卡莱尔定理的一个补充

• 作 者: 孙甘
• 出 处: 数学学习与研究
• 发表日期: 2011年7期
• 关键词: 卡莱尔 定理 历史学家 苏格兰

　　卡莱尔（Thom as Carlyle，1795-1881)是苏格兰评论、讽刺作家，历史学家，他一生涉猎广泛，对数学抱有浓厚兴趣，在给朋友的一分信中卡莱尔提出如下定理.
　　卡莱尔定理 在△ABC中，∠B和∠C都是锐角，自A引BC的垂线交BC于K，设M为AK上任一点，Q是直线BM与AC的交点，P为直线CM与AB的交点，则有∠PKA=∠QKA.
　　卡莱尔定理先后被第18届（1958年）Putnan数学竞赛、首届（1987年）“友谊杯”国际城市数学邀请赛、第三届（1991年）澳门数学竞赛、第26届（1994年）加拿大数学竞赛和第14届（2001）爱尔兰数学竞赛选作试题.美国《数学杂志》2005年第1期将卡莱尔定理作为问题Q948刊出.卡莱尔定理的逆命题也是成立的.
　　卡莱尔定理中限定了∠B和∠C均为锐角，若∠B或∠C有一个钝角，会有什么结论呢？本文给出卡莱尔定理的一个补充.
　　定理 在△ABC中，∠B为钝角，自A引BC的垂线交BC的延长线于K，过B作AC的平行线交AK于N.
　　（1）若M点在线段AN之间，Q是直线BM与直线AC的交点，P为直线CM与AB的交点，则∠PKA=∠QKA.
　　（2）若M点在线段KN之间，Q是直线BM与直线AC的交点，P为直线CM与AB的交点，则∠PKC=∠QKC.
　　图 1
　　证明 如图1，以K为原点，分别以BC，AK所在直线为x轴、y轴，设各点坐标分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),K(0,0),D(d,0)(a,b,c>0,d<0)，D为x轴负半轴上任意一点.M点坐标为(0,m)，其中0　　kBN=kAC=a-00-c=-ac.
　　直线BN的方程为-ac(x-b)=y-0，
　　即y=-acx+abc.
　　当x=0时，y=abc，可知N点坐标为0,abc.
　　如果M点和N点重合，那么显然BM与AC无交点.
　　（1）当M点在线段AN之间，即abc　　kBM=0-mb-0=-mb.
　　直线AC的方程为y=-acx+a，①
　　直线BM的方程为y=-mbx+m，②
　　联立①②，解得x=bc(m-a)mc-ab，y=am(c-b)mc-ab.
　　知Q点坐标为bc(m-a)mc-ab，am(c-b)mc-ab.
　　kCM=0-mc-0=-mc， kAB=a-00-b=-ab.
　　直线CM的方程为y=-mcx+m，③
　　直线AB的方程为y=-abx+a.④
　　联立③④，解得x=bc(a-m)ac-bm，y=am(c-b)ac-bm.
　　知P点坐标为bc(a-m)ac-bm，am(c-b)ac-bm.
　　kPK=am(c-b)bc(a-m)，kQK=-am(c-b)bc(a-m)，
　　∴kPK=-kQK.⑤
　　∵kPK=tan∠PKC，
　　kQK=tan(π-∠QKD)=-tan∠QKD，
　　∴tan∠PKC=tan∠QKD.
　　∵0<∠PKC，∠QKD<π，∴∠PKC=∠QKD.
　　又 ∠QKA=π2-∠QKD，∠PKA=π2-∠PKC，
　　∴∠PKA=∠QKA.（1）得证.
　　图 2
　　（2）当M点在线段KN之间，即0　　各点坐标中设定的字母不变，Q点为AC与BM的交点，P点为CM与AB的交点，计算思路和过程都与（1）相同，故仍能得到和⑤相同的结论kPK=-kQK.
　　又 kPK=tan∠PKC，kQK=tan(π-∠QKC)=-tan∠QKC，
　　∴tan∠PKC=tan∠QKC.
　　∵0<∠PKC，∠QKC<π，
　　∴∠PKC=∠QKC，而显然∠PKA≠∠QKA.
　　【参考文献】
　　［1］胡海霞，汪晓勤.文学家卡莱尔的数学岁月［J］.中学数学教学参考，2005（7）：60-61.
　　［2］萧振纲.数学竞赛中平面几何试题的三种命题方法［J］.数学竞赛之窗，2005（1）：9-14.
　　［3］Q948.Mathematics Magazine，2005，78（1）：69.
　　［4］郭要红.初166解答［J］.中等数学，2005（12）：45.
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文