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摘要：本文从核心素养的视角，指出了现行三个版本的初中物理教材关于“功”的乘积定义式编写的不足，并从物理学史的角度论述了“功”的概念的建立过程，然后从学生熟悉的生活化场景出发，让学生体验“功”的乘积定义法的合理性，并进一步揭示了乘积定义法的本质是累积.
关键词：核心素养;功;乘积定义法
文章编号：1008-4134（2019）20-0008中图分类号：G633.7文献标识码：B
作者简介：尹德利（1965-），男，山東人，硕士，中学高级教师，研究方向：中学物理教学;
王金文（1969-），男，山东人，硕士，中学高级教师，研究方向：中学物理教学.
“功”这个物理量是中学物理教材中最重要的概念之一.理解“功”的概念的建立过程，既有助于学生深刻理解“乘积定义法”的本质，也为高中阶段继续学习功和其他乘积定义法定义的物理量打下坚实的基础.目前初中物理教学及现行初中物理教材中，大多比较生硬地给出功的乘积定义，致使学生难以理解功的定义的来龙去脉，不利于学生核心素养的形成.以下笔者将分析常见版本教材建立功的概念的问题，并提出新的设计思路.
1各版本教材关于“功”的定义
人教版物理八年级下册第十一章第一节在给出了什么是力对物体做功及做功的两个必要因素之后指出：作用在物体上的力越大、物体在力的方向上移动的距离越大，力所做的功就越多.在力学中，功等于力与物体在力的方向上移动的距离的乘积.
这种表述，容易给学生留下错误的印象，认为只要某个物理量随另一个物理量的增大而增大，它们之间就成正比关系.高中阶段许多学生持有这种看法，恐怕与人教版教材的这种表述不无关系.
粤沪版物理九年级上册第十三章直接告诉学生，物理学规定：功等于力与物体在力的方向上移动的距离的乘积.至于为什么这样规定，书中没有说出原因.
苏科版物理九年级上册关于功的定义式较上述两个版本的教材有了一定的改进.该教材在学生认识杠杆、滑轮等简单机械“省力费距离、省距离费力”的基础上，探究小车沿斜面匀速上升的过程中拉力F、重力G以及小车沿斜面上升的距离s、竖直高度h这4个物理量的大小关系，寻找其中的“恒等量”.并将实验测量的数据填入表格.在学生多次实验获取必要的数据之后，分析计算Fs与Gh的大小.发现：不管F、s如何变化，Fs与Gh总是近似相等.在此基础上教材指出：既省力又省距离的机械是不存在的，力与物体在力的方向上通过的距离的乘积是一个有意义的物理量，在物理学上，把这个乘积定义为功.教材这样编写，“功”的乘积定义式显得比较自然，同时体现了科学探究的教学理念，对于高中阶段继续“探究碰撞中的守恒量”具有积极意义.不足之处，仍然没有揭示“乘积定义法”的本质，也不符合历史发展的逻辑.
物理概念教学，需要让学生弄清三个基本问题：为什么引入这个概念？怎样定义这个概念？为什么这样定义这个概念？现行教材显然无法让学生通过阅读教材弄清“功”的这三个问题，更无法对学生进行科学方法的教育.
功的乘积定义的教学怎样才能既符合物理概念提出的逻辑，又符合初中学生的认知思维呢？要回答这个问题，需要从历史上追寻功的概念的建立过程.
2“功”概念的来源
功的概念起源于十七、十八世纪工业革命的需要.17世纪末，英国的采矿业尤其是煤矿已发展到相当的规模，单靠人力、畜力已难以满足排除矿井地下水的要求，而现场又有丰富而廉价的煤作为燃料.现实的需要促使工程师如英国的帕潘、萨维利和纽可门等致力于“以火力提水”的探索和实验，蒸汽机就这样发明出来了.为了比较蒸汽机的工作成效，工程师们做了大量的实验.实验发现，燃烧相同质量的煤，提升的物体越重，提升的高度就越小，反之，提升的高度就越高，但二者的乘积却是一个不变量，这个量与燃烧煤的质量成正比关系.基于这个事实，工程师们逐渐同意用蒸汽机举起物体的重量与高度的乘积来量度蒸汽机输出的工作量.
笛卡尔学派从运动量守恒的基本定律出发，认为应该把物体的质量和速度的乘积作为物体运动的量度.1687年，牛顿在他的《自然哲学的数学原理》一书中明确给出了动量的定义.1686年，德国数学家、哲学家莱布尼茨认为，运动的量度不能用物体的质量与速度的乘积来衡量，只能由它所产生的效果来衡量，例如它能将一重物举起多么高.因此，应该用mv2作为物体运动的量度.为了证明他的观点，他举例说，把质量为m的物体举高h的“力”同样能把质量为m/n的物体举高nh;当这两个物体降落下来时其运动量必然相等.根据伽利略的落体定律，第一个物体落回原点的速度为v，则第二个物体落回原点的速度为nv.按照笛卡尔的量度则有mv≠mnnv，表明它们的运动量不相等.按照莱布尼兹的量度，则有mv2=mnnv2，表明两物体的运动量相等.莱布尼兹由此得出结论，笛卡尔的运动的量度同伽利略的落体定律相矛盾.
由此可见，莱布尼茨在论证他的观点时，已经把mgh作为物体运动的量度了（mgh=mngnh）.当然，莱布尼茨也看到了笛卡尔提出的量度在某些情况下也是适用的，所以他于1696年指出，mv是“死力”的量度，而mv2是“活力”的量度，宇宙中真正守恒的东西是总的“活力”.
从1820年起，法国出版的一系列工程技术论著中，“功”这个概念逐渐被确立为一个重要概念.特别是在分析机器的运转中，功被看作一个基本参数.法国工程师卡诺（1796-1832）用重物的重力与其提升的高度的乘积来评价机器的功效，并称之为“作用矩”.法国数学家蒙日（1746-1818）把功称为“动力效应”.
1829年，法国物理学家科里奥利明确地把作用力与受力点沿力的方向的位移的乘积称为“运动的功”，并且在“活力”前加了1/2系数，称为动能（这一概念一直沿用至今），通过积分给出了功与动能的联系.受科里奥利的影响，法国工程师彭塞利（1788-1867）在同年明确地推荐了“功”这一术语.但功的物理意义仍不是很清楚.直到19世纪中叶能量转化与守恒定律建立以后，人们才认识到功是不同形式的能量转化的量度. 综上所述，“功”这个概念最初是从机械克服重力做功产生出来的.因此，讲清功的定义式的由来，应该从物体克服重力做功讲起.为简单起见，笔者创设了下面的生活场景.
3“功”概念引入的实例
一建筑工地需要把砖从地面搬到高处（假设所有的砖质量都相同，匀速竖直向上提升一块砖的力的大小等于砖的重力大小，用G表示，均为20N）.公司规定：把一块砖搬到h=1米高处付劳务费1元，搬到2米高处付劳务费2元，以此类推，砖搬得越多，报酬就越多;砖搬得越高，报酬也越多.现有A、B、C、D四个劳工搬砖情况如图1所示，如果你是主管，你该如何付给他们报酬？
经过小组讨论，学生容易达成共识：应付劳工A1元钱，付劳工B和C各2元钱，付劳工D6元钱.教师追问：请问四个人劳务费是如何算出来的呢？学生给出的理由是：劳工A只把1块砖搬到1米高处，此过程他的工作量设为W，即WA=W，那么劳工B把两块砖搬到1米高处，他的工作量就是2W.因为他可能是一次把两块砖搬到1米高处，也可能是分两次、每次把1块砖搬到1米高处，因此劳工B的工作量应为2W;劳工C把1块砖搬到2米高处，可以看作把1块砖先搬到1米高处完成的工作量为W，再把这块砖又升高1米工作量又是W，因此劳工C总的工作量也为2W;劳工D把3块砖从地面搬到2米高处，相当于把3块砖先搬到1米高处，完成工作量3W，再把这3块砖又升高1米完成工作量3W，因此劳工D总的工作量为3W 3W=6W.
教师紧接着提出两个问题：
问题1假如还有一个劳工E力气特别小，他使劲搬砖也搬不动，但他的确用力了，那么主管会不会付劳务费给他？
问题2假如还有一个劳工F，他没有按照要求把砖从地面搬到高处，而是抱着砖沿水平路面从一个位置匀速运动到另一个位置，主管会不会付劳务费给他？
【设计意图】通过问题1，让学生认识到，衡量一个人或机器的工作成效，光有力是不够的，物体还必须运动一段距离.通过问题2，让学生认识到，衡量一个人或机器工作的成效，有力和运动距离仍然是不够的，这个距离必须是物体在力的方向上运动的距离.
教师然后指出，衡量人或机器工作成效大小的物理量，在物理学中称之为“功”，英语单词为“work”，故“功”用字母“W”表示.需要指出的是，虽然物理学中的“功”与人们日常说的“工作”是同一个英语单词，但二者的含义是不同的.比如，虽然劳工E累得满头大汗，但砖丝毫未动，工作成效为零.或者说，虽然他确实对砖施力了，但他做的功为零.而劳工F虽然用力了，物体也运动一段距离了，但物体并没有在竖直方向上移动一段距离，因此在竖直方向上做功为零，没有实现将重物提升一定高度这一工作目标，因此他的工作也是无效的.通过这样的实例，可以让学生进一步理解做功包含两个必要的因素：一是作用在物体上的力;二是物体在力的方向上移动的距离.
通过上述生活场景，引入“功”的概念的必要性就揭示出来了.这时，教师再引导学生列举日常生活中常见的做功实例，并区分实例中哪个力做了功，哪个力没有做功.从而促进学生由生活经验向科学概念转化.
接下来，教师引导学生从物理学的视角分析四个劳工的做功过程，体会功的乘积定义的合理性.
既然做功包含力F和物体在力的方向上通过的距离s这样两个因素，那么同学们能否根据上述的情景，找到一个合适的计算公式方便地计算功的大小呢？请同学们思考讨论.
为了支付劳务费，前面同学们已经正确地算出了四位劳工的工作量或者是做功，分别为WA=W，WB=WC=2W，WD=6W.
同学们猜想一下，功的大小W与力F和物体在力的方向上通过的距离s可能存在什么关系呢？
寻找几个物理量之间的函数关系，物理学家常采用列表法.下面请同学们在自己的练习本上尝试着设计一个表格，并在表格中列出A、B、C、D四个劳工的做功情况、施力大小和物体（砖）的运动距离.设计完后组内进行交流评估.学生们设计的表格如下：
学生通过表中具体数据可以体会到，用力和距离的乘积表示功的大小，则可以圆满解释搬砖做功的实例.
在此基础上教师指出：历史上物理学家们正是用力和物体在力的方向上通过的距离的乘积来定义功的大小的，写成公式就是W=Fs.
教师指出，为了描述人或机器的工作成效，我们引入了功的概念.為了准确表述，我们提到做功问题，一定要指明是哪个力对物体做功，而不能笼统地说哪个物体做功，这样可以避免许多误区.
通过设置这样的场景，功的定义式对学生来说就不再是硬性规定了，而是有着坚实的生活基础.更为重要的是，功的计算式不再是书本强加给学生的，而是学生通过对实际问题的分析自己体验过的，这有助于培养学生的核心素养.
不仅如此，通过对搬砖过程的分析，如WB=2G·h=Gh Gh，WC=G·2h=Gh Gh等等，学生对“乘积定义法的本质是累加”（也常称为累积效应）也有了一定的认识.
需要强调的是，并非所有的乘积法定义的物理量都具有累积效应，比如动量=m、力矩=×、磁通量φ=·都不具有累积效应.只有两个物理量之一是过程量时，用乘积法定义的物理量才具有累积效应，比如功的定义式W=·、冲量的定义式=t中，其中的位移s、时间t是过程量，因此我们常说，功是力对空间的累积效应，冲量是力对时间的累积效应.
参考文献：
[1]刘晓林，潘镇高.循环递进式探究法在初中物理课堂教学中的应用——以沪科版八年级物理“做功了吗”教学为例[J].中学物理（初中版），2019，31（16）：53-56.
[2]阎金铎.义务教育课程标准实验教科书.物理（八年级下册）[M].北京：北京师范大学出版社，2018.
[3]华东地区初中物理教材编写组.物理（九年级上册）[M].上海：上海科学技术出版社，广东教育出版社，2014.
（收稿日期：2019-07-15）
关键词：核心素养;功;乘积定义法
文章编号：1008-4134（2019）20-0008中图分类号：G633.7文献标识码：B
作者简介：尹德利（1965-），男，山東人，硕士，中学高级教师，研究方向：中学物理教学;
王金文（1969-），男，山东人，硕士，中学高级教师，研究方向：中学物理教学.
“功”这个物理量是中学物理教材中最重要的概念之一.理解“功”的概念的建立过程，既有助于学生深刻理解“乘积定义法”的本质，也为高中阶段继续学习功和其他乘积定义法定义的物理量打下坚实的基础.目前初中物理教学及现行初中物理教材中，大多比较生硬地给出功的乘积定义，致使学生难以理解功的定义的来龙去脉，不利于学生核心素养的形成.以下笔者将分析常见版本教材建立功的概念的问题，并提出新的设计思路.
1各版本教材关于“功”的定义
人教版物理八年级下册第十一章第一节在给出了什么是力对物体做功及做功的两个必要因素之后指出：作用在物体上的力越大、物体在力的方向上移动的距离越大，力所做的功就越多.在力学中，功等于力与物体在力的方向上移动的距离的乘积.
这种表述，容易给学生留下错误的印象，认为只要某个物理量随另一个物理量的增大而增大，它们之间就成正比关系.高中阶段许多学生持有这种看法，恐怕与人教版教材的这种表述不无关系.
粤沪版物理九年级上册第十三章直接告诉学生，物理学规定：功等于力与物体在力的方向上移动的距离的乘积.至于为什么这样规定，书中没有说出原因.
苏科版物理九年级上册关于功的定义式较上述两个版本的教材有了一定的改进.该教材在学生认识杠杆、滑轮等简单机械“省力费距离、省距离费力”的基础上，探究小车沿斜面匀速上升的过程中拉力F、重力G以及小车沿斜面上升的距离s、竖直高度h这4个物理量的大小关系，寻找其中的“恒等量”.并将实验测量的数据填入表格.在学生多次实验获取必要的数据之后，分析计算Fs与Gh的大小.发现：不管F、s如何变化，Fs与Gh总是近似相等.在此基础上教材指出：既省力又省距离的机械是不存在的，力与物体在力的方向上通过的距离的乘积是一个有意义的物理量，在物理学上，把这个乘积定义为功.教材这样编写，“功”的乘积定义式显得比较自然，同时体现了科学探究的教学理念，对于高中阶段继续“探究碰撞中的守恒量”具有积极意义.不足之处，仍然没有揭示“乘积定义法”的本质，也不符合历史发展的逻辑.
物理概念教学，需要让学生弄清三个基本问题：为什么引入这个概念？怎样定义这个概念？为什么这样定义这个概念？现行教材显然无法让学生通过阅读教材弄清“功”的这三个问题，更无法对学生进行科学方法的教育.
功的乘积定义的教学怎样才能既符合物理概念提出的逻辑，又符合初中学生的认知思维呢？要回答这个问题，需要从历史上追寻功的概念的建立过程.
2“功”概念的来源
功的概念起源于十七、十八世纪工业革命的需要.17世纪末，英国的采矿业尤其是煤矿已发展到相当的规模，单靠人力、畜力已难以满足排除矿井地下水的要求，而现场又有丰富而廉价的煤作为燃料.现实的需要促使工程师如英国的帕潘、萨维利和纽可门等致力于“以火力提水”的探索和实验，蒸汽机就这样发明出来了.为了比较蒸汽机的工作成效，工程师们做了大量的实验.实验发现，燃烧相同质量的煤，提升的物体越重，提升的高度就越小，反之，提升的高度就越高，但二者的乘积却是一个不变量，这个量与燃烧煤的质量成正比关系.基于这个事实，工程师们逐渐同意用蒸汽机举起物体的重量与高度的乘积来量度蒸汽机输出的工作量.
笛卡尔学派从运动量守恒的基本定律出发，认为应该把物体的质量和速度的乘积作为物体运动的量度.1687年，牛顿在他的《自然哲学的数学原理》一书中明确给出了动量的定义.1686年，德国数学家、哲学家莱布尼茨认为，运动的量度不能用物体的质量与速度的乘积来衡量，只能由它所产生的效果来衡量，例如它能将一重物举起多么高.因此，应该用mv2作为物体运动的量度.为了证明他的观点，他举例说，把质量为m的物体举高h的“力”同样能把质量为m/n的物体举高nh;当这两个物体降落下来时其运动量必然相等.根据伽利略的落体定律，第一个物体落回原点的速度为v，则第二个物体落回原点的速度为nv.按照笛卡尔的量度则有mv≠mnnv，表明它们的运动量不相等.按照莱布尼兹的量度，则有mv2=mnnv2，表明两物体的运动量相等.莱布尼兹由此得出结论，笛卡尔的运动的量度同伽利略的落体定律相矛盾.
由此可见，莱布尼茨在论证他的观点时，已经把mgh作为物体运动的量度了（mgh=mngnh）.当然，莱布尼茨也看到了笛卡尔提出的量度在某些情况下也是适用的，所以他于1696年指出，mv是“死力”的量度，而mv2是“活力”的量度，宇宙中真正守恒的东西是总的“活力”.
从1820年起，法国出版的一系列工程技术论著中，“功”这个概念逐渐被确立为一个重要概念.特别是在分析机器的运转中，功被看作一个基本参数.法国工程师卡诺（1796-1832）用重物的重力与其提升的高度的乘积来评价机器的功效，并称之为“作用矩”.法国数学家蒙日（1746-1818）把功称为“动力效应”.
1829年，法国物理学家科里奥利明确地把作用力与受力点沿力的方向的位移的乘积称为“运动的功”，并且在“活力”前加了1/2系数，称为动能（这一概念一直沿用至今），通过积分给出了功与动能的联系.受科里奥利的影响，法国工程师彭塞利（1788-1867）在同年明确地推荐了“功”这一术语.但功的物理意义仍不是很清楚.直到19世纪中叶能量转化与守恒定律建立以后，人们才认识到功是不同形式的能量转化的量度. 综上所述，“功”这个概念最初是从机械克服重力做功产生出来的.因此，讲清功的定义式的由来，应该从物体克服重力做功讲起.为简单起见，笔者创设了下面的生活场景.
3“功”概念引入的实例
一建筑工地需要把砖从地面搬到高处（假设所有的砖质量都相同，匀速竖直向上提升一块砖的力的大小等于砖的重力大小，用G表示，均为20N）.公司规定：把一块砖搬到h=1米高处付劳务费1元，搬到2米高处付劳务费2元，以此类推，砖搬得越多，报酬就越多;砖搬得越高，报酬也越多.现有A、B、C、D四个劳工搬砖情况如图1所示，如果你是主管，你该如何付给他们报酬？
经过小组讨论，学生容易达成共识：应付劳工A1元钱，付劳工B和C各2元钱，付劳工D6元钱.教师追问：请问四个人劳务费是如何算出来的呢？学生给出的理由是：劳工A只把1块砖搬到1米高处，此过程他的工作量设为W，即WA=W，那么劳工B把两块砖搬到1米高处，他的工作量就是2W.因为他可能是一次把两块砖搬到1米高处，也可能是分两次、每次把1块砖搬到1米高处，因此劳工B的工作量应为2W;劳工C把1块砖搬到2米高处，可以看作把1块砖先搬到1米高处完成的工作量为W，再把这块砖又升高1米工作量又是W，因此劳工C总的工作量也为2W;劳工D把3块砖从地面搬到2米高处，相当于把3块砖先搬到1米高处，完成工作量3W，再把这3块砖又升高1米完成工作量3W，因此劳工D总的工作量为3W 3W=6W.
教师紧接着提出两个问题：
问题1假如还有一个劳工E力气特别小，他使劲搬砖也搬不动，但他的确用力了，那么主管会不会付劳务费给他？
问题2假如还有一个劳工F，他没有按照要求把砖从地面搬到高处，而是抱着砖沿水平路面从一个位置匀速运动到另一个位置，主管会不会付劳务费给他？
【设计意图】通过问题1，让学生认识到，衡量一个人或机器的工作成效，光有力是不够的，物体还必须运动一段距离.通过问题2，让学生认识到，衡量一个人或机器工作的成效，有力和运动距离仍然是不够的，这个距离必须是物体在力的方向上运动的距离.
教师然后指出，衡量人或机器工作成效大小的物理量，在物理学中称之为“功”，英语单词为“work”，故“功”用字母“W”表示.需要指出的是，虽然物理学中的“功”与人们日常说的“工作”是同一个英语单词，但二者的含义是不同的.比如，虽然劳工E累得满头大汗，但砖丝毫未动，工作成效为零.或者说，虽然他确实对砖施力了，但他做的功为零.而劳工F虽然用力了，物体也运动一段距离了，但物体并没有在竖直方向上移动一段距离，因此在竖直方向上做功为零，没有实现将重物提升一定高度这一工作目标，因此他的工作也是无效的.通过这样的实例，可以让学生进一步理解做功包含两个必要的因素：一是作用在物体上的力;二是物体在力的方向上移动的距离.
通过上述生活场景，引入“功”的概念的必要性就揭示出来了.这时，教师再引导学生列举日常生活中常见的做功实例，并区分实例中哪个力做了功，哪个力没有做功.从而促进学生由生活经验向科学概念转化.
接下来，教师引导学生从物理学的视角分析四个劳工的做功过程，体会功的乘积定义的合理性.
既然做功包含力F和物体在力的方向上通过的距离s这样两个因素，那么同学们能否根据上述的情景，找到一个合适的计算公式方便地计算功的大小呢？请同学们思考讨论.
为了支付劳务费，前面同学们已经正确地算出了四位劳工的工作量或者是做功，分别为WA=W，WB=WC=2W，WD=6W.
同学们猜想一下，功的大小W与力F和物体在力的方向上通过的距离s可能存在什么关系呢？
寻找几个物理量之间的函数关系，物理学家常采用列表法.下面请同学们在自己的练习本上尝试着设计一个表格，并在表格中列出A、B、C、D四个劳工的做功情况、施力大小和物体（砖）的运动距离.设计完后组内进行交流评估.学生们设计的表格如下：
学生通过表中具体数据可以体会到，用力和距离的乘积表示功的大小，则可以圆满解释搬砖做功的实例.
在此基础上教师指出：历史上物理学家们正是用力和物体在力的方向上通过的距离的乘积来定义功的大小的，写成公式就是W=Fs.
教师指出，为了描述人或机器的工作成效，我们引入了功的概念.為了准确表述，我们提到做功问题，一定要指明是哪个力对物体做功，而不能笼统地说哪个物体做功，这样可以避免许多误区.
通过设置这样的场景，功的定义式对学生来说就不再是硬性规定了，而是有着坚实的生活基础.更为重要的是，功的计算式不再是书本强加给学生的，而是学生通过对实际问题的分析自己体验过的，这有助于培养学生的核心素养.
不仅如此，通过对搬砖过程的分析，如WB=2G·h=Gh Gh，WC=G·2h=Gh Gh等等，学生对“乘积定义法的本质是累加”（也常称为累积效应）也有了一定的认识.
需要强调的是，并非所有的乘积法定义的物理量都具有累积效应，比如动量=m、力矩=×、磁通量φ=·都不具有累积效应.只有两个物理量之一是过程量时，用乘积法定义的物理量才具有累积效应，比如功的定义式W=·、冲量的定义式=t中，其中的位移s、时间t是过程量，因此我们常说，功是力对空间的累积效应，冲量是力对时间的累积效应.
参考文献：
[1]刘晓林，潘镇高.循环递进式探究法在初中物理课堂教学中的应用——以沪科版八年级物理“做功了吗”教学为例[J].中学物理（初中版），2019，31（16）：53-56.
[2]阎金铎.义务教育课程标准实验教科书.物理（八年级下册）[M].北京：北京师范大学出版社，2018.
[3]华东地区初中物理教材编写组.物理（九年级上册）[M].上海：上海科学技术出版社，广东教育出版社，2014.
（收稿日期：2019-07-15）