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摘 要：误差分析与不确定度的表达是沟通物理学科“理想”与“现实”的途径.中学物理教学应当给予误差概念必要的重视.学生正确理解误差概念，才能有效沟通物理的理想与现实，进而有利于正确认识物理学本身的特点，有助于形成良好的物理学科素养.
关键词：实验；误差；不确定度
误差来源于测量，测量的理想结果是真实值，测量值与真实值之间总会有差异，这是物理实验中现实与理想的矛盾.误差的概念就是为了描述这种理想与现实的差异而引入的.对于以测量某个物理量的值为目的的测量型实验，理想与现实的矛盾表现为理想测量与现实测量的差异，可以用测量操作者引起的偶然误差和测量工具引起的系统误差来描述.对于以验证某个物理规律为目的的验证型实验，理想与现实的矛盾表现为理想化条件下的物理模型与受非理想因素制约的实际研究对象的差异，这种差异是用系统误差来描述的.与测量工具引起的系统误差不同的是，这种系统误差描述的是理论模型与实际研究对象的差异，其分析过程实际上也是理论模型的修正过程.
中学物理关于误差概念的教学存在如下两个问题：第一，在误差分析时，往往不能明确界定“理想”与“现实”所指；第二，随意使用“误差允许的范围”这一提法.这两个问题会给学生带来困惑甚至误解.为此，本文结合人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书物理教材中的三个实验，探讨有关误差概念教学的问题，并给出相关的教学建议.
一、落体的理想与现实——验证机械能守恒定律
对于必修2第七章《机械能守恒定律》中“验证机械能守恒定律”实验，教材给出的实验方法是通过研究物体自由下落过程，比较下落的重物在某两点间的动能变化和势能变化，从而验证机械能是否守恒.有学生提出如下疑问：“由于实际研究对象并非自由落体，重物在某两点间的动能变化和势能变化不可能相等.实际上，测量的误差越小，某两点间的动能变化和势能变化的差别越明显.换句话说，实验精确度的提高会导致机械能不守恒的事实更明显，而实验目的是验证机械能守恒，这是不是一个逻辑上的矛盾呢？”
解决上述疑问的关键是对误差概念的理解.“验证机械能守恒定律”属于验证型实验，应将研究对象“自由落体运动”视为一个物理模型，且是理想模型.相对这个“理想”，现实是“非自由落体运动”，是存在阻力的落体运动.这里理想与现实的差异可看作是系统误差.实验要验证的机械能守恒定律是建立在理想模型基础上的，因此，要尽可能减少这种系统误差.基于此，教材提出问题启发学生思考，如：“重物下落的过程中，除重力外会受到哪些阻力？怎样减少这些阻力对实验的影响？”由于阻力不可避免，所以实验结果总是势能的变化量大于动能的变化量，这种偏差结果的单一倾向反映的恰是系统误差的特点.
应当注意的是，“测量”动能变化与势能变化和“比较”动能变化与势能变化的关系是两个不同的问题，前者是测量，后者是验证.对于前者，测量的偶然误差是理想与现实的主要矛盾，减小这种误差可以使测量值更接近真实值.对于后者，理论模型与实际研究对象的差异是理想与现实的主要矛盾，减小这种系统误差可以使实验结果对物理规律的检验更有效.在系统误差确定的情况下，减小偶然误差必然会导致动能变化量与势能变化量的差别更明显.在厘清系统误差与偶然误差的概念之后，上述疑问也就得以解决，逻辑上也就没有了矛盾.
但是新的困惑随之产生：既然实验结果中动能变化量和势能变化量总是会有差别，怎样判断差别已经小到可以认为机械能守恒了呢？教学中常见到这样的表述：“在实验误差允许的范围内，验证重物在某两点间的动能变化和势能变化是否相等.”学生对“误差允许的范围”这一提法会存在疑问，即怎样界定“误差允许的范围”呢？
二、电路的理想与现实——测定电池的电动势和内阻
选修3-1第二章《恒定电流》中的实验“测定电池的电动势和内阻”，测量原理是闭合电路欧姆定律. 其中一种实验方法是通过描绘电源的伏安曲线求出电动势和内电阻，实验电路如图1所示，实验中需采集的数据为路端电压与干路电流.根据数据描绘图像是处理实验数据的一种重要方法，有效地减小了偶然误差，但是本实验中理想电表与现实电表的差异带来的系统误差仍然存在.
教学中常用图像修正的方法对此实验进行系统误差分析，如图2.非理想电压表的分流作用导致干路电流的测量值偏小，而对路端电压的测量没有影响，因此可将U-I图线1（实线所示）修正为U-I图线2（虚线所示）.需要指出的是，实际教学中有学生将修正前的图线1理解为实验所得图线，其实是错误的.此实验的系统误差属于理论误差，应通过与理想条件下的理论值进行比较而分析，因此待修正的图线1不应该是实验图线，而应该是忽略电表内阻影响的理论上的U-I图线.读图2可知，在仅考虑系统误差的情况下，电源电动势的测量值比真实值偏小，电源内阻的测量值也偏小.
三、变压器的理想与现实——探究变压器线圈两端的电压与匝数的关系
下面以一道高考题为例说明该实验系统误差分析的意义.2011年浙江省高考理科综合测试中有这样一道选择题：如图3所示，在铁芯上、下分别绕有匝数n1=800和n2=200的两个线圈，上线圈两端与u=51sin314tV的交流电源相连，将下线圈两端接交流电压表，则交流电压表的读数可能是（ ）.提供的选项有：A. 2.0V；B.9.0V；C. 12.7V；D. 144.0V.
显然该题给出的模型不是理想变压器，因此原、副线圈的电压之比应大于两个线圈的匝数之比.如果按照理想变压器的模型计算，结果为9.0V，因此实际结果应小于这个值.只有A选项满足要求，即2.0V，答案为A选项.
然而，不少学生在分析到此时，却没有足够的勇气选择A选项，原因是不敢相信实际的结果会和应用理想变压器模型算得的结果差别如此之大.学生没有足够的勇气选择正确答案的原因是什么呢？如果学生亲历了实验探究变压器线圈两端的电压与匝数的关系，了解实验系统误差的来源以及实验结果不确定度的大小，就不会在正确选项面前犹豫了.
以上结合教材中的实验，对有关误差概念的教学问题进行了探讨.误差分析与不确定度的表达是沟通物理学科“理想”与“现实”的途径.美国麻省理工学院的Walter Lewin教授就曾在课堂上反复强调如下观点：如果不考虑测量的不确定度，那么一切测量都是没有意义的.法国物理学家、科学哲学家迪昂曾说，“我们必须了解我们正在研究的实验的近似度”[2].中学物理教学应当给予误差概念必要的重视.学生只有正确理解误差概念，才能有效沟通物理的理想与现实，进而有利于正确认识物理学本身的特点，有助于形成良好的物理学科素养.
参考文献：
[1] 杨述武.普通物理实验1·力学及热学部分[M].3版.北京：高等教育出版社，2000：3-11.
[2]迪昂（Duhem， P. M. M.）.物理学理论的目的与结构[M].李醒民，译.北京：商务印书馆，2011：200.
关键词：实验；误差；不确定度
误差来源于测量，测量的理想结果是真实值，测量值与真实值之间总会有差异，这是物理实验中现实与理想的矛盾.误差的概念就是为了描述这种理想与现实的差异而引入的.对于以测量某个物理量的值为目的的测量型实验，理想与现实的矛盾表现为理想测量与现实测量的差异，可以用测量操作者引起的偶然误差和测量工具引起的系统误差来描述.对于以验证某个物理规律为目的的验证型实验，理想与现实的矛盾表现为理想化条件下的物理模型与受非理想因素制约的实际研究对象的差异，这种差异是用系统误差来描述的.与测量工具引起的系统误差不同的是，这种系统误差描述的是理论模型与实际研究对象的差异，其分析过程实际上也是理论模型的修正过程.
中学物理关于误差概念的教学存在如下两个问题：第一，在误差分析时，往往不能明确界定“理想”与“现实”所指；第二，随意使用“误差允许的范围”这一提法.这两个问题会给学生带来困惑甚至误解.为此，本文结合人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书物理教材中的三个实验，探讨有关误差概念教学的问题，并给出相关的教学建议.
一、落体的理想与现实——验证机械能守恒定律
对于必修2第七章《机械能守恒定律》中“验证机械能守恒定律”实验，教材给出的实验方法是通过研究物体自由下落过程，比较下落的重物在某两点间的动能变化和势能变化，从而验证机械能是否守恒.有学生提出如下疑问：“由于实际研究对象并非自由落体，重物在某两点间的动能变化和势能变化不可能相等.实际上，测量的误差越小，某两点间的动能变化和势能变化的差别越明显.换句话说，实验精确度的提高会导致机械能不守恒的事实更明显，而实验目的是验证机械能守恒，这是不是一个逻辑上的矛盾呢？”
解决上述疑问的关键是对误差概念的理解.“验证机械能守恒定律”属于验证型实验，应将研究对象“自由落体运动”视为一个物理模型，且是理想模型.相对这个“理想”，现实是“非自由落体运动”，是存在阻力的落体运动.这里理想与现实的差异可看作是系统误差.实验要验证的机械能守恒定律是建立在理想模型基础上的，因此，要尽可能减少这种系统误差.基于此，教材提出问题启发学生思考，如：“重物下落的过程中，除重力外会受到哪些阻力？怎样减少这些阻力对实验的影响？”由于阻力不可避免，所以实验结果总是势能的变化量大于动能的变化量，这种偏差结果的单一倾向反映的恰是系统误差的特点.
应当注意的是，“测量”动能变化与势能变化和“比较”动能变化与势能变化的关系是两个不同的问题，前者是测量，后者是验证.对于前者，测量的偶然误差是理想与现实的主要矛盾，减小这种误差可以使测量值更接近真实值.对于后者，理论模型与实际研究对象的差异是理想与现实的主要矛盾，减小这种系统误差可以使实验结果对物理规律的检验更有效.在系统误差确定的情况下，减小偶然误差必然会导致动能变化量与势能变化量的差别更明显.在厘清系统误差与偶然误差的概念之后，上述疑问也就得以解决，逻辑上也就没有了矛盾.
但是新的困惑随之产生：既然实验结果中动能变化量和势能变化量总是会有差别，怎样判断差别已经小到可以认为机械能守恒了呢？教学中常见到这样的表述：“在实验误差允许的范围内，验证重物在某两点间的动能变化和势能变化是否相等.”学生对“误差允许的范围”这一提法会存在疑问，即怎样界定“误差允许的范围”呢？
二、电路的理想与现实——测定电池的电动势和内阻
选修3-1第二章《恒定电流》中的实验“测定电池的电动势和内阻”，测量原理是闭合电路欧姆定律. 其中一种实验方法是通过描绘电源的伏安曲线求出电动势和内电阻，实验电路如图1所示，实验中需采集的数据为路端电压与干路电流.根据数据描绘图像是处理实验数据的一种重要方法，有效地减小了偶然误差，但是本实验中理想电表与现实电表的差异带来的系统误差仍然存在.
教学中常用图像修正的方法对此实验进行系统误差分析，如图2.非理想电压表的分流作用导致干路电流的测量值偏小，而对路端电压的测量没有影响，因此可将U-I图线1（实线所示）修正为U-I图线2（虚线所示）.需要指出的是，实际教学中有学生将修正前的图线1理解为实验所得图线，其实是错误的.此实验的系统误差属于理论误差，应通过与理想条件下的理论值进行比较而分析，因此待修正的图线1不应该是实验图线，而应该是忽略电表内阻影响的理论上的U-I图线.读图2可知，在仅考虑系统误差的情况下，电源电动势的测量值比真实值偏小，电源内阻的测量值也偏小.
三、变压器的理想与现实——探究变压器线圈两端的电压与匝数的关系
下面以一道高考题为例说明该实验系统误差分析的意义.2011年浙江省高考理科综合测试中有这样一道选择题：如图3所示，在铁芯上、下分别绕有匝数n1=800和n2=200的两个线圈，上线圈两端与u=51sin314tV的交流电源相连，将下线圈两端接交流电压表，则交流电压表的读数可能是（ ）.提供的选项有：A. 2.0V；B.9.0V；C. 12.7V；D. 144.0V.
显然该题给出的模型不是理想变压器，因此原、副线圈的电压之比应大于两个线圈的匝数之比.如果按照理想变压器的模型计算，结果为9.0V，因此实际结果应小于这个值.只有A选项满足要求，即2.0V，答案为A选项.
然而，不少学生在分析到此时，却没有足够的勇气选择A选项，原因是不敢相信实际的结果会和应用理想变压器模型算得的结果差别如此之大.学生没有足够的勇气选择正确答案的原因是什么呢？如果学生亲历了实验探究变压器线圈两端的电压与匝数的关系，了解实验系统误差的来源以及实验结果不确定度的大小，就不会在正确选项面前犹豫了.
以上结合教材中的实验，对有关误差概念的教学问题进行了探讨.误差分析与不确定度的表达是沟通物理学科“理想”与“现实”的途径.美国麻省理工学院的Walter Lewin教授就曾在课堂上反复强调如下观点：如果不考虑测量的不确定度，那么一切测量都是没有意义的.法国物理学家、科学哲学家迪昂曾说，“我们必须了解我们正在研究的实验的近似度”[2].中学物理教学应当给予误差概念必要的重视.学生只有正确理解误差概念，才能有效沟通物理的理想与现实，进而有利于正确认识物理学本身的特点，有助于形成良好的物理学科素养.
参考文献：
[1] 杨述武.普通物理实验1·力学及热学部分[M].3版.北京：高等教育出版社，2000：3-11.
[2]迪昂（Duhem， P. M. M.）.物理学理论的目的与结构[M].李醒民，译.北京：商务印书馆，2011：200.