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纵观近几年江苏高考数学试卷，明显加大了对应用题的考查力度，从2008年新高考以来，每年除了在填空有考查外，必有一道解答题，其中2008年、2010年、2011年、2012年、2015年都是放在试卷的第17题，2013年、2014年放在试卷的第18题，2009年放在试卷的第19题，考查的知识点都是B级考点的综合应用，试题的难度属于中档题.
江苏高考数学试题中，对数学应用于解决实际问题的考查已经趋于成熟，它主要考查函数、方程、三角、解三角形、导数、数列、基本不等式、解析几何等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力、空间想象能力、数学阅读能力和解决实际问题的能力.2008年考查了函数的应用，解三角形；2009年考查了函数的应用和不等式；2010、2013年考查了解三角形的知识、三角函数及不等式的应用；2012年考查了函数与方程；2014年考查了直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识；2011、2015年考查函数的概念，导数等基础知识.
高考数学应用题常见模型有：（1）函数应用模型：涉及最值问题；（2）三角应用模型：涉及测量问题；（3）不等式（组）应用模型：涉及优化问题；（4）方程（组）及坐标系应用模型：涉及等量问题；（5）数列应用模型：涉及年代及预测问题；（6）立体几何模型：涉及空间图形问题；（7）概率、统计模型：涉及数据计算、预估等问题.
题型一通过建立函数模型来解应用题
例1（2011江苏17）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
解：（1）S=602-4x2-（60-2x）2=240x-8x2（0 （2）V=（2x）222（60-2x）=22x2（30-x）（0 当0 此时，包装盒的高与底面边长的比值为22（60-2x）2x=12.
评注：本小题主要考查函数的概念、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间想象能力、数学阅读能力以及解决实际问题的能力.
例2（2015江苏17）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=ax2 b（其中a，b为常数）模型.
（1）求a，b的值；
（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.
解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），
将其分别代入y=ax2 b，得a25 b=40a400 b=2.5，解得a=1000b=0.
（2）①由（1）y=1000x2（5≤x≤20），P（t，1000t2），
∴y′=-2000x3，∴kl=-2000t3，
∴切线l的方程为y-1000t2=-2000t3（x-t），
设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（3t2，0），B（0，3000t2），
∴f（t）=（3t2）2 （3000t2）2=32t2 4×106t4，t∈[5，20]；
②设g（t）=t2 4×106t4，则g′（t）=2t-16×106t5=0，解得t=102，
t∈（5，102）时，g′（t）<0，g（t）是减函数；
t∈（102，20）时，g′（t）>0，g（t）是增函数，
从而t=102时，函数g（t）有极小值也是最小值，
∴g（t）min=300，
∴f（t）min=153.
答：t=102时，公路l的长度最短，最短长度为153千米.
评注：本题考查利用数学知识，建立函数模型解决实际问题，考查了函数与方程、导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键.
题型二通过建立不等式模型来解应用题
例3（2009江苏19）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为mm a；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为nn a.如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为h1h2.
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙.
（1）求h甲和h乙关于mA、mB的表达式；当mA=35mB时，求证：h甲=h乙. （2）设mA=35mB，当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
（3）记（2）中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA、mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.
解：（1）h甲=mAmA 12·mBmB 5，
h乙=mAmA 3·mBmB 20，（mA∈[3，12]，mB∈[5，20]），
当mA=35mB时，h甲=35mB35mB 12·mBmB 5=m2B（mB 20）（mB 5），
h乙=35mB35mB 3·mBmB 20
=m2B（mB 5）（mB 20），h甲=h乙.
（2）当mA=35mB时，
h甲=m2B（mB 20）（mB 5）
=1（1 20mB）（1 5mB）=1100（1mB）2 251mB 1，
由mB∈[5，20]得1mB∈[120，15]，故当1mB=120即mB=20，mA=12时，
甲乙两人同时取到最大的综合满意度为105.
（3）由（2）知：h0=105，
由h甲=mAmA 12·mBmB 5≥h0=105得：mA 12mA·mB 5mB≤52，
令3mA=x，5mB=y，则x、y∈[14，1]，
即（1 4x）（1 y）≤52.
同理，由h乙≥h0=105得：（1 x）（1 4y）≤52.
另一方面，x、y∈[14，1]，1 4x、1 4y∈[2，5]，1 x、1 y∈[54，2]，
（1 4x）（1 y）≥52，（1 x）（1 4y）≥52，当且仅当x=y=14，即mA=mB时，取等号.
所以不能适当选取mA、mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立.
评注：本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力.
题型三通过建立三角模型来解应用题
例4（2013年江苏18）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至C处有两种路径.一种是从沿A直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.
现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=1213，cosC=35.
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
解：（1）∵cosA=1213，cosC=35，
∵0 ∴sinA=513，sinC=45，
∵A B C=π，∴sinB=sin（A C）=sinAcosC cosAsinC=513·35 1213·45=6365，
∴ACsinB=ABsinC=BCsinA，
∴AB=sinCsinB·AC=45·6563·1260=1040m.
（2）BC=sinAsinB·AC=500，
设乙出发t（t≤8）分钟后，甲到了D处，乙到了E处，则有AD=50t 100，AE=130t，
根据余弦定理DE2=AE2 AD2-2AE·AD·cosA，
即DE2=7400t2-14000t 10000，
∴当t=140002·7400=3537时，DE2有最小值，即
DE=2507437.
（3）设甲所用时间为t甲，乙所用时间为t乙，乙步行速度为V乙，
由题意t甲=126050=1265min，
t乙=2 1040130 1 500V乙=11 500V乙min，
∴-3≤1265-（11 500V乙）≤3，
解不等式得125043≤V乙≤62514.
评注：本小题主要考查正弦定理、二次函数的最值以及三角函数的基本关系、两角和的正弦等基础知识，考查数学阅读能力和分析解决实际问题的能力.
题型四通过建立方程来解决应用问题
例5（2012江苏17）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-120（1 k2）x2（k>0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.
解：（1）∵炮位于坐标原点，炮弹发射后的轨迹方程为y=kx-120（1 k2）x2（k>0），炮的射程是指炮弹落地点的横坐标，
∴令y=0，则炮的射程可表示为x=k120（1 k2），
∴炮的最大射程即x的最大值，
由题意得x>0，k>0，
∴x=k120（1 k2）=201k k≤202=10km，当且仅当k=2时，等号成立，
∴炮的最大射程是10km.
（2）∵飞行物在第一象限内，其飞行高度为3.2千米，横坐标为a，
∴飞行物的坐标为（a，3.2），
∴炮弹可以击中它，即飞行物的坐标满足炮弹的轨迹方程，
∴将飞行物坐标带入炮弹的轨迹方程得：3.2=ka-120（1 k2）a2（k>0），
∴关于k的方程在k>0上有解，
∴a2k2-20ak a2 64=0有正根，
∵a>0，∴只需Δ=（-20a）2-4a2（a2 64）≥0，
∴a≤6即a只需要不超过6km即可.
评注：本题主要考查函数、方程和基本不等式等基础知识，考查数学阅读能力和解决实际问题的能力.本题对变量与常量的辨别与理解至关重要，在审题中要关注好每个量的由来与界定，切实做到合理选择，辨别清楚.
高考数学应用题，往往创意新颖，背景熟悉，贴近学生的生活实际，有助于培养学生的实践能力和创新意识，是高考中热点题型之一.数学应用题就是利用数学知识解决一些非数学领域中的问题.由于数学的高度抽象性，这就决定了数学应用的广泛性，而应用题的非数学背景的多样性，也就导致了解应用题往往是要在陌生的背景中去理解、分析所给出的有关问题，舍去与数学无关的非本质因素，把抽象转化为相应的数学问题.
（作者：朱振华，江苏省海门中学）
江苏高考数学试题中，对数学应用于解决实际问题的考查已经趋于成熟，它主要考查函数、方程、三角、解三角形、导数、数列、基本不等式、解析几何等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力、空间想象能力、数学阅读能力和解决实际问题的能力.2008年考查了函数的应用，解三角形；2009年考查了函数的应用和不等式；2010、2013年考查了解三角形的知识、三角函数及不等式的应用；2012年考查了函数与方程；2014年考查了直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识；2011、2015年考查函数的概念，导数等基础知识.
高考数学应用题常见模型有：（1）函数应用模型：涉及最值问题；（2）三角应用模型：涉及测量问题；（3）不等式（组）应用模型：涉及优化问题；（4）方程（组）及坐标系应用模型：涉及等量问题；（5）数列应用模型：涉及年代及预测问题；（6）立体几何模型：涉及空间图形问题；（7）概率、统计模型：涉及数据计算、预估等问题.
题型一通过建立函数模型来解应用题
例1（2011江苏17）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
解：（1）S=602-4x2-（60-2x）2=240x-8x2（0
评注：本小题主要考查函数的概念、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间想象能力、数学阅读能力以及解决实际问题的能力.
例2（2015江苏17）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=ax2 b（其中a，b为常数）模型.
（1）求a，b的值；
（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.
解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），
将其分别代入y=ax2 b，得a25 b=40a400 b=2.5，解得a=1000b=0.
（2）①由（1）y=1000x2（5≤x≤20），P（t，1000t2），
∴y′=-2000x3，∴kl=-2000t3，
∴切线l的方程为y-1000t2=-2000t3（x-t），
设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（3t2，0），B（0，3000t2），
∴f（t）=（3t2）2 （3000t2）2=32t2 4×106t4，t∈[5，20]；
②设g（t）=t2 4×106t4，则g′（t）=2t-16×106t5=0，解得t=102，
t∈（5，102）时，g′（t）<0，g（t）是减函数；
t∈（102，20）时，g′（t）>0，g（t）是增函数，
从而t=102时，函数g（t）有极小值也是最小值，
∴g（t）min=300，
∴f（t）min=153.
答：t=102时，公路l的长度最短，最短长度为153千米.
评注：本题考查利用数学知识，建立函数模型解决实际问题，考查了函数与方程、导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键.
题型二通过建立不等式模型来解应用题
例3（2009江苏19）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为mm a；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为nn a.如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为h1h2.
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙.
（1）求h甲和h乙关于mA、mB的表达式；当mA=35mB时，求证：h甲=h乙. （2）设mA=35mB，当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
（3）记（2）中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA、mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.
解：（1）h甲=mAmA 12·mBmB 5，
h乙=mAmA 3·mBmB 20，（mA∈[3，12]，mB∈[5，20]），
当mA=35mB时，h甲=35mB35mB 12·mBmB 5=m2B（mB 20）（mB 5），
h乙=35mB35mB 3·mBmB 20
=m2B（mB 5）（mB 20），h甲=h乙.
（2）当mA=35mB时，
h甲=m2B（mB 20）（mB 5）
=1（1 20mB）（1 5mB）=1100（1mB）2 251mB 1，
由mB∈[5，20]得1mB∈[120，15]，故当1mB=120即mB=20，mA=12时，
甲乙两人同时取到最大的综合满意度为105.
（3）由（2）知：h0=105，
由h甲=mAmA 12·mBmB 5≥h0=105得：mA 12mA·mB 5mB≤52，
令3mA=x，5mB=y，则x、y∈[14，1]，
即（1 4x）（1 y）≤52.
同理，由h乙≥h0=105得：（1 x）（1 4y）≤52.
另一方面，x、y∈[14，1]，1 4x、1 4y∈[2，5]，1 x、1 y∈[54，2]，
（1 4x）（1 y）≥52，（1 x）（1 4y）≥52，当且仅当x=y=14，即mA=mB时，取等号.
所以不能适当选取mA、mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立.
评注：本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力.
题型三通过建立三角模型来解应用题
例4（2013年江苏18）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至C处有两种路径.一种是从沿A直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.
现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=1213，cosC=35.
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
解：（1）∵cosA=1213，cosC=35，
∵0
∵A B C=π，∴sinB=sin（A C）=sinAcosC cosAsinC=513·35 1213·45=6365，
∴ACsinB=ABsinC=BCsinA，
∴AB=sinCsinB·AC=45·6563·1260=1040m.
（2）BC=sinAsinB·AC=500，
设乙出发t（t≤8）分钟后，甲到了D处，乙到了E处，则有AD=50t 100，AE=130t，
根据余弦定理DE2=AE2 AD2-2AE·AD·cosA，
即DE2=7400t2-14000t 10000，
∴当t=140002·7400=3537时，DE2有最小值，即
DE=2507437.
（3）设甲所用时间为t甲，乙所用时间为t乙，乙步行速度为V乙，
由题意t甲=126050=1265min，
t乙=2 1040130 1 500V乙=11 500V乙min，
∴-3≤1265-（11 500V乙）≤3，
解不等式得125043≤V乙≤62514.
评注：本小题主要考查正弦定理、二次函数的最值以及三角函数的基本关系、两角和的正弦等基础知识，考查数学阅读能力和分析解决实际问题的能力.
题型四通过建立方程来解决应用问题
例5（2012江苏17）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-120（1 k2）x2（k>0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.
解：（1）∵炮位于坐标原点，炮弹发射后的轨迹方程为y=kx-120（1 k2）x2（k>0），炮的射程是指炮弹落地点的横坐标，
∴令y=0，则炮的射程可表示为x=k120（1 k2），
∴炮的最大射程即x的最大值，
由题意得x>0，k>0，
∴x=k120（1 k2）=201k k≤202=10km，当且仅当k=2时，等号成立，
∴炮的最大射程是10km.
（2）∵飞行物在第一象限内，其飞行高度为3.2千米，横坐标为a，
∴飞行物的坐标为（a，3.2），
∴炮弹可以击中它，即飞行物的坐标满足炮弹的轨迹方程，
∴将飞行物坐标带入炮弹的轨迹方程得：3.2=ka-120（1 k2）a2（k>0），
∴关于k的方程在k>0上有解，
∴a2k2-20ak a2 64=0有正根，
∵a>0，∴只需Δ=（-20a）2-4a2（a2 64）≥0，
∴a≤6即a只需要不超过6km即可.
评注：本题主要考查函数、方程和基本不等式等基础知识，考查数学阅读能力和解决实际问题的能力.本题对变量与常量的辨别与理解至关重要，在审题中要关注好每个量的由来与界定，切实做到合理选择，辨别清楚.
高考数学应用题，往往创意新颖，背景熟悉，贴近学生的生活实际，有助于培养学生的实践能力和创新意识，是高考中热点题型之一.数学应用题就是利用数学知识解决一些非数学领域中的问题.由于数学的高度抽象性，这就决定了数学应用的广泛性，而应用题的非数学背景的多样性，也就导致了解应用题往往是要在陌生的背景中去理解、分析所给出的有关问题，舍去与数学无关的非本质因素，把抽象转化为相应的数学问题.
（作者：朱振华，江苏省海门中学）