降“奥”十八掌之女娲补天

• 作 者: 电磁波
• 出 处: 数学大王·中高年级
• 发表日期: 2017年10期

　　大家好！这里是奥数直播间！感谢大家的准时收看！降“奥”招式是一招比一招厉害，一招比一招实用！想知道这期我们要学习哪一招？自己往下看喽！
　　招式剖析
　　名称：女娲补天
　　用途：针对一些看似用已知条件无法求解，但可通过补的方法求解的几何题。
　　威力指数：★★★★★
　　速记口诀：东补西补拓思路，细算角度来拼组！
　　例1 求右边这个四边形的面积。
　　知己知彼
　　要求——四边形的面积。
　　已知——2条边的长度和4个内角的大小。
　　我知道——常规图形（三角形、正方形等）的面积计算公式。
　　猜想——∠ABC=90°，∠BCD=45°，那么把线段BA和线段CD延长相交后，原图形不就被补成一个直角等腰三角形了吗？
　　一招制敌
　　抓住特殊角度把图形补一补，解题思路会更清楚！
　　补好图形后，四边形面积=大等腰直角三角形面积-小等腰直角三角形面积。
　　因为EA AB=BC，所以EA=BC-AB=8-6=2（厘米）。
　　S△EBC =8×8÷2=32（平方厘米）
　　为了方便求解△EAD的面积，我们给斜边EA畫高，交EA于点F。
　　因为△EAD是等腰直角三角形，所以EF=FA=DF。
　　于是有：S△EAD=×EA×DF=×2×1=1（平方厘米）
　　四边形ABCD面积=S△EBC-S△EAD=32-1=31（平方厘米）
　　温馨小提示：补图方法可不止一种，我们也可以通过延长线段AD和BC构造等腰直角三角形哟！
　　例2 如图所示，一个六边形的6个内角都是120°，其中相邻四边的长依次是1厘米、9厘米、9厘米和5厘米。求这个六边形的周长。
　　知己知彼
　　要求——六边形的周长。
　　已知——4条边的长度和所有内角角度。
　　我知道——周长是封闭图形一周的长度，六边形的周长就是六条边长度之和。
　　猜想——六边形6个内角都是120°，那么外角就都是60°，而60°是等边三角形的内角度数。能不能把原图补成一个已学过的图形？
　　一招制敌
　　把图形补成便于进行等边变换的图形，未知边长就能通过已知边长求解了。
　　双向延长线段AB、CD和EF，两两相交于点G、H、I。
　　因为六边形ABCDEF的每个内角都是120°，所以∠G=∠H=∠I=60°，∠GCB=∠GBC=60°。那么△GHI和△GBC是等边三角形。
　　同理，△HAF和△DEI也是等边三角形。
　　所以BG=GC=BC=9（厘米），DE=DI=EI=5（厘米），于是有：
　　GH=HI=GI=GC CD DI=9 9 5=23（厘米）
　　AH=GH-BG-AB=23-9-1=13（厘米）
　　AF=AH=FH=13（厘米）
　　EF=HI-EI-FH=23-5-13=5（厘米）
　　六边形ABCDEF的周长=AB AF EF DE CD BC=1 13 5 5 9 9=42（厘米）
　　温馨小提示：除了补成等边三角形外，我们还能把它补成平行四边形呢！只要便于我们求解未知量，补成其他图形也是可以的哟！
　　小试身手
　　求阴影部分面积。（提示：从已知长度的边考虑，试着把图形补一补） （答案见下期）