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[摘要]纵观现行数学教学可发现,概念教学在整个数学教学中起着举足轻重的作用。故应重视在概念教学中培养学生的分辨能力。本文全面论述了概念的地位,概念教学中数学分辨能力培养的措施,教师可在对概念进行过程探究、操作演示、对比分析、多元组合、变式训练、错例应用的过程中培养学生的数学分辨能力。
[关键词]概念;表述;运用
小学数学中有大量的概念,它是数学基础知识的重要组成部分,也是学生进行计算和解答应用题的依据,是判断推理,进行逻辑思维的第一要素。新课程标准中提出“降低一些概念过分‘形式化’要求”,并指出要“改进数学概念教学,强调通过实际情景使学生体念、感受和理解”、“许多重要的概念,都要求在现实情景中去理解,恢复‘来源于现实,又扎根于现实’的本来面目……”。可见,新课程标准对数学概念教学有了新的规定和更高的要求。所以我认为“在对概念进行过程探究、操作演示、对比分析、多元组合、变式训练、错例应用的过程中培养学生的数学分辨能力”。
而目前概念教学中还存在着学生只习惯于“记住”“背熟”概念,缺乏深刻地理解,因而产生了只知其然而不知所以然的不良后果,一些学生对课本上的概念稍作变化便不知对错;教师也认为由于概念本身具有的严密性、抽象性和明确规定性,教学中往往比较重视培养思维的逻辑性和精确性,在方式上以“告诉”为主,让学生“占有”新概念,置学生于被动地位,使思维呈依赖性,这不利于学生的分辨能力培养。比如“分数根据分子与分母的大小可分为哪几类?”许多学生回答为“真分数、假分数、带分数三种。”实际上带分数是假分数的另一种书写形式,不能算作一种分法。同时,小学生复习概念时,不善于将一个概念和其相近的概念进行对比,因而缺乏一定的分辨能力。比如,小学生对于“增加了”与“增加到”、“中点”与“终点”等概念经常在作业或考试中混淆。加之小学生学习概念时,容易受负迁移的影响,缺乏一般情况与特殊情况下处理问题的能力,因而在概念上产生模糊甚至错误的认识。比如:小学生由“10比7多3,7比10少3”,错误地得出:“甲数比乙数多25%,那么乙数比甲数少25%”的结论。
综合上述分析可以看出,在概念教学中同样要创设学习情景,重视概念的形成过程,加强学生的学习兴趣和参与意识,让学生自己动手操作、自主学习、自我分析、自我归纳,加深对概念的理解和掌握,提高辨别能力和实际应用能力。
自主探索与合作交流是学生理解和掌握数学的重要途径。在概念教学中,如果只注重结果而忽视过程,就会造成学生对所学的概念一知半解、死记硬背。建构主义者认为:学习是学习者积极主动地建构知识的过程,而不是被动地接受外在信息。数学知识的形成过程是在教师的指导下,通过学生自主地活动来体验和把握的。因此,在教学的过程要敢于创新,创设情景,想方设法把概念的形成过程清晰地展现在学生的面前,使其掌握来龙去脉,知其然,更知其所以然。
一、动手感知演示操作表述概念
著名数学家波利亚曾经指出:“学习任何知识的最佳途径是由学生自己去发现,因为这种发现,理解最深,也最容易掌握其中的内在规律和联系。”由于小学生具有较强的模仿性,以直观形象思维为主,他们是从具体形象思维逐步向抽象逻辑思维过渡,而小学数学的一些概念比较抽象,教学中必须应用一定的学具、教具配合多媒体进行操作演示,使学生在动手实践中形成概念,加深对概念的理解。
例如:在学习《平行四边形的面积》时,我充分利用多媒体,呈现学生熟悉的情景:果园里各种果树郁郁葱葱,分别种在划成不同形状的地块上。然后出示种有苹果和橘子的地块,分别呈正方形和长方形,要求算一算它们的种植面积。学生运用已学的知识很快解决了问题。接着出示一块形如平行四边形的青菜地,让学生猜一猜它的面积大概是多少?平行四边形的面积应怎么求?学生对未知领域的探索有天然的好奇,思维的积极性被激发,纷纷根据前面的知识作出如下猜测:
学生1、面积是长边和短边长度的积。
学生2、长边和它的高的积。
学生3、短边和它的高的积。
学生4、先拼成一个长方形,跟这个长方形的面积有关……(教师一一板书出来)
学生做出种种猜想之后进行操作:小组合作把平行四边形剪、拼成一个会求面积的平面图形,找出新图形和原图形的面积有什么关系,再推导出平行四边形面积的计算公式,从而验证猜想,得出刚才有的猜想成立,有的猜想不成立。由于问题是自己提出的,也是自己解决的, 学生见自己的思维结果被肯定,心理上有一种小小的成就,从而更激起了主动探索的欲望,也激发了学生对几何图形的分辨能力。
又如:学习《三角形的认识》,学生对“围成”的理解有困难。我让学生准备14厘米、18厘米、9厘米、5厘米的小棒各一根,选择其中三根摆成一个三角形。在拼摆中,学生发现用14、18、9厘米和14、18、5厘米都能拼成三角形,当选14厘米、9厘米、5厘米和18厘米、9厘米、5厘米长的小棒时,首尾不能相接,不能拼成三角形。借助图形,让学生直观地感知了三角形“两边之和不能小于等于第三边”(发挥“暗示”的作用),而且明白了“三角形”不是由“三条线段组成”的图形,而应该是由“三条线段围成”的图形,使学生对三角形的定义有了清晰的认识。因此,在概念的形成中教师要创设分辨条件,给学生提供自主探索的机会和充分的思考空间,让学生在观察、操作、实验、归纳和分析的过程中亲自经历概念的分辨和形成过程。
二、分析对比准确简洁加强分辨
如概括小数的性质时学生常常这样讲:“小数的后面加上零或去掉零,小数的大小不变。”这里就要引导学生辨别“后面”与“末尾”、“加上”与“添上”的区别,因为些概念只是一两字之差,但本质完全不同,学生常常混淆。在教学这些概念时,我通过举例加以分辨,理解两个不同的概念。又如:数位与位数、“解”方程与方程的“解”是词同意不同的概念,再如“非负”和“不小于零”,“不大于”和“小于或等于”是词不同而含义相同的概念等等。在教学过程中都必须帮助学生分辨清楚,如果注意不够,就会出现错误。通过对重点字词的剖析,体会数学语言的严谨。这样学生在给概念下定义时就会斟字酌句,不随意添字丢字。
三、联想应用多元组合类比算理
一些概念比较抽象,学生在作业中时常出错。对于这类问题,可以启发引导学生联想生活实例,加以对比,从而类比算理,提高正确应用能力。
例如:直线、线段和射线的概念学生比较难理解。有一位教师有效地运用了联想应用的方法进行教学:
(一)弄清联系
在直线上任取一点作端点,可得到两条射线,在直线上任取两点可得到一条线段。把射线反向延长可得到一条直线,在射线上任取两点可得到一条线段。把线段向一方延长可得到一条射线,把线段向两方延长就得到直线。但不能说延长射线AB,只能说反向延长射线AB。
(二)注意对比
1.定义不同:直线无定义,只能形象描述;射线和线段是在存在直线的基础上定义的。
2.图形不同:同学们可对比直线、射线、线段这三者的图形。
3.表示方式不同:见三者的记法和读法。
4.端点个数不同:直线无端点,射线一个端点,线段两个端点。
5.延伸性不同:直线可两端无限延伸,射线只能向一方延伸,线段无法延伸。
6.度量不同:直线、射线不能度量,线段可以度量。
7.运算不同:直线、射线不能进行运算,线段可进行和、差、倍、分运算。
8.平分不同:直线、射线不能平分,线段可平分、有中点。
又如:在学习“吨的认识”,学生对“吨”的质量单位理解很困难。因为学生不能像“克”“千克”那样去体验,如何把这一抽象的概念让学生理解:一位教师是通过“类比算理”的,她首先拿出一个1角的硬币,让学生用手指掂一掂它的质量(1角的硬币近似于1克);然后拿出二包500克的味精,让学生用手托一托味精的质量;再告诉学生:老师体重刚好是50千克,让学生抱一抱50千克的质量;最后出示20袋大米(每袋大米印有50千克)的课件,让学生感觉1吨的质量。
当学生初步理解概念后所进行的巩固应用练习也应注意适度的“类比算理”,这至少要从形式和内容两方面进行考虑。如学习“小数的意义和性质”后,我听了一位老师是这样“简单有效”地综合复习课的:
上课伊始,教师就在黑板上写上“0.25”,然后问学生:“看到这个数你想到什么?”学生因没有太多的条条框框约束,思维的空间广阔,非常活跃。
学生1:我想到如果把它的小数点向右移动一位,它就扩大10倍。(小数点移动规律)学生2:我想到它的计数单位是百分之一,有25个这样的单位。(计数单位)
学生3:我想到它比1小。(大小比较)
学生4:我想到如果在它的末尾添上0,它的大小不变。(小数的性质)
学生5:我想到它是把1平均分成100份,表示这样的25份。(小数的意义)
学生6:我想到如果把它的小数点去掉,它就扩大了100倍。
学生7:我想到它是有2个十分之一,5个百分之一组成的。(小数的组成)
……
这样既疏理巩固了知识,又能从学生联想、综合、类比中培养了学生分辨能力,符合知识建构和多方面发展的要求。
四、举一反三变式训练巩固概念
初步形成的概念,巩固程度差,易受相近概念的干扰,而巩固是概念教学的重要环节。巩固概念,首先应在引入、形成概念后,引导学生正确复述,其次要运用变式加深理解。适时利用变式训练有助于纠正学生的思维偏差,提高分辨能力。所谓变式,就是使提供给学生的各种感性材料不断变换其表现形式,使非本质属性时有时无,而本质属性保持恒在。恰当运用变式,能使思维不受消极定势的束缚,实现思维方向的灵活转换,使思维呈发散状态。
如为了帮助学生从不同角度认识“约数”的本质特征,教师可以提供一组“形变而质不变”的感性材料:(1)12的约数有哪些?(2)哪些数能整除 12?(3)12是哪些数的倍数?(4)12能被哪些数整除?
不管何种变式,约数的本质始终恒在。这样学生不但习惯于标准叙述形式,而且能有效排除变式的干扰,对概念的理解更加深刻。
学生在感知几何图形的过程中,往往会受到图形的一些非本质属性的影响,把画在黑板上或书上的标准图形看作本质属性。如将等腰三角形的顶点画在左方,底边画在右方时,有的学生就认为它的两腰不在他的视线两旁,而错误的说它不是等腰三角形。因此利用变式图形,如呈现若干个位置或大小不同的等腰三角形,让学生观察辨认,就有利于克服感知图形时的消极影响,帮助学生从方位和量的比较中引起对知识更为深刻的正面思考,使获得的概念更精确、更稳定。
五、分析错例辨证思维灵活应用
一些容易出错的概念在教学时,可以先出示错例,让学生展开讨论,分析错误原因,从而增强学生的分析判断能力。例如:半圆的周长,学生很容易错误地认为半圆的周长就是圆周长的一半,这时可以引导学生画出图示,区别二者异同。
在概念教学中,要让学生知道一般情况与特殊情况,明白两者之间的辨证关系,不能一成不变,使学生生搬硬套。例如:计算分数加减法时,一般情况是先通分,然后相加减。如果遇到特殊情况时,可以不必通分,采用分拆的方法进行解决。
教学中,把容易出错的概念编成题组进行对比训练,可以提高学生的辨别能力,达到巩固概念的目的。例如:学完数的整除这一单元后,可以让学生说说下面各组概念的异同,这样不仅复习了概念,而且加深了对概念的理解及辨别。(1)整除和除尽;(2)偶数与奇数,质数与合数;(3)质数、互质数、质因数、分解质因数。
“学习的最好途径是自己去发现”。学生如能在教师创设的情景中像数学家那样去“想数学”,“经历发现、创新的过程”,那么在获得概念的同时还能培养他们的思维意识。分辨能力的提高在整个概念教学中起着举足轻重的作用,如果我们重视在数学概念教学中培养学生的分辨能力,注重了教学中的薄弱环节和容易忽视的问题,有利于大面积提高小学教学课堂教学质量,提升教学成绩;有利于进一步推进课堂素质教育,落实新课程标准;有利于让学生发挥个性特长,主动、全面的发展,增强综合素质,提高探索、创新能力。
[参考文献]
[1]学数学教学大纲.
[2]小学数学新课程标准.
[关键词]概念;表述;运用
小学数学中有大量的概念,它是数学基础知识的重要组成部分,也是学生进行计算和解答应用题的依据,是判断推理,进行逻辑思维的第一要素。新课程标准中提出“降低一些概念过分‘形式化’要求”,并指出要“改进数学概念教学,强调通过实际情景使学生体念、感受和理解”、“许多重要的概念,都要求在现实情景中去理解,恢复‘来源于现实,又扎根于现实’的本来面目……”。可见,新课程标准对数学概念教学有了新的规定和更高的要求。所以我认为“在对概念进行过程探究、操作演示、对比分析、多元组合、变式训练、错例应用的过程中培养学生的数学分辨能力”。
而目前概念教学中还存在着学生只习惯于“记住”“背熟”概念,缺乏深刻地理解,因而产生了只知其然而不知所以然的不良后果,一些学生对课本上的概念稍作变化便不知对错;教师也认为由于概念本身具有的严密性、抽象性和明确规定性,教学中往往比较重视培养思维的逻辑性和精确性,在方式上以“告诉”为主,让学生“占有”新概念,置学生于被动地位,使思维呈依赖性,这不利于学生的分辨能力培养。比如“分数根据分子与分母的大小可分为哪几类?”许多学生回答为“真分数、假分数、带分数三种。”实际上带分数是假分数的另一种书写形式,不能算作一种分法。同时,小学生复习概念时,不善于将一个概念和其相近的概念进行对比,因而缺乏一定的分辨能力。比如,小学生对于“增加了”与“增加到”、“中点”与“终点”等概念经常在作业或考试中混淆。加之小学生学习概念时,容易受负迁移的影响,缺乏一般情况与特殊情况下处理问题的能力,因而在概念上产生模糊甚至错误的认识。比如:小学生由“10比7多3,7比10少3”,错误地得出:“甲数比乙数多25%,那么乙数比甲数少25%”的结论。
综合上述分析可以看出,在概念教学中同样要创设学习情景,重视概念的形成过程,加强学生的学习兴趣和参与意识,让学生自己动手操作、自主学习、自我分析、自我归纳,加深对概念的理解和掌握,提高辨别能力和实际应用能力。
自主探索与合作交流是学生理解和掌握数学的重要途径。在概念教学中,如果只注重结果而忽视过程,就会造成学生对所学的概念一知半解、死记硬背。建构主义者认为:学习是学习者积极主动地建构知识的过程,而不是被动地接受外在信息。数学知识的形成过程是在教师的指导下,通过学生自主地活动来体验和把握的。因此,在教学的过程要敢于创新,创设情景,想方设法把概念的形成过程清晰地展现在学生的面前,使其掌握来龙去脉,知其然,更知其所以然。
一、动手感知演示操作表述概念
著名数学家波利亚曾经指出:“学习任何知识的最佳途径是由学生自己去发现,因为这种发现,理解最深,也最容易掌握其中的内在规律和联系。”由于小学生具有较强的模仿性,以直观形象思维为主,他们是从具体形象思维逐步向抽象逻辑思维过渡,而小学数学的一些概念比较抽象,教学中必须应用一定的学具、教具配合多媒体进行操作演示,使学生在动手实践中形成概念,加深对概念的理解。
例如:在学习《平行四边形的面积》时,我充分利用多媒体,呈现学生熟悉的情景:果园里各种果树郁郁葱葱,分别种在划成不同形状的地块上。然后出示种有苹果和橘子的地块,分别呈正方形和长方形,要求算一算它们的种植面积。学生运用已学的知识很快解决了问题。接着出示一块形如平行四边形的青菜地,让学生猜一猜它的面积大概是多少?平行四边形的面积应怎么求?学生对未知领域的探索有天然的好奇,思维的积极性被激发,纷纷根据前面的知识作出如下猜测:
学生1、面积是长边和短边长度的积。
学生2、长边和它的高的积。
学生3、短边和它的高的积。
学生4、先拼成一个长方形,跟这个长方形的面积有关……(教师一一板书出来)
学生做出种种猜想之后进行操作:小组合作把平行四边形剪、拼成一个会求面积的平面图形,找出新图形和原图形的面积有什么关系,再推导出平行四边形面积的计算公式,从而验证猜想,得出刚才有的猜想成立,有的猜想不成立。由于问题是自己提出的,也是自己解决的, 学生见自己的思维结果被肯定,心理上有一种小小的成就,从而更激起了主动探索的欲望,也激发了学生对几何图形的分辨能力。
又如:学习《三角形的认识》,学生对“围成”的理解有困难。我让学生准备14厘米、18厘米、9厘米、5厘米的小棒各一根,选择其中三根摆成一个三角形。在拼摆中,学生发现用14、18、9厘米和14、18、5厘米都能拼成三角形,当选14厘米、9厘米、5厘米和18厘米、9厘米、5厘米长的小棒时,首尾不能相接,不能拼成三角形。借助图形,让学生直观地感知了三角形“两边之和不能小于等于第三边”(发挥“暗示”的作用),而且明白了“三角形”不是由“三条线段组成”的图形,而应该是由“三条线段围成”的图形,使学生对三角形的定义有了清晰的认识。因此,在概念的形成中教师要创设分辨条件,给学生提供自主探索的机会和充分的思考空间,让学生在观察、操作、实验、归纳和分析的过程中亲自经历概念的分辨和形成过程。
二、分析对比准确简洁加强分辨
如概括小数的性质时学生常常这样讲:“小数的后面加上零或去掉零,小数的大小不变。”这里就要引导学生辨别“后面”与“末尾”、“加上”与“添上”的区别,因为些概念只是一两字之差,但本质完全不同,学生常常混淆。在教学这些概念时,我通过举例加以分辨,理解两个不同的概念。又如:数位与位数、“解”方程与方程的“解”是词同意不同的概念,再如“非负”和“不小于零”,“不大于”和“小于或等于”是词不同而含义相同的概念等等。在教学过程中都必须帮助学生分辨清楚,如果注意不够,就会出现错误。通过对重点字词的剖析,体会数学语言的严谨。这样学生在给概念下定义时就会斟字酌句,不随意添字丢字。
三、联想应用多元组合类比算理
一些概念比较抽象,学生在作业中时常出错。对于这类问题,可以启发引导学生联想生活实例,加以对比,从而类比算理,提高正确应用能力。
例如:直线、线段和射线的概念学生比较难理解。有一位教师有效地运用了联想应用的方法进行教学:
(一)弄清联系
在直线上任取一点作端点,可得到两条射线,在直线上任取两点可得到一条线段。把射线反向延长可得到一条直线,在射线上任取两点可得到一条线段。把线段向一方延长可得到一条射线,把线段向两方延长就得到直线。但不能说延长射线AB,只能说反向延长射线AB。
(二)注意对比
1.定义不同:直线无定义,只能形象描述;射线和线段是在存在直线的基础上定义的。
2.图形不同:同学们可对比直线、射线、线段这三者的图形。
3.表示方式不同:见三者的记法和读法。
4.端点个数不同:直线无端点,射线一个端点,线段两个端点。
5.延伸性不同:直线可两端无限延伸,射线只能向一方延伸,线段无法延伸。
6.度量不同:直线、射线不能度量,线段可以度量。
7.运算不同:直线、射线不能进行运算,线段可进行和、差、倍、分运算。
8.平分不同:直线、射线不能平分,线段可平分、有中点。
又如:在学习“吨的认识”,学生对“吨”的质量单位理解很困难。因为学生不能像“克”“千克”那样去体验,如何把这一抽象的概念让学生理解:一位教师是通过“类比算理”的,她首先拿出一个1角的硬币,让学生用手指掂一掂它的质量(1角的硬币近似于1克);然后拿出二包500克的味精,让学生用手托一托味精的质量;再告诉学生:老师体重刚好是50千克,让学生抱一抱50千克的质量;最后出示20袋大米(每袋大米印有50千克)的课件,让学生感觉1吨的质量。
当学生初步理解概念后所进行的巩固应用练习也应注意适度的“类比算理”,这至少要从形式和内容两方面进行考虑。如学习“小数的意义和性质”后,我听了一位老师是这样“简单有效”地综合复习课的:
上课伊始,教师就在黑板上写上“0.25”,然后问学生:“看到这个数你想到什么?”学生因没有太多的条条框框约束,思维的空间广阔,非常活跃。
学生1:我想到如果把它的小数点向右移动一位,它就扩大10倍。(小数点移动规律)学生2:我想到它的计数单位是百分之一,有25个这样的单位。(计数单位)
学生3:我想到它比1小。(大小比较)
学生4:我想到如果在它的末尾添上0,它的大小不变。(小数的性质)
学生5:我想到它是把1平均分成100份,表示这样的25份。(小数的意义)
学生6:我想到如果把它的小数点去掉,它就扩大了100倍。
学生7:我想到它是有2个十分之一,5个百分之一组成的。(小数的组成)
……
这样既疏理巩固了知识,又能从学生联想、综合、类比中培养了学生分辨能力,符合知识建构和多方面发展的要求。
四、举一反三变式训练巩固概念
初步形成的概念,巩固程度差,易受相近概念的干扰,而巩固是概念教学的重要环节。巩固概念,首先应在引入、形成概念后,引导学生正确复述,其次要运用变式加深理解。适时利用变式训练有助于纠正学生的思维偏差,提高分辨能力。所谓变式,就是使提供给学生的各种感性材料不断变换其表现形式,使非本质属性时有时无,而本质属性保持恒在。恰当运用变式,能使思维不受消极定势的束缚,实现思维方向的灵活转换,使思维呈发散状态。
如为了帮助学生从不同角度认识“约数”的本质特征,教师可以提供一组“形变而质不变”的感性材料:(1)12的约数有哪些?(2)哪些数能整除 12?(3)12是哪些数的倍数?(4)12能被哪些数整除?
不管何种变式,约数的本质始终恒在。这样学生不但习惯于标准叙述形式,而且能有效排除变式的干扰,对概念的理解更加深刻。
学生在感知几何图形的过程中,往往会受到图形的一些非本质属性的影响,把画在黑板上或书上的标准图形看作本质属性。如将等腰三角形的顶点画在左方,底边画在右方时,有的学生就认为它的两腰不在他的视线两旁,而错误的说它不是等腰三角形。因此利用变式图形,如呈现若干个位置或大小不同的等腰三角形,让学生观察辨认,就有利于克服感知图形时的消极影响,帮助学生从方位和量的比较中引起对知识更为深刻的正面思考,使获得的概念更精确、更稳定。
五、分析错例辨证思维灵活应用
一些容易出错的概念在教学时,可以先出示错例,让学生展开讨论,分析错误原因,从而增强学生的分析判断能力。例如:半圆的周长,学生很容易错误地认为半圆的周长就是圆周长的一半,这时可以引导学生画出图示,区别二者异同。
在概念教学中,要让学生知道一般情况与特殊情况,明白两者之间的辨证关系,不能一成不变,使学生生搬硬套。例如:计算分数加减法时,一般情况是先通分,然后相加减。如果遇到特殊情况时,可以不必通分,采用分拆的方法进行解决。
教学中,把容易出错的概念编成题组进行对比训练,可以提高学生的辨别能力,达到巩固概念的目的。例如:学完数的整除这一单元后,可以让学生说说下面各组概念的异同,这样不仅复习了概念,而且加深了对概念的理解及辨别。(1)整除和除尽;(2)偶数与奇数,质数与合数;(3)质数、互质数、质因数、分解质因数。
“学习的最好途径是自己去发现”。学生如能在教师创设的情景中像数学家那样去“想数学”,“经历发现、创新的过程”,那么在获得概念的同时还能培养他们的思维意识。分辨能力的提高在整个概念教学中起着举足轻重的作用,如果我们重视在数学概念教学中培养学生的分辨能力,注重了教学中的薄弱环节和容易忽视的问题,有利于大面积提高小学教学课堂教学质量,提升教学成绩;有利于进一步推进课堂素质教育,落实新课程标准;有利于让学生发挥个性特长,主动、全面的发展,增强综合素质,提高探索、创新能力。
[参考文献]
[1]学数学教学大纲.
[2]小学数学新课程标准.