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摘要: 本文通过模型在解决不同类型的数学问题中的运用,对构造法作一些探讨｡
关键词: 数学问题 构造 数学模型
解决某些数学问题时,脑子里会构想出某种生动直观的模型形象｡若对其进行分析､研究,则能帮助我们处理复杂问题｡
问题转换的操作程序大致为:
问题的核心是:根据条件､结论的性质和特征,将题设和结论联系起来,构造一个恰当的数学模型,通过对模型的研究,以达到简洁解题的目的｡下面举例说明｡
一､构造函数模型
有些代数问题给出一个或几个关系式,求另一个式子满足一定条件,这时可把关系式中的字母与某个函数的对应方程的根联系起来｡
例1.三个整数a,b,c满足关系a+b+c=0,求证:2(a +b +c )是一个完全平方数｡
分析:由条件a+b+c=0,猜测:若a,b,c为某一个三次函数对应方程的三个根,由韦达定理知,二次项系数为0,然后研究根与2(a +b +c )的关系｡
证明:设a,b,c是函数f(x)=x +px +qx+r的三个根,由韦达定理知p=-(a+b+c)=0,q=ab+bc+ac,从而f(x)=x +qx+r
∴f(a)=a +qa+r=0
f(b)=b +qb+r=0f(c)=c +qc+r=0
∴a =-qa-rb =-qb-rc =-qc-r
上述三式分别乘以2a,2b,2c,相加
2(a +b +c )
=-2q[(a+b+c) -a(ab+bc+ac)]
=-2q(-2q)
=(2q)
二､构造三角模型
例2.任给7个实数,求证:其中至少有两个数x､y满足0≤ ≤ ｡
分析:特征式颇似三角公式
tg(α-β)= ,可构造三角模型｡
证明:设给定7个实数为tgα (i=1,2,3,…,7)且α ∈(- , ),0与 分别为tg0与tg ,将分为6个区间:
(- ,- ];(- ,- ];(- ,0];(0, ];( , ];( , ]｡
显然,必有某个α 与d 同属于一个区间,设为α 与α ,则0≤α -α ≤ (设α ≥α )｡
而tg(α-β)= =
且0≤tg(α -α )≤ ;
即0≤ ≤ ｡
三､构造组合模型
例3.求证:(C) +2(C) +…+n(C) =nC｡
证明:构造组合模型如下:从n个男同学及n个女同学中,选出n个同学组成一个代表团,其中男同学至少要一名,并在其中选择一名男同学为团长,问有多少种不同的选法?
按选出的男同学人数k分类,男同学选法有C种,女同学选法有C=C种,团长的选法有k种,故完成这一类的选法有kCC=k(C) 种,令k=1,2,…,n,则符合条件的选法总数是:(C) +2(C) +…+n(C) ｡
另一种解法:从n个男同学中选出团长有n种方法,然后在剩下的2n-1个同学中选出n-1个团员有C种,由乘法原理共有nC种选法,比较上述两种结果得:(C) +2(C) +…+n(C) =nC｡
四､构造复数模型
如利用“复数的模”可将sin1+sin2+…+sinn≤ 的证明简化;利用函数“在复数范围内的分解”形式转换类似,?蘩e cosβxdx的微积分问题;特别是“共轭复数”模型在解决二项式问题有出人意料的作用｡
例4.设(1+x+x ) 的展开式为a +a x+a x +…+a x ,求a +a +a +…+a 的值｡
分析:此题乘方的次数非常高,引入“共轭复数”模型,会出人意料得简单｡
解:设ω =- - i是ω的共轭复数,又ω =1,ω =ω,ω =ω ,…｡将1,ω,ω 依次作为x代入a +a x+a x +…+a x ,并记
A=a +a +a +…+a ,B=a +a +a +…+a ,C=a +a +a +…+a ,
所以A+B+C=3 A+ωB+ω C=0A+ω B+ωC=0
将以上三式相加,再利用1+ω+ω =0,得3A=3 ,则A=3 ｡
五､构造向量模型
例5.一个人要带一只狗､一只鸡和一棵白菜过河,而船除人外,每次只能带一样东西,问该如何运它们,才能使鸡吃不掉白菜,而狗吃不掉鸡｡
解:如果把人､鸡､狗和白菜依次用一个四维向量表示,当一物在此岸,记为1,否则记为0｡如(1,0,1,0)表示人和鸡都在此岸｡按题意(1,0,1,0)是一个允许状态,而(0,0,1,1)是一个不允许状态,因为鸡可以吃白菜｡把所有允许状态记为集合S,共有10个元素,分别是
(1,1,1,1)(0,0,0,0)
(1,1,0,0)(0,0,0,1)
(1,1,0,1)(0,0,1,0)
(1,0,1,1)(0,1,0,0)
(1,0,1,0)(0,1,0,1)
可以把每次运载情况也用一个四维向量表示｡如用(1,1,0,0)表示人和狗在船上｡这样的允许的运载状态记为集合D,有元素4个
(1,1,0,0)(1,0,1,0)
(1,0,0,1)(1,0,0,0)
规定S和D中的元素相加时按二进制法则进行｡一次渡河就是一个循序状态向量与一个允许运载向量相加｡渡河问题就转化为:求d ∈D,使s ∈S按照运算规律,从状态(1,1,1,1)经过多少次才能变成(0,0,0,0)｡
一个结果若是可取的记T｡否则记F,虽然可取但已重复就记F｡问题用穷举法按(图1)方式运算｡通过运算知,经过7次运载可安全地完成｡过程可以描述为:去(人,鸡),回(人);去(人,狗(或菜)),回(人,鸡);去(人,菜(或狗)),回(人);去(人,鸡)｡
(1,1,1,1)+(1,0,1,0)(1,1,0,0)(1,0,0,1)(1,0,0,0)→(0,1,0,1)T(0,0,1,1)F(0,1,1,0)F(0,1,1,1)F
(0,1,0,1)+(1,0,1,0)(1,1,0,0)(1,0,0,1)(1,0,0,0)→(1,1,1,1)F(1,0,0,1)F(1,1,0,0)F(1,1,0,1)T
参考文献:
[1]数理化学习[J].哈尔滨师范大学.
[2]周沛耕,王中峰.高中数学奥林匹克竞赛[M].山西教育出版社,2004.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”
关键词: 数学问题 构造 数学模型
解决某些数学问题时,脑子里会构想出某种生动直观的模型形象｡若对其进行分析､研究,则能帮助我们处理复杂问题｡
问题转换的操作程序大致为:
问题的核心是:根据条件､结论的性质和特征,将题设和结论联系起来,构造一个恰当的数学模型,通过对模型的研究,以达到简洁解题的目的｡下面举例说明｡
一､构造函数模型
有些代数问题给出一个或几个关系式,求另一个式子满足一定条件,这时可把关系式中的字母与某个函数的对应方程的根联系起来｡
例1.三个整数a,b,c满足关系a+b+c=0,求证:2(a +b +c )是一个完全平方数｡
分析:由条件a+b+c=0,猜测:若a,b,c为某一个三次函数对应方程的三个根,由韦达定理知,二次项系数为0,然后研究根与2(a +b +c )的关系｡
证明:设a,b,c是函数f(x)=x +px +qx+r的三个根,由韦达定理知p=-(a+b+c)=0,q=ab+bc+ac,从而f(x)=x +qx+r
∴f(a)=a +qa+r=0
f(b)=b +qb+r=0f(c)=c +qc+r=0
∴a =-qa-rb =-qb-rc =-qc-r
上述三式分别乘以2a,2b,2c,相加
2(a +b +c )
=-2q[(a+b+c) -a(ab+bc+ac)]
=-2q(-2q)
=(2q)
二､构造三角模型
例2.任给7个实数,求证:其中至少有两个数x､y满足0≤ ≤ ｡
分析:特征式颇似三角公式
tg(α-β)= ,可构造三角模型｡
证明:设给定7个实数为tgα (i=1,2,3,…,7)且α ∈(- , ),0与 分别为tg0与tg ,将分为6个区间:
(- ,- ];(- ,- ];(- ,0];(0, ];( , ];( , ]｡
显然,必有某个α 与d 同属于一个区间,设为α 与α ,则0≤α -α ≤ (设α ≥α )｡
而tg(α-β)= =
且0≤tg(α -α )≤ ;
即0≤ ≤ ｡
三､构造组合模型
例3.求证:(C) +2(C) +…+n(C) =nC｡
证明:构造组合模型如下:从n个男同学及n个女同学中,选出n个同学组成一个代表团,其中男同学至少要一名,并在其中选择一名男同学为团长,问有多少种不同的选法?
按选出的男同学人数k分类,男同学选法有C种,女同学选法有C=C种,团长的选法有k种,故完成这一类的选法有kCC=k(C) 种,令k=1,2,…,n,则符合条件的选法总数是:(C) +2(C) +…+n(C) ｡
另一种解法:从n个男同学中选出团长有n种方法,然后在剩下的2n-1个同学中选出n-1个团员有C种,由乘法原理共有nC种选法,比较上述两种结果得:(C) +2(C) +…+n(C) =nC｡
四､构造复数模型
如利用“复数的模”可将sin1+sin2+…+sinn≤ 的证明简化;利用函数“在复数范围内的分解”形式转换类似,?蘩e cosβxdx的微积分问题;特别是“共轭复数”模型在解决二项式问题有出人意料的作用｡
例4.设(1+x+x ) 的展开式为a +a x+a x +…+a x ,求a +a +a +…+a 的值｡
分析:此题乘方的次数非常高,引入“共轭复数”模型,会出人意料得简单｡
解:设ω =- - i是ω的共轭复数,又ω =1,ω =ω,ω =ω ,…｡将1,ω,ω 依次作为x代入a +a x+a x +…+a x ,并记
A=a +a +a +…+a ,B=a +a +a +…+a ,C=a +a +a +…+a ,
所以A+B+C=3 A+ωB+ω C=0A+ω B+ωC=0
将以上三式相加,再利用1+ω+ω =0,得3A=3 ,则A=3 ｡
五､构造向量模型
例5.一个人要带一只狗､一只鸡和一棵白菜过河,而船除人外,每次只能带一样东西,问该如何运它们,才能使鸡吃不掉白菜,而狗吃不掉鸡｡
解:如果把人､鸡､狗和白菜依次用一个四维向量表示,当一物在此岸,记为1,否则记为0｡如(1,0,1,0)表示人和鸡都在此岸｡按题意(1,0,1,0)是一个允许状态,而(0,0,1,1)是一个不允许状态,因为鸡可以吃白菜｡把所有允许状态记为集合S,共有10个元素,分别是
(1,1,1,1)(0,0,0,0)
(1,1,0,0)(0,0,0,1)
(1,1,0,1)(0,0,1,0)
(1,0,1,1)(0,1,0,0)
(1,0,1,0)(0,1,0,1)
可以把每次运载情况也用一个四维向量表示｡如用(1,1,0,0)表示人和狗在船上｡这样的允许的运载状态记为集合D,有元素4个
(1,1,0,0)(1,0,1,0)
(1,0,0,1)(1,0,0,0)
规定S和D中的元素相加时按二进制法则进行｡一次渡河就是一个循序状态向量与一个允许运载向量相加｡渡河问题就转化为:求d ∈D,使s ∈S按照运算规律,从状态(1,1,1,1)经过多少次才能变成(0,0,0,0)｡
一个结果若是可取的记T｡否则记F,虽然可取但已重复就记F｡问题用穷举法按(图1)方式运算｡通过运算知,经过7次运载可安全地完成｡过程可以描述为:去(人,鸡),回(人);去(人,狗(或菜)),回(人,鸡);去(人,菜(或狗)),回(人);去(人,鸡)｡
(1,1,1,1)+(1,0,1,0)(1,1,0,0)(1,0,0,1)(1,0,0,0)→(0,1,0,1)T(0,0,1,1)F(0,1,1,0)F(0,1,1,1)F
(0,1,0,1)+(1,0,1,0)(1,1,0,0)(1,0,0,1)(1,0,0,0)→(1,1,1,1)F(1,0,0,1)F(1,1,0,0)F(1,1,0,1)T
参考文献:
[1]数理化学习[J].哈尔滨师范大学.
[2]周沛耕,王中峰.高中数学奥林匹克竞赛[M].山西教育出版社,2004.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”