=tan∠A=CD/AD=1/3
【点评】 本题可以考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正切为对边比邻边．在网格中，首先设法形成直角三角形，再根据三角函数的定义求解．该题将圆周角与网格和直角三角形相结合来考查可谓是别具匠心.
格点问题在最近几年的中考中频频出现，形式多样，角度多变，牵涉面广，覆盖面大，操作性强，趣味性浓.切合新课标“在做中学，在学中思，在思中得”理念，数学虽然是一门思维要求很高的学科，同时也具有较强的“可操作” 性，只要我们多做这方面的尝试与思考，你将会在体会思维的严密性的同时，也会感受到图形的世界也是如此的精彩和奇妙！
（责任编辑：殷大才）
一、 与三角形相结合的格点问题
例1 （荆州）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
【解析】 本题属于中考中的网格问题，本题考察了勾股定理、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定，根据勾股定理得BC=■，AB=2■，AC=■，根据勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，BC∶AB=1∶2，在四个图形中，显然答案B中的三角形为直角三角形且两条直角边的比为1∶2.
【答案】 B
【点评】 本题属于中考中的网格问题，本题考察了勾股定理、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定.
例2 （泰州）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△A■B■C■，然后将△A■B■C■绕点A■顺时针旋转90°得到△A■B■C■．
（1）在网格中画出△A■B■C■和△A■B■C■；
（2）计算线段AC在变换到A■C■的过程中扫过区域的面积（重叠部分不重复计算）
【解析】 （1） 作已知图形的平移图形，需找准平移方向和距离，再作出图形；将已知图形的旋转，需看清旋转中心、旋转角和旋转方向；（2） 观察可知，线段AC变换到A■C■过程中所扫过部分为两个平行四边形和圆心角为45°扇形，求其面积较易．
【答案】 （1）画图略；
（2） 扫过区域的面积=4×2+3×2+■=14+π
【点评】 平移、旋转作图经常在网格中来实现，作图方便，又能体现学生活学活用相关知识的能力，是近几年来新兴的试题．本题主要考查几何变换中的平移与旋转相关知识，只要理解与掌握平移及旋转的定义及性质，作出几何变换后的图形就非常容易了．实际上，图形的变换就是转化为关键点的变换，抓住平移的两要素（平移的方向与距离）与旋转的三要素（旋转中心、旋转方向和旋转角），是解决本题的关键．
二、 与四边形相结合的格点问题
例3 （鸡西）如图，在网格中有一个四边形图案．
（1） 请你画出此图案绕点D顺时针方向旋转90°，180°，270°的图案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置涂错；
（2）若网格中每个小正方形的边长为l，旋转后点A的对应点依次为A■、A■、A■，求四边形AA■A■A■的面积；
（3） 这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论．
【解析】 根据旋转变换的特点进行准确画图，在画图过程中需要利用网格中隐藏的垂直关系来寻求90°，180°，270°；在进行面积计算时既可以利用网格本身来确定四边形的特殊性（△OAC，△ABC均为直角三角形），也可以利用“整体法”来求出答案.
【答案】 （1）如图，正确画出图案
（2） 如图，S■=S■-4S■=（3+5）■-4×■×3×5 =34.
故四边形似AA■A■A■的面积为34．
（3） 结论：AB■+BC■=AC■或勾股定理的文字叙述
【点评】 本题在格点问题中既考查了四边形本身的特性，又巧妙将旋转变换融入进来，综合程度相对较高.变换以后又升级到图形面积的计算和对整个图形的把握高度，设计巧妙，角度新颖.
三、 与圆或弧相结合的格点问题
例4 （海淀区）如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C.
（1） 用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2） 若A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（7，0），试验证点D是否在经过点A、B、C的抛物线上；
（3） 在（2）的条件下，求证直线CD是⊙M的切线.
【解析】 若要确定圆弧的圆心位置，则需要在圆弧上选取恰当的三点，构成两条弦，然后作出这两条弦的中垂线，交点即为圆心，证明切线只需要说明两个条件，即直线经过圆上一点，并且垂直于过该点的半径即可，循着这个思路可以轻松解决.
【答案】 （1） 如图1，点M即为所求.
（2） 点D不在经过A、B、C的抛物线上（过程略）
（3） 如图2，设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E，连结MC，作直线CD.
所以CE＝2，ME＝4，ED＝1，MD＝5
在Rt△CEM中，∠CEM＝90°
所以MC2=ME2+CE2=42+22=20
在Rt△CED中，∠CED＝90°
所以CD2=ED2+CE2=12+22=5
所以MD2=MC2+CD2
所以∠MCE＝90° ，因为MC为半径，
所以直线CD是⊙M的切线
【点评】 该题巧妙的将圆弧、平面直角坐标系和网格相结合，利用网格容易作出线段的垂直平分线，省去了“尺规作图”保留作图痕迹的麻烦，该题不仅仅考查了“作图”的能力，更用到了分析图形，利用图形，利用垂直平分的性质，对学生的要求比较高.
例5 如图在8×6的网格图（每个小正方形的边长均为1个单位长度）中，⊙A的半径为2个单位长度，⊙B的半径为1个单位长度，要使运动的⊙B与静止的⊙A内切，应将⊙B由图示位置向左平移 个单位长度． 【解析】 解决该题的关键之处要做到两点：一是理解两圆内切的数量考查标准（d=R-r），二是⊙B与⊙A内切有两种情况（切点在左和在右），该题还可以将“内切”改为“相切”，那么结果应该有四种情况.
【答案】 4或6
【点评】 将两圆内切问题放到格点中来考查，既方便考生准确画图，又能够便于“观察”图形的移动位置，解题过程中要注意平移的方向和顺序，不能有遗漏.
四、 与函数结合的格点问题
例6 如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB的顶点O、A、B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在x轴上．
（1） 以O为位似中心，将△OAB放大，使得放大后的△OA1B1与△OAB对应线段的比为2∶1，画出△OA1B1．（所画△OA1B1与△OAB在原点两侧）．
（2） 求出线段A1B1所在直线的函数关系式．
【解析】 解决该题，重点要理解“位似”的本质特征，利用网格比较方便作出位似图形，注意这里的关键词“放大”以及括号内的要求.
【答案】 （1）如图，△OA1B1就是△OAB放大后的图象
（2） 由题意得： A1（4，0），B1（2，-4）
设线段A1B1所在直线的函数关系式为y=kx+b（k≠0）
则4x+b=02k+b=-4 解得k=2b=-8
∴函数关系式为y=2x-8
【点评】 本题考查的重点是学生的作图和对图形的理解能力，用待定系数法求一次函数解析式的能力，求直线解析式，关键就是要找出该直线上恰当的两个“点”，以“点”来“定”直线是求一次函数问题较为常用的方法.
例7 （兰州）在如图的方格纸中，∠1的正切值为 ．
【解析】 根据圆周角定理知∠A=∠1，然后在直角三角形ACD中，求∠CAD的正切值即可．
【答案】 解：根据图意，知∠A=∠1（同弧所对的圆周角相等），
∴tan∠1=tan∠A=CD/AD=1/3
【点评】 本题可以考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正切为对边比邻边．在网格中，首先设法形成直角三角形，再根据三角函数的定义求解．该题将圆周角与网格和直角三角形相结合来考查可谓是别具匠心.
格点问题在最近几年的中考中频频出现，形式多样，角度多变，牵涉面广，覆盖面大，操作性强，趣味性浓.切合新课标“在做中学，在学中思，在思中得”理念，数学虽然是一门思维要求很高的学科，同时也具有较强的“可操作” 性，只要我们多做这方面的尝试与思考，你将会在体会思维的严密性的同时，也会感受到图形的世界也是如此的精彩和奇妙！
（责任编辑：殷大才）