论文部分内容阅读
【摘要】BOPPPS教学模式是目前较为优秀的微课教学模式，本文以线性代数中的“逆矩阵”为例，探讨了基于BOPPPS教学模式下的线性代数微课教学设计.在教学设计中充分发挥学生学习的主观能动性，并注重对学生认知、情感和技能的培养.
【关键词】BOPPPS;教学模式;线性代数;教学设计
一、前 言
当前线性代数课程的教学模式已经脱离了传统的黑板模式，不仅增加了多媒体教学，而且还有慕课（MOOC）等形式，但是仍存在某些问题：（1）缺乏对学生创造性思维的培养.在教学过程中，教师一般是先直接给出定理，然后进行严谨的推导证明，最后给出相关例题和习题.但在此过程中忽略了对学生创造思维的培养.（2）缺少前沿知识的普及，目前线性代数教学一般以大纲为依据，较少涉及书本外的知识点，缺少了对学生前沿知识的普及，使得学生在课堂上很难接触到前沿知识.（3）教学缺少应用实例.由于线性代数学科具有抽象性，不能像高等数学教学一样能利用函数的图像进行直观理解，因此，学生在学习时会很难引起兴趣.（4）在课程思政建设方面，线性代数的教学也应该注重对学生的德育教育.
线性代数和高等数学是大学工科学生的公共基础必修课，目前已经有教师和学者对基于BOPPPS教学模式下的高等数学微课教学设计进行研究[1-4]，但是基于BOPPPS教学模式下的线性代数微课教学设计的论文还未公开发表.本文以“逆矩阵”为例，对基于BOPPPS教学模式下的线性代数微课教学设计进行研究，力求解决上述问题.
二、BOPPPS教学模式概述
BOPPPS教学模式是由加拿大ISW（Instructional Skill Workshop）创办的，旨在培训教师的教学技能.在培训过程中主要以学员（教师）为中心，对课堂教学进行模块化分解并进行互评.学员课程展示时间一般以10分钟为宜.BOPPS教学模式将课堂教学分为以下6个阶段：导言（Bridge-in）、学习目标（Objective）、先测（Pre-assessment）、参与式学习（Participatory Learning）、后测（Post-assessment）以及总结（Summary）.学员在备课过程中，将课程按照这6个阶段进行准备，并在备课过程中注重对学生认知、情感和技能等方面的培养.
三、基于BOPPPS教学模式下的线性代数微课教学设计理念
基于BOPPPS教学模式对线性代进行微课教学设计，教师需要将课程分割成6个阶段，在每个阶段均需要注重对学生认知、情感和技能的培养.以学生为中心，启发式教学，帮助学生理解记忆相关知识点，开阔眼界，培养学生兴趣和情感、提高学生技能.教师在整个备课过程中，需要以学生为主体.教师在授课过程中，不仅要提高学生学习的主动性，鼓励学生参与到学习过程中，而且需要及时捕获学生的反馈.教师在课后需要根据学生的反馈对后续课程进行相应的修改.
四、基于BOPPPS教学模式的“逆矩阵”教学设计
基于线性代数中“逆矩阵”课程的特点与知识体系，将BOPPPS教学模式运用到“逆矩阵”教学设计中.在教学设计中，教师以课程为载体，以学生为主体，激发学生学习兴趣，注重对学生认知、情感和技能的培养.按照BOPPPS教学模式的6个阶段，具体设计如下.
（一）导言（Bridge-in）——通过回忆、类比、设问，对课程进行导入
回忆矩阵的加法、数乘、相乘、转置、方阵的行列式以及伴随矩阵等运算.教师引导学生将矩阵的运算与实数的运算进行比较，学生可发现矩阵的运算不具有与实数除法相类似的运算.因此，教师设问矩阵的运算中是否也具有相类似的运算.
教师启发学生实数的除法与乘法互为逆运算a÷b=a×1b（b≠0）.因此，可借助倒数将除法转化为乘法.一个非零数a与其倒数1a满足a×1a=1，因此，考虑矩阵中是否也具有类似性质的矩阵，即任何数与1相乘都等于这个数本身.学生进行思考，可回忆起单位矩阵E具有这样的性质，即对方阵A而言，有AE=EA=E.鼓励学生利用单位矩阵对逆矩阵进行类比定义.在此过程中提高学生学习的主观能动性.
（二）学习目标（Objective）——PPT展示
根据线性代数课程体系，以及逆矩阵对后续学科（例如，现代密码学）的重要性，明确本节课的教学目标：（1）理解可逆矩阵的概念;（2）掌握利用行列式判定矩阵可逆的充要条件以及利用伴随矩阵求逆矩阵的方法.教学重点为如何判定可逆矩阵及利用伴随矩阵求逆矩阵.教学难点为对可逆矩阵概念的理解.德育点为培育学生求真务实的科学精神和精益求精的工匠精神.
（三）先测（Pre-assessment）——提问、PPT與板书相结合
以提问的方式回忆方阵的行列式运算以及伴随矩阵的运算和性质，即提问：（1）计算3阶行列式的方法;（2）计算伴随矩阵的过程;（3）伴随矩阵的性质AA*=A*A=|A|E.帮助学生理解后续逆矩阵的定理以及逆矩阵的计算.
（四）参与式学习（Participatory Learning）——特色设计
本阶段采用多种教学方法相结合的方式进行课程特色设计，包括讲授法、讨论法、直观演示法、练习法、自主学习法、任务驱动法等.具体分为以下6个教学点.
1.逆矩阵的定义：对矩阵A，如果存在矩阵B，使得AB=BA=E，则称A为可逆矩阵，并称B为A的逆矩阵.
引导学生通过观察等式AB=BA=E自主发现：（1）矩阵与其逆矩阵满足乘法交换律，但是一般矩阵的相乘不满足交换律.（2）逆矩阵A的形状，即A的列数和行数.从而发现如果一个矩阵可逆，那么这个矩阵是方阵.教师再进行反问，是否方阵都是可逆矩阵.举出反例，最后得到结论，矩阵可逆的必要条件是矩阵为方阵.
2.教师分享逆矩阵与数学家凯莱的生平，培育学生求真务实的科学精神和精益求精的工匠精神. 通过类比一个实数a存在倒数的充分必要条件是a≠0，帮助学生对上述定理进行记忆，并利用先测阶段伴随矩阵的性质引导学生对该定理进行证明.
4.例题：设A=2231-10-121，判断A是否可逆，若可逆，求其逆矩阵.教师利用定理对该例题进行讲解，并给出规范书写过程，在此过程中充分发挥学生的主观能动性.
5.本节内容的前沿问题与发展动态，简单介绍广义逆（群逆、D逆）[5]的概念.
6.应用实例，简介逆矩阵在希尔密码（Hill Cipher）破解中的重要应用.
（五）后测（Post-assessment）——课堂练习
给出习题：判断A=221315323是否可逆，若可逆，求其逆矩阵.
（六）总结（Summary）——整合要点，布置作业
通过动画流程对本节知识点进行归纳，并进行动态演示，帮助学生加深记忆.
五、总 结
本文以“逆矩阵”为例，研究了基于BOPPPS教学模式下的线性代数微课教学设计.首先对BOPPPS教学模式和基于BOPPPS教学模式下的线性代数微课教学设计理念进行概述.然后对基于BOPPPS教学模式的“逆矩阵”教学设计进行了详细说明.教师首先运用多媒体课件辅助课堂教学，通过创设情境，由实数的除法运算，引出逆矩阵的概念，并通过数“1”，鼓励学生利用单位矩阵来定义逆矩阵.然后通过一个数存在倒数的充要条件是该数不为零，来帮助学生记忆逆矩阵的定理.最后在課程的设计中引导学生关注前沿、注重应用，使得学生对逆矩阵的理解不再悬于空中，更加贴近实际.通过本文可以发现基于BOPPPS模式的教学设计不仅可以有效地提高教学质量，而且能够激发学生的学习兴趣，提高学习效率.但是基于PPPS模式的教学不能过于模式化，需要在教学中不断改进和突破.
【参考文献】
[1]曹重光，张龙.线性代数与空间解析几何[M].北京：北京大学出版社∥哈尔滨：黑龙江大学出版社，2015.
[2]储亚伟，叶薇薇，王海坤.基于BOPPPS模型下的高等数学微课教学设计——以“一阶非齐次线性微分方程的解法”为例[J].山东农业工程学院学报，2016（9）：153-156.
[3]张琛，李红霞.基于BOPPPS模式下的高等数学微课教学设计——以“数列极限”为例[J].西部素质教育，2017（2）：163-164.
[4]林旭旭.基于BOPPPS模式下的高等数学微课教学设计——以“曲线的凹凸性”为例[J].现代商贸工业，2018（36）：180-181.
[5]杜蘅，闵慧.基于BOPPPS教学模式下的高等数学微课教学设计——以“多元复合函数的求导法则”为例[J].数学学习与研究，2018（3）：26-27.
[6]李菊雁，曹重光.主理想整环上矩阵的群逆[J].高师理科学刊，2009（5）：1-3.
【关键词】BOPPPS;教学模式;线性代数;教学设计
一、前 言
当前线性代数课程的教学模式已经脱离了传统的黑板模式，不仅增加了多媒体教学，而且还有慕课（MOOC）等形式，但是仍存在某些问题：（1）缺乏对学生创造性思维的培养.在教学过程中，教师一般是先直接给出定理，然后进行严谨的推导证明，最后给出相关例题和习题.但在此过程中忽略了对学生创造思维的培养.（2）缺少前沿知识的普及，目前线性代数教学一般以大纲为依据，较少涉及书本外的知识点，缺少了对学生前沿知识的普及，使得学生在课堂上很难接触到前沿知识.（3）教学缺少应用实例.由于线性代数学科具有抽象性，不能像高等数学教学一样能利用函数的图像进行直观理解，因此，学生在学习时会很难引起兴趣.（4）在课程思政建设方面，线性代数的教学也应该注重对学生的德育教育.
线性代数和高等数学是大学工科学生的公共基础必修课，目前已经有教师和学者对基于BOPPPS教学模式下的高等数学微课教学设计进行研究[1-4]，但是基于BOPPPS教学模式下的线性代数微课教学设计的论文还未公开发表.本文以“逆矩阵”为例，对基于BOPPPS教学模式下的线性代数微课教学设计进行研究，力求解决上述问题.
二、BOPPPS教学模式概述
BOPPPS教学模式是由加拿大ISW（Instructional Skill Workshop）创办的，旨在培训教师的教学技能.在培训过程中主要以学员（教师）为中心，对课堂教学进行模块化分解并进行互评.学员课程展示时间一般以10分钟为宜.BOPPS教学模式将课堂教学分为以下6个阶段：导言（Bridge-in）、学习目标（Objective）、先测（Pre-assessment）、参与式学习（Participatory Learning）、后测（Post-assessment）以及总结（Summary）.学员在备课过程中，将课程按照这6个阶段进行准备，并在备课过程中注重对学生认知、情感和技能等方面的培养.
三、基于BOPPPS教学模式下的线性代数微课教学设计理念
基于BOPPPS教学模式对线性代进行微课教学设计，教师需要将课程分割成6个阶段，在每个阶段均需要注重对学生认知、情感和技能的培养.以学生为中心，启发式教学，帮助学生理解记忆相关知识点，开阔眼界，培养学生兴趣和情感、提高学生技能.教师在整个备课过程中，需要以学生为主体.教师在授课过程中，不仅要提高学生学习的主动性，鼓励学生参与到学习过程中，而且需要及时捕获学生的反馈.教师在课后需要根据学生的反馈对后续课程进行相应的修改.
四、基于BOPPPS教学模式的“逆矩阵”教学设计
基于线性代数中“逆矩阵”课程的特点与知识体系，将BOPPPS教学模式运用到“逆矩阵”教学设计中.在教学设计中，教师以课程为载体，以学生为主体，激发学生学习兴趣，注重对学生认知、情感和技能的培养.按照BOPPPS教学模式的6个阶段，具体设计如下.
（一）导言（Bridge-in）——通过回忆、类比、设问，对课程进行导入
回忆矩阵的加法、数乘、相乘、转置、方阵的行列式以及伴随矩阵等运算.教师引导学生将矩阵的运算与实数的运算进行比较，学生可发现矩阵的运算不具有与实数除法相类似的运算.因此，教师设问矩阵的运算中是否也具有相类似的运算.
教师启发学生实数的除法与乘法互为逆运算a÷b=a×1b（b≠0）.因此，可借助倒数将除法转化为乘法.一个非零数a与其倒数1a满足a×1a=1，因此，考虑矩阵中是否也具有类似性质的矩阵，即任何数与1相乘都等于这个数本身.学生进行思考，可回忆起单位矩阵E具有这样的性质，即对方阵A而言，有AE=EA=E.鼓励学生利用单位矩阵对逆矩阵进行类比定义.在此过程中提高学生学习的主观能动性.
（二）学习目标（Objective）——PPT展示
根据线性代数课程体系，以及逆矩阵对后续学科（例如，现代密码学）的重要性，明确本节课的教学目标：（1）理解可逆矩阵的概念;（2）掌握利用行列式判定矩阵可逆的充要条件以及利用伴随矩阵求逆矩阵的方法.教学重点为如何判定可逆矩阵及利用伴随矩阵求逆矩阵.教学难点为对可逆矩阵概念的理解.德育点为培育学生求真务实的科学精神和精益求精的工匠精神.
（三）先测（Pre-assessment）——提问、PPT與板书相结合
以提问的方式回忆方阵的行列式运算以及伴随矩阵的运算和性质，即提问：（1）计算3阶行列式的方法;（2）计算伴随矩阵的过程;（3）伴随矩阵的性质AA*=A*A=|A|E.帮助学生理解后续逆矩阵的定理以及逆矩阵的计算.
（四）参与式学习（Participatory Learning）——特色设计
本阶段采用多种教学方法相结合的方式进行课程特色设计，包括讲授法、讨论法、直观演示法、练习法、自主学习法、任务驱动法等.具体分为以下6个教学点.
1.逆矩阵的定义：对矩阵A，如果存在矩阵B，使得AB=BA=E，则称A为可逆矩阵，并称B为A的逆矩阵.
引导学生通过观察等式AB=BA=E自主发现：（1）矩阵与其逆矩阵满足乘法交换律，但是一般矩阵的相乘不满足交换律.（2）逆矩阵A的形状，即A的列数和行数.从而发现如果一个矩阵可逆，那么这个矩阵是方阵.教师再进行反问，是否方阵都是可逆矩阵.举出反例，最后得到结论，矩阵可逆的必要条件是矩阵为方阵.
2.教师分享逆矩阵与数学家凯莱的生平，培育学生求真务实的科学精神和精益求精的工匠精神. 通过类比一个实数a存在倒数的充分必要条件是a≠0，帮助学生对上述定理进行记忆，并利用先测阶段伴随矩阵的性质引导学生对该定理进行证明.
4.例题：设A=2231-10-121，判断A是否可逆，若可逆，求其逆矩阵.教师利用定理对该例题进行讲解，并给出规范书写过程，在此过程中充分发挥学生的主观能动性.
5.本节内容的前沿问题与发展动态，简单介绍广义逆（群逆、D逆）[5]的概念.
6.应用实例，简介逆矩阵在希尔密码（Hill Cipher）破解中的重要应用.
（五）后测（Post-assessment）——课堂练习
给出习题：判断A=221315323是否可逆，若可逆，求其逆矩阵.
（六）总结（Summary）——整合要点，布置作业
通过动画流程对本节知识点进行归纳，并进行动态演示，帮助学生加深记忆.
五、总 结
本文以“逆矩阵”为例，研究了基于BOPPPS教学模式下的线性代数微课教学设计.首先对BOPPPS教学模式和基于BOPPPS教学模式下的线性代数微课教学设计理念进行概述.然后对基于BOPPPS教学模式的“逆矩阵”教学设计进行了详细说明.教师首先运用多媒体课件辅助课堂教学，通过创设情境，由实数的除法运算，引出逆矩阵的概念，并通过数“1”，鼓励学生利用单位矩阵来定义逆矩阵.然后通过一个数存在倒数的充要条件是该数不为零，来帮助学生记忆逆矩阵的定理.最后在課程的设计中引导学生关注前沿、注重应用，使得学生对逆矩阵的理解不再悬于空中，更加贴近实际.通过本文可以发现基于BOPPPS模式的教学设计不仅可以有效地提高教学质量，而且能够激发学生的学习兴趣，提高学习效率.但是基于PPPS模式的教学不能过于模式化，需要在教学中不断改进和突破.
【参考文献】
[1]曹重光，张龙.线性代数与空间解析几何[M].北京：北京大学出版社∥哈尔滨：黑龙江大学出版社，2015.
[2]储亚伟，叶薇薇，王海坤.基于BOPPPS模型下的高等数学微课教学设计——以“一阶非齐次线性微分方程的解法”为例[J].山东农业工程学院学报，2016（9）：153-156.
[3]张琛，李红霞.基于BOPPPS模式下的高等数学微课教学设计——以“数列极限”为例[J].西部素质教育，2017（2）：163-164.
[4]林旭旭.基于BOPPPS模式下的高等数学微课教学设计——以“曲线的凹凸性”为例[J].现代商贸工业，2018（36）：180-181.
[5]杜蘅，闵慧.基于BOPPPS教学模式下的高等数学微课教学设计——以“多元复合函数的求导法则”为例[J].数学学习与研究，2018（3）：26-27.
[6]李菊雁，曹重光.主理想整环上矩阵的群逆[J].高师理科学刊，2009（5）：1-3.