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摘要:数学变式教学是通过变更数学概念的非本质特征来暴露问题本质特征的教学方法。利用变式教学,能帮助学生对数学问题多角度、多方位、多层次的讨论和思考,从而有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质。本文将阐述数学变式教学具有的一些现代教育理论思想,以及在新课程下实施变式教学对促进课堂有效教学的一些认识。
关键词:变式教学 思维品质 最近发展区 有效课堂
伴随新课程改革的全面实施和不断深入,中小学课程的功能、内容、结构、评价都发生了根本性的改变,新的教学理念、教学方法不断涌现。虽然这些变化给课堂教学带来前所未有的生机和活力,但课堂教学有效性问题却成为教师当前数学课堂教学的一大困惑。 变式教学作为中国数学教育的传统特征之一,在实施有效的数学课堂教学中有着十分重要的作用。本文将阐述变式教学具有的一些现代教育理论思想,以及对在新课程下实施变式教学对促进有效课堂教学的一些认识。
一、倡导变式教学的必要性
1.变式教学符合新课改理念。变式教学主要采取以知识变式、题目变式、思维变式、方法变式等为基本途径,通过启迪思维、暴露过程、主体参与、探索创新等教学过程,逐步培养学生灵活多变的思维品质,最终提高学生数学素养。而新课程标准也强调从学生已有的生活经验出发,将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程,进而使学生获得对数学理解的同时,在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。实践证明:变式教学及其模式不但可应用于课堂常规教学,而且在数学课外活动中也具有广泛的应用价值。目前变式教学已成为开展研究性学习的重要途径之一。由此可见,变式教学能较好地体现新课程的教学理念,并且具有鲜明的时代性。
2.变式教学能提高课堂教学有效性。全面减轻学生过重的课业负担,让学生从题海战术中走出来,更是当前教育界亟需解决的一个重大课题。变式教学,能够较好地解决上述问题。首先,变式教学要求教师必须加大备课投入,钻深研透教材,不断提高驾驭教材的能力,不断提高授课水平;其次,变式教学的宗旨是启发、引导学生研究、探索知识的发生、发展过程,有利于体现学生的主体地位,有利于激发学生的学习兴趣,提高课堂教学效率;第三,变式教学能够扩大课堂容量,有效控制课后作业量,从而减轻学生负担。因此,变式教学是提高课堂教学效率、减轻学生负担的有效途径。
二、数学变式教学具有的一些现代教育理论基础
变式教学在中国由来已久,作为中国数学教育的传统特征之一,被广大教师自觉或不自觉地运用着。随着广大中外研究者对这种具有中国特色之一的变式教学进行的深入研究,他们发现不管在现代教育理论还是在心理学理论中,变式教学都能寻找到强有力的理论支撑点。
1.马登理论。根据“马登理论”可知,学习发生的前提是有效的分辨,而有效的分辨的前提是变异的存在,因此变异构成了学习的重要前提条件。变式教学是通过设计变式问题来进行教学的一种教学方式,而这一系列的变式问题刚好构成一个变异的空间。当然,变异的存在仅仅是学习发生的必要条件,设置了一组变式题不能保证意义学习的发生,只有引导学生去主动思考,积极探索,体会到变式题所要反映的实质意义,学习才会真正地发生。从“马登理论”的角度来看,只有通过对差异的认识才能产生鉴别,也就是产生了学习。
2.建构主义的学习理论。建构主义认为学习是一个积极主动的建构过程,学生不是被动地接受外在信息,而是根据先前认知结构主动地和有选择地知觉外在信息,建构其意义。在建构主义看来,知识学习是一个建构过程,必须强调学习者的主体作用。教师的讲解并不能直接将知识传输给学生,教师只能通过组织者、合作者和引导者的身份,使学生主动参与到整个学习过程中去。 教师通过变式教学,让学生归纳总结,发现各种变式的实质联系,引导学生通过持续的概括、分析、讨论、探索、假设、检验等高水平的思维活动,建构对知识的理解。
3.最近发展区理论。维果斯基将学生在成人指导下,借助成人的帮助,所能达到解决问题的水平与在独立活动中所达到的解决问题的水平之间的差异称之为“最近发展区”。他认为教学应当走在学生发展的前面,不停地把学生的智力从一个水平引导到另一个新的更高的水平。从变式教学角度来看,当学生面临一个需要独立解决的问题而有较大的困难,教师以学生的己有认知水平为起点,在学生的最近发展区域内设计一系列的、逐步递进的变式题。这种以学生熟悉的问题为起点,以需要解决的问题为指向,在学生的最近发展区域内,帮助学生实现了从己有水平向潜在水平的跨越,并且在问题解决的过程中积累了经验,增长了才智。
三、运用变式教学,促进课堂教学的有效性
1.运用变式教学,深化概念的理解。在数学教学中教师根据教学内容的不同特点,设计不同的变式概念问题,引导学生采用各种不同的方法去思考和解决问题,最终揭示概念的实质,达到对概念本质的深刻理解。变式教学还可以探究数学知识的实质和相互之间的联系,认识和理解其内涵,使学生不迷恋于问题的表象。
例如:在讲“分式的意义”时,一个分式的值为零是指分式的分子为零而分母不为零,因此对于分式■的值为零时,在得到答案x=-1时,实际上学生对“分子为零而分母不为零”这个条件还不是很清晰,难以辨析出学生是否考虑了“分母不为零”这个条件,此时可以做如下变形:
变形1:当x时,分式■的值为零?(分子为零时x=±1)
变形2:当x时,分式■的值为零?(x=1时分母为零,因此要舍去)
变形3:当x时,分式■的值为零?(此时分母可以因式分解为(x-6)(x+1),因此x的取值就不能等于6且不能等于-1)
通过以上的变形,可以对概念的理解逐渐加深,对概念中本质的东西有了非常清晰的认识。
2.运用变式教学,提高问题的分析能力。学生思维的灵活性主要表现为随新的条件迅速确定解题方向,表现为从一种解题途径转向为另一种解题途径的灵活性,也表现为从已知数学关系中看出新的数学关系,从隐蔽的形式中分清实质的能力。变式教学以培养学生灵活转换、独立思考的分析能力为目的。在变式教学过程中,教师通过精心设计一些由简到繁、由易到难的变式问题,从而把学生的思维逐渐引向新的高度。
例如:探究二次三项式x2+(a+b)x+ab的因式分解公式。
问题:x2+4x+ 中添上什么数就可以使这个式子用完全平方公式法分解。[答:添上4,分解成(x+2)2 ]
变式1:如果添上的数不是4而是3,即x2+4x+3,还能不能分解?
与x2+4x+4=(x+2)2=(x+2)(x+2)进行比较,问x2+4x+3=(x+?)(x+?)。学生经过试探比较,容易发现这两个数分别是1和3,然后再提出一两个类似的例子,如x2+7x+6、x2+5x+6进行探究。
变式2:把x2+4x+3改为x2-5x-6,又如何分解呢?
现在常数项是-6,所填两数应一正一负,从各种可能(2,-3),(-2,3),(6,-1),(-6,1)中经试探应是x2-5x-6=(x-6)(x+1)。
变式3:在一系列问题解决之后,再提出一般的x2+(a+b)x+ab的分解问题,这样学生得到的不只是形式上的结果(x+a)(x+b),而且对a、b两处可能的符号情况也有了感性的认识。
在这个案例中,由二次三项式x2+4x+4的分解引出x2+4x+3的分解,即在复习旧知识(原有知识)的基础上提出一个由旧知识已经不能解决的新问题,引起学生的认知冲突,创设问题情境(变式的开始)。接着让学生自己尝试解决,并提供系数符号不同的类似问题,让学生探索二次三项式因式分解的一般规律(变式的展开)。最后通过解决一系列精心设计的变式问题,建立了x2+(a+b)x+ab与(x+a)(x+b)两者之间合理和本质的联系,从而形成了有意义的学习(变式的深入)。
3.运用变式教学,提高问题的解决能力。变式教学强调的是对问题的非本质特征进行变化,如变更问题的情景、改变问题的思维角度等,产生出新的问题。变式教学的目标之一是让学生从这些变化的问题情景中抽象出问题的本质特征,从而理解问题所考查的数学对象的实质。这个过程正是学生抽象思维能力的形成过程。另外,变式教学中的“一题多解”、“一题多变”、“多题同解”通过改变题目的条件、探求题目的结论、改变情境等多种途径,强化学生对知识和方法的理解、掌握和变通,帮助学生对问题进行多方向、多角度、多层次的思考,使思维不局限于固定的理解和某一固定的模式,从而培养学生的发散思维能力。
例如: 已知:如图1,⊙O的弦AB、CD相交于圆内一点P。求证:PA·PB=PC·PD。
变式1:如图2,若AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为P,求证:PC2=PA·PB。
变式2:如图3,若⊙O的弦AB、CD相交于圆外一点P,线段PA、PB、PC、PD间存在何种关系,请证明你的猜测;
变式3:如图4,在变式2的基础上,若C、D两点重合,线段PA、PB、PC之间又有何关系,试证明你的猜测。
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图1 图2图3图4
这一题通过一图多变就把相交弦定理及其延伸——切割线定理交融在一起,图形虽变,但结论中的数量关系没变。这种对题目进行开拓变形,将所求的问题作些变更,使一题变为多题,遵循学生的认知规律,由易到难,不但发挥了题目潜在功能,而且培养了学生思维的发散性和独创性,提高了课堂教学的有效性 。
参考文献:
[1] 周爱东、赵晓楚,《数学课堂变式教学的点滴思考》,《科教文汇》,2007.2(上半月刊)
[2] 武岿,《数学教学中变式教学的理论探索》,《内蒙古电大学刊》,2006.8
关键词:变式教学 思维品质 最近发展区 有效课堂
伴随新课程改革的全面实施和不断深入,中小学课程的功能、内容、结构、评价都发生了根本性的改变,新的教学理念、教学方法不断涌现。虽然这些变化给课堂教学带来前所未有的生机和活力,但课堂教学有效性问题却成为教师当前数学课堂教学的一大困惑。 变式教学作为中国数学教育的传统特征之一,在实施有效的数学课堂教学中有着十分重要的作用。本文将阐述变式教学具有的一些现代教育理论思想,以及对在新课程下实施变式教学对促进有效课堂教学的一些认识。
一、倡导变式教学的必要性
1.变式教学符合新课改理念。变式教学主要采取以知识变式、题目变式、思维变式、方法变式等为基本途径,通过启迪思维、暴露过程、主体参与、探索创新等教学过程,逐步培养学生灵活多变的思维品质,最终提高学生数学素养。而新课程标准也强调从学生已有的生活经验出发,将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程,进而使学生获得对数学理解的同时,在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。实践证明:变式教学及其模式不但可应用于课堂常规教学,而且在数学课外活动中也具有广泛的应用价值。目前变式教学已成为开展研究性学习的重要途径之一。由此可见,变式教学能较好地体现新课程的教学理念,并且具有鲜明的时代性。
2.变式教学能提高课堂教学有效性。全面减轻学生过重的课业负担,让学生从题海战术中走出来,更是当前教育界亟需解决的一个重大课题。变式教学,能够较好地解决上述问题。首先,变式教学要求教师必须加大备课投入,钻深研透教材,不断提高驾驭教材的能力,不断提高授课水平;其次,变式教学的宗旨是启发、引导学生研究、探索知识的发生、发展过程,有利于体现学生的主体地位,有利于激发学生的学习兴趣,提高课堂教学效率;第三,变式教学能够扩大课堂容量,有效控制课后作业量,从而减轻学生负担。因此,变式教学是提高课堂教学效率、减轻学生负担的有效途径。
二、数学变式教学具有的一些现代教育理论基础
变式教学在中国由来已久,作为中国数学教育的传统特征之一,被广大教师自觉或不自觉地运用着。随着广大中外研究者对这种具有中国特色之一的变式教学进行的深入研究,他们发现不管在现代教育理论还是在心理学理论中,变式教学都能寻找到强有力的理论支撑点。
1.马登理论。根据“马登理论”可知,学习发生的前提是有效的分辨,而有效的分辨的前提是变异的存在,因此变异构成了学习的重要前提条件。变式教学是通过设计变式问题来进行教学的一种教学方式,而这一系列的变式问题刚好构成一个变异的空间。当然,变异的存在仅仅是学习发生的必要条件,设置了一组变式题不能保证意义学习的发生,只有引导学生去主动思考,积极探索,体会到变式题所要反映的实质意义,学习才会真正地发生。从“马登理论”的角度来看,只有通过对差异的认识才能产生鉴别,也就是产生了学习。
2.建构主义的学习理论。建构主义认为学习是一个积极主动的建构过程,学生不是被动地接受外在信息,而是根据先前认知结构主动地和有选择地知觉外在信息,建构其意义。在建构主义看来,知识学习是一个建构过程,必须强调学习者的主体作用。教师的讲解并不能直接将知识传输给学生,教师只能通过组织者、合作者和引导者的身份,使学生主动参与到整个学习过程中去。 教师通过变式教学,让学生归纳总结,发现各种变式的实质联系,引导学生通过持续的概括、分析、讨论、探索、假设、检验等高水平的思维活动,建构对知识的理解。
3.最近发展区理论。维果斯基将学生在成人指导下,借助成人的帮助,所能达到解决问题的水平与在独立活动中所达到的解决问题的水平之间的差异称之为“最近发展区”。他认为教学应当走在学生发展的前面,不停地把学生的智力从一个水平引导到另一个新的更高的水平。从变式教学角度来看,当学生面临一个需要独立解决的问题而有较大的困难,教师以学生的己有认知水平为起点,在学生的最近发展区域内设计一系列的、逐步递进的变式题。这种以学生熟悉的问题为起点,以需要解决的问题为指向,在学生的最近发展区域内,帮助学生实现了从己有水平向潜在水平的跨越,并且在问题解决的过程中积累了经验,增长了才智。
三、运用变式教学,促进课堂教学的有效性
1.运用变式教学,深化概念的理解。在数学教学中教师根据教学内容的不同特点,设计不同的变式概念问题,引导学生采用各种不同的方法去思考和解决问题,最终揭示概念的实质,达到对概念本质的深刻理解。变式教学还可以探究数学知识的实质和相互之间的联系,认识和理解其内涵,使学生不迷恋于问题的表象。
例如:在讲“分式的意义”时,一个分式的值为零是指分式的分子为零而分母不为零,因此对于分式■的值为零时,在得到答案x=-1时,实际上学生对“分子为零而分母不为零”这个条件还不是很清晰,难以辨析出学生是否考虑了“分母不为零”这个条件,此时可以做如下变形:
变形1:当x时,分式■的值为零?(分子为零时x=±1)
变形2:当x时,分式■的值为零?(x=1时分母为零,因此要舍去)
变形3:当x时,分式■的值为零?(此时分母可以因式分解为(x-6)(x+1),因此x的取值就不能等于6且不能等于-1)
通过以上的变形,可以对概念的理解逐渐加深,对概念中本质的东西有了非常清晰的认识。
2.运用变式教学,提高问题的分析能力。学生思维的灵活性主要表现为随新的条件迅速确定解题方向,表现为从一种解题途径转向为另一种解题途径的灵活性,也表现为从已知数学关系中看出新的数学关系,从隐蔽的形式中分清实质的能力。变式教学以培养学生灵活转换、独立思考的分析能力为目的。在变式教学过程中,教师通过精心设计一些由简到繁、由易到难的变式问题,从而把学生的思维逐渐引向新的高度。
例如:探究二次三项式x2+(a+b)x+ab的因式分解公式。
问题:x2+4x+ 中添上什么数就可以使这个式子用完全平方公式法分解。[答:添上4,分解成(x+2)2 ]
变式1:如果添上的数不是4而是3,即x2+4x+3,还能不能分解?
与x2+4x+4=(x+2)2=(x+2)(x+2)进行比较,问x2+4x+3=(x+?)(x+?)。学生经过试探比较,容易发现这两个数分别是1和3,然后再提出一两个类似的例子,如x2+7x+6、x2+5x+6进行探究。
变式2:把x2+4x+3改为x2-5x-6,又如何分解呢?
现在常数项是-6,所填两数应一正一负,从各种可能(2,-3),(-2,3),(6,-1),(-6,1)中经试探应是x2-5x-6=(x-6)(x+1)。
变式3:在一系列问题解决之后,再提出一般的x2+(a+b)x+ab的分解问题,这样学生得到的不只是形式上的结果(x+a)(x+b),而且对a、b两处可能的符号情况也有了感性的认识。
在这个案例中,由二次三项式x2+4x+4的分解引出x2+4x+3的分解,即在复习旧知识(原有知识)的基础上提出一个由旧知识已经不能解决的新问题,引起学生的认知冲突,创设问题情境(变式的开始)。接着让学生自己尝试解决,并提供系数符号不同的类似问题,让学生探索二次三项式因式分解的一般规律(变式的展开)。最后通过解决一系列精心设计的变式问题,建立了x2+(a+b)x+ab与(x+a)(x+b)两者之间合理和本质的联系,从而形成了有意义的学习(变式的深入)。
3.运用变式教学,提高问题的解决能力。变式教学强调的是对问题的非本质特征进行变化,如变更问题的情景、改变问题的思维角度等,产生出新的问题。变式教学的目标之一是让学生从这些变化的问题情景中抽象出问题的本质特征,从而理解问题所考查的数学对象的实质。这个过程正是学生抽象思维能力的形成过程。另外,变式教学中的“一题多解”、“一题多变”、“多题同解”通过改变题目的条件、探求题目的结论、改变情境等多种途径,强化学生对知识和方法的理解、掌握和变通,帮助学生对问题进行多方向、多角度、多层次的思考,使思维不局限于固定的理解和某一固定的模式,从而培养学生的发散思维能力。
例如: 已知:如图1,⊙O的弦AB、CD相交于圆内一点P。求证:PA·PB=PC·PD。
变式1:如图2,若AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为P,求证:PC2=PA·PB。
变式2:如图3,若⊙O的弦AB、CD相交于圆外一点P,线段PA、PB、PC、PD间存在何种关系,请证明你的猜测;
变式3:如图4,在变式2的基础上,若C、D两点重合,线段PA、PB、PC之间又有何关系,试证明你的猜测。
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图1 图2图3图4
这一题通过一图多变就把相交弦定理及其延伸——切割线定理交融在一起,图形虽变,但结论中的数量关系没变。这种对题目进行开拓变形,将所求的问题作些变更,使一题变为多题,遵循学生的认知规律,由易到难,不但发挥了题目潜在功能,而且培养了学生思维的发散性和独创性,提高了课堂教学的有效性 。
参考文献:
[1] 周爱东、赵晓楚,《数学课堂变式教学的点滴思考》,《科教文汇》,2007.2(上半月刊)
[2] 武岿,《数学教学中变式教学的理论探索》,《内蒙古电大学刊》,2006.8