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构建开放而有活力的数学课堂，既是数学教学改革的需要，也是数学教学历史的必然回归。实施开放式教学，教师不但要更新观念，而且要把数学置身于社会生活的大背景之中，以课堂教学为主渠道，立足课内，着眼课外，面向未来。只有这样，才能让数学课堂“活”起来。笔者在教学植树问题时，组织开放性的探究活动，在探索植树问题规律的同时，启发学生探索出了等差数列的相关知识，获得了预想不到的效果。
一、植树问题教学的原型回放
小学数学(人教版义务教育课程标准实验教科书)四年级下册第117--123页的《数学广角》，通过形象的图片和线段图示，用3个例题介绍了植树问题。 植树问题的基本知识：植树的株距、段数、棵数、总距。 植树问题的形式：两端都植树、一端植树(含封闭图形)、两端都不植树。 植树问题的基本规律： 当两端都植树时，棵树-1=段数。
二、开放各种感官。实现思维解放
学生是数学学习的主体，课堂是发展学生能力的主阵地，数学教学应注重培养学生自主学习的兴趣和习惯，创设良好的自主学习情境。同时，要鼓励学生相信自己，积极参与到数学学习实践中，主动思维，放飞心灵，敞开心扉说自己想说的话。具体地说：数学课上，我们可以让学生以自己喜欢的方式学课文；可以留给学生充足的时间，拿起笔来画出领会最深的地方，并在旁边写出自己的感受；可以让学生提出自己的疑问，主动参与小组交流……在执教《数学广角》植树问题的单元整理复习时，我把上面几个图示中代表数的点分别标出编号，方便学生感知它们的规律。当我整理系统化后，一个学生立即反应道：“老师，植树问题其实就是高斯故事啊，解法与本册32页的思考题‘求1+2+……+99+100的和’一样，是等距离排列。”此时，我并没有直接表态，而是把全班学生分成几个小组进行讨论。大家经过探索后得出结论：等差数列的项实际上就是在线段上植的树，公差就是植树的株距，项数就是植树的棵数，公差数就是植树的段数，末项数就是植树的总距。在此，学生把实际生活中的植树问题迁移到了抽象的等差数列的解读上。我进而引导学生思考：你们觉得这些知识有何价值?学生反应不一，几个学生说出了两种类型的巧用价值：
生1：排一列数就可以推算出它的第某个数的值：如18 24 30 36……求第100个数是多少?因为第100个数与第一个数相差100-1个数段，而每段的公差是6，第100个数就是18+(100-1)×6。
生2：给出一列数，就可以求出这列数的个数，如4 9 14……314 319共有多少个数?因为最后那个数比第一个数多的值正好是段数与公差的积，(319-4)÷5就是这列数的段数，两端都植树时项数比段数多1，所以这列数有(319-4)÷5+1个数。
是啊，这不正是等差数列中求第几项和项数的方法吗?在整个过程中，我不但尊重了学生个性的认识，而且给学生提供了开放的平台，为学生自主探究创造了条件，促成了学生对知识的自主建构，使学生的学习成为一种自我再生成的、创造式的数学活动，这样不仅保护了学生的好奇心，而且增强了学生学好数学的信心，让学生亲历了探索的快乐与成功的喜悦。可见，在自主、开放的学习氛围中，学生与文本充分互动所产生的感受，有的是教师课前无法预见到的，这样的生成比课前教师预设的要充实、丰满得多，数学课也因此“动”起来、“活”起来而呈现出精彩的一面。
三、开放教学方法。实现能力转化
数学是思维的体操，是活动探究的过程，也是不断应用知识解决问题的思维发展的有效途径。在学生身心与认知兴奋时，我及时让学生找出本册教材与今天学习有关的问题进行分析应用。 生3：课本第123页第7题“一张桌子坐6人，两张桌子并起来坐lO人，三张桌子并起来坐14人……照这样，10张桌子并成一排可以坐多少人?如果一共有38人，需要并多少张桌子才能坐下?”就是与今天学习有关的内容。请看：
除用新学的排列法、图示法外，可根据数列知识直接用6+(10-1)×4求出第一个问题。第二个问题可用(38--6)÷4+1=9张桌子。
生4：课本第103页“小数的加法和减法”的思考题：一个物体从高空下落，经过4秒落地，已知第一秒下落的距离是4.9米，以后每一秒下落的距离都比前一秒多9.8米。这个物体在下落时距离地面多少米?用今天所学的方法先求第4秒下落距离：4.9+(4-1)×9.8=34.3(米)，再求物体下落前，距离地面的米数：(49+34.3)×4÷2=78.4(米)。
对于同一个问题，引导学生从不同角度发现实际问题所包含的丰富的数学信息，探索多种解决问题的方法，全面把握事物中隐含的规律或变化趋势，这样有利于学生全面理解数学信息，综合分析问题，培养学生灵活运用知识解决问题，提高学生创造性思维能力。
四、开放学习空间，实现能力提高
通过上面的练习应用后，我因势利导，引导学生探索上面规律的特殊情况，在完善学生认知结构的同时，丰富并深化对所学规律的理解与认识，共同探索出了求项数的两种特殊算法：
生5：1 3 5 7……59(或109、2009等)得出的项数是：从1开始的连续奇数列，其项数可变(59-1)÷2+1为(59+1)÷2。
生6：2 4 6 8……48(或80、2010等)得出的项数是：从2开始的连续偶数列，其项数可变(80-2)÷2+1为80÷2。
在活动中，我先出示个数少的，依次拓展变大，让学生不断对比感受，理清其中的来龙去脉。在进行拓展教学时，我给学生出了这样一道拓展题：l+3+5+7+9+11+……+(△)=10000，在引导学生把要填的数用图形代替后，部分学生很快推算出结果：(1+△)×(1+△)÷2÷2=10000，就是(1+△)×(1+△)=40000，△：199。
当然，在实际生活中，与植树问题有联系的知识还有很多，如楼梯、锯木、街道安装的路灯、建筑堆放的木头、路边堆放的水泥管、学校楼前摆放的方阵花坛等，只要我们在教学中放下课堂权威者的形象。尊重学生的个性认知，创设富于启发思考的情景，开放教学过程，提供探究活动平台，学生就会大胆地探索，发现更多更新的联系和知识。
(责编 林 剑)
一、植树问题教学的原型回放
小学数学(人教版义务教育课程标准实验教科书)四年级下册第117--123页的《数学广角》，通过形象的图片和线段图示，用3个例题介绍了植树问题。 植树问题的基本知识：植树的株距、段数、棵数、总距。 植树问题的形式：两端都植树、一端植树(含封闭图形)、两端都不植树。 植树问题的基本规律： 当两端都植树时，棵树-1=段数。
二、开放各种感官。实现思维解放
学生是数学学习的主体，课堂是发展学生能力的主阵地，数学教学应注重培养学生自主学习的兴趣和习惯，创设良好的自主学习情境。同时，要鼓励学生相信自己，积极参与到数学学习实践中，主动思维，放飞心灵，敞开心扉说自己想说的话。具体地说：数学课上，我们可以让学生以自己喜欢的方式学课文；可以留给学生充足的时间，拿起笔来画出领会最深的地方，并在旁边写出自己的感受；可以让学生提出自己的疑问，主动参与小组交流……在执教《数学广角》植树问题的单元整理复习时，我把上面几个图示中代表数的点分别标出编号，方便学生感知它们的规律。当我整理系统化后，一个学生立即反应道：“老师，植树问题其实就是高斯故事啊，解法与本册32页的思考题‘求1+2+……+99+100的和’一样，是等距离排列。”此时，我并没有直接表态，而是把全班学生分成几个小组进行讨论。大家经过探索后得出结论：等差数列的项实际上就是在线段上植的树，公差就是植树的株距，项数就是植树的棵数，公差数就是植树的段数，末项数就是植树的总距。在此，学生把实际生活中的植树问题迁移到了抽象的等差数列的解读上。我进而引导学生思考：你们觉得这些知识有何价值?学生反应不一，几个学生说出了两种类型的巧用价值：
生1：排一列数就可以推算出它的第某个数的值：如18 24 30 36……求第100个数是多少?因为第100个数与第一个数相差100-1个数段，而每段的公差是6，第100个数就是18+(100-1)×6。
生2：给出一列数，就可以求出这列数的个数，如4 9 14……314 319共有多少个数?因为最后那个数比第一个数多的值正好是段数与公差的积，(319-4)÷5就是这列数的段数，两端都植树时项数比段数多1，所以这列数有(319-4)÷5+1个数。
是啊，这不正是等差数列中求第几项和项数的方法吗?在整个过程中，我不但尊重了学生个性的认识，而且给学生提供了开放的平台，为学生自主探究创造了条件，促成了学生对知识的自主建构，使学生的学习成为一种自我再生成的、创造式的数学活动，这样不仅保护了学生的好奇心，而且增强了学生学好数学的信心，让学生亲历了探索的快乐与成功的喜悦。可见，在自主、开放的学习氛围中，学生与文本充分互动所产生的感受，有的是教师课前无法预见到的，这样的生成比课前教师预设的要充实、丰满得多，数学课也因此“动”起来、“活”起来而呈现出精彩的一面。
三、开放教学方法。实现能力转化
数学是思维的体操，是活动探究的过程，也是不断应用知识解决问题的思维发展的有效途径。在学生身心与认知兴奋时，我及时让学生找出本册教材与今天学习有关的问题进行分析应用。 生3：课本第123页第7题“一张桌子坐6人，两张桌子并起来坐lO人，三张桌子并起来坐14人……照这样，10张桌子并成一排可以坐多少人?如果一共有38人，需要并多少张桌子才能坐下?”就是与今天学习有关的内容。请看：
除用新学的排列法、图示法外，可根据数列知识直接用6+(10-1)×4求出第一个问题。第二个问题可用(38--6)÷4+1=9张桌子。
生4：课本第103页“小数的加法和减法”的思考题：一个物体从高空下落，经过4秒落地，已知第一秒下落的距离是4.9米，以后每一秒下落的距离都比前一秒多9.8米。这个物体在下落时距离地面多少米?用今天所学的方法先求第4秒下落距离：4.9+(4-1)×9.8=34.3(米)，再求物体下落前，距离地面的米数：(49+34.3)×4÷2=78.4(米)。
对于同一个问题，引导学生从不同角度发现实际问题所包含的丰富的数学信息，探索多种解决问题的方法，全面把握事物中隐含的规律或变化趋势，这样有利于学生全面理解数学信息，综合分析问题，培养学生灵活运用知识解决问题，提高学生创造性思维能力。
四、开放学习空间，实现能力提高
通过上面的练习应用后，我因势利导，引导学生探索上面规律的特殊情况，在完善学生认知结构的同时，丰富并深化对所学规律的理解与认识，共同探索出了求项数的两种特殊算法：
生5：1 3 5 7……59(或109、2009等)得出的项数是：从1开始的连续奇数列，其项数可变(59-1)÷2+1为(59+1)÷2。
生6：2 4 6 8……48(或80、2010等)得出的项数是：从2开始的连续偶数列，其项数可变(80-2)÷2+1为80÷2。
在活动中，我先出示个数少的，依次拓展变大，让学生不断对比感受，理清其中的来龙去脉。在进行拓展教学时，我给学生出了这样一道拓展题：l+3+5+7+9+11+……+(△)=10000，在引导学生把要填的数用图形代替后，部分学生很快推算出结果：(1+△)×(1+△)÷2÷2=10000，就是(1+△)×(1+△)=40000，△：199。
当然，在实际生活中，与植树问题有联系的知识还有很多，如楼梯、锯木、街道安装的路灯、建筑堆放的木头、路边堆放的水泥管、学校楼前摆放的方阵花坛等，只要我们在教学中放下课堂权威者的形象。尊重学生的个性认知，创设富于启发思考的情景，开放教学过程，提供探究活动平台，学生就会大胆地探索，发现更多更新的联系和知识。
(责编 林 剑)