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摘 要：本文解决的是在考虑了发展粉丝的过程中有可能存在粉丝交叉的情况下的粉丝数量预测问题，以及在此基础上对给出固定粉丝覆盖率的限制条件下达到成本最优化的问题，本模型通过对有效粉丝产生的几何概率假设，为了形象地描述问题，引入了有效粉丝率的概念，列出递归函数用matlab 模拟了信息传递量增长的过程。在第一部分，首先找到了第n 天的有效粉丝率和前一天的覆盖人数的递推关系式，第n 天总的覆盖人数与前一天的覆盖人数的递推关系式，和第n 天的有效新增粉丝数与当天有效粉丝率的递推关系式，从而将3个式子转化为随时间变化的2个基本数列（离散型函数），最终确定出有效粉丝率这个重要变量的变化规律，并且根据实际情况确定两个主要数列的首项，并查找资料设定合理的潜在用户数量，利用matlab 进行迭代递归求解。 第二部分在第一部分得到的结果上，固定递归数列（函数）两个参数天数和总体数的值，根据可供选择的推广者资源运用枚举法求得成本最小方案，得到最优化结果，本模型使用简很好的预测了网络广告覆盖效率并实现的结果最优化，易于推广。
关键词：模型
一、模型的介绍
目前消费者不只关注电视，它们利用社交网络获得更加丰富的信息和网友的评论，这给众多企业提供了宣传自己的机会。微博，twitter之类的社交网站通过用户之间的链接关系可以迅速实现信息传递量的爆炸式增长，然而随着信息覆盖率的增加、粉丝交叉数量的增多，能有效增加的粉丝数量越来越少，本模型通过建立有效粉丝增长模型，利用几何概型的理论来预测存在可能存在粉丝交叉情况下的网络广告覆盖情况，模拟了信息传递量增长的过程。
为了简化粉丝增加的研究过程我们假定所有的互联网用户只存在三个层次，即推广者、一级粉丝（由推广者发展的粉丝）、二级粉丝（由一级粉丝发展的粉丝），于是所有看到广告的人必然是三种身份中的一种，又因为我们假设互联网用户成为粉丝的同时即看到带有广告的消息，我们可以把消息传播的过程简化为有效粉丝增加的过程，最终的有效粉丝数总数即为最终的广告转播的有效覆盖人数。
我们引入有效粉丝率这个概念，它衡量了当一个人成为其他人粉丝时，是第一次成为别人粉丝这一事件的概率，即每产生一个粉丝，这个粉丝可以作为有效粉丝加入覆盖总人数的概率。假设每天每个互联网用户成为粉丝的情况是随机并且概率相同的，它应该等于一个不考虑粉丝交叉情况的理论粉丝增量乘以当天的有效粉丝率P，每天产生粉丝这个事件可以考虑为一个如下图所示的几何概型：
假设这是第n 天的覆盖情况示意图，其中大圈A 表示潜在用户总体，每天产生的粉丝都来自这个总体内，小圈a（n）表示广告已覆盖人数，它是集合A 的子集。每天产生粉丝的过程可以考虑为投针的过程，每向A 中投入一根针（即产生一个新粉丝），它落于任何一处是等可能的，它有可能落入a（n）中成为无效粉丝增加量，也可能落入a（n）以外A以内的空白处成为有效粉丝增加量，每个互联网用户看做是几何图形中的一个点，那么原来的面积就可以以对应的互联网用户的人数来代替，由符号说明可知第n 天的有效粉丝率可以表示为：
■
可以初步定性判断的事实是，随着天数增加，a（n）越来越大，有效粉丝率越来越小，所以P 随天数n 的变化而变化，同样可以用一个数列P（n）表示，当n 无限增大的时候，p（n）越来越小，a（n）越来越大，可以预见当n 趋近于无穷大时，P（n）趋近于0，a（n）趋近于总体A。
知道了这个概率，我们还需要知道每天的理论粉丝增量即如果没有交叉的情况下粉丝的增加量，这个增加量分为两部分，一部分是这一天推广者新增的粉丝人数（根据统计结果设为500），另一部分是截止到这一天所有的一级粉丝每人产生的二级粉丝人数（根据统计结果设为20），然而截止到这一天的所有一级粉丝在计算的时候仍然要考虑前面提到的粉丝有效率，因为推广者的一级粉丝虽然按照假设6在不同的天数中不会重叠，但当他成为一级粉丝的时候，他可能已经是其他一级粉丝的二级粉丝，那么根据假设5，他为无效粉丝，因此每天增加的一级粉丝同样要等于这一天推广者新增的粉丝人数乘以当天的有效粉丝率。
这样，每天的有效粉丝率跟前一天的覆盖总人数有关，而这一天的覆盖总人数又与这天的有效覆盖率有关，可以得到它们之间的递推关系，运用matlab 程序，即可模拟出若干天之后总的覆盖人数。
由上述得出的一般结论的基础上加入在2 亿潜在用户中达到40%覆盖率的条件，并在给出两种增加粉丝者的情况下解决成本最小化的要求。
在模型的求解中我们看到，若只有专业推广员，则三个推广员便可以达到要求的覆盖率，因此我们应用枚举法来得出成本最小的最优化结果。
二、基本假设
1. 假设在最开始的阶段推广者没有粉丝，并且只有推广者知道这个消息。
2. 假设每个互联网用户彼此独立。
3. 假设在同一天，推广者产生一级粉丝和这些一级粉丝产生二级粉丝同时完成，且视为瞬间完成。
4. 假设每个人成为粉丝的同时就看到带有广告的信息。
5. 假设每天任何一个网络用户等可能成为推广者的一级粉丝或任何一个一级粉丝的二级粉丝，但其性质用户第一次成为的粉丝性质决定，如先成为了一级粉丝，则之后若成为其他一级粉丝的二级粉丝，他仍算一级粉丝。
6. 假设暂不考虑每天产生粉丝时这些粉丝内部交叉的情况，只考虑每天和这一天以前的所有的粉丝有可能交叉的情况。
7. 假设雇佣推广者以100天为单位。
8. 假设每个互联网用户的粉丝数不限量，且一个互联网用户至多能成为同一个人粉丝一次；
三、符号说明
P： 有效粉丝率
A： 最初的网络用户总量，即潜在用户总数
n： 天数 P（n）： 第n 天新产生粉丝时多对应的的有效粉丝率
a（n）： 第n 天带有广告的奥运消息的总覆盖人数
b（n）： 第n 天新增的有效粉丝数
S（n）： 数列P（n）的前n 项和
X： 专业推广者人数
Y： 兼职宣传者人数
W1： 只用专业推广者每天需要的费用
W2： 只用兼职宣传者每天需要的费用
W3： 同时使用专业推广者和兼职宣传者所达到的最小每天所需费用
四、模型的建立
1.由前面的分析，第n 天的有效粉丝率和前一天的覆盖人数有如下关系：
■
2.第n 天总的覆盖人数与前一天的覆盖人数有如下关系：
■
3.对于数列P（n）：
■
4.第n 天的有效新增粉丝数与当天有效粉丝率有如下关系：
■
5.因为最终要求出是给定天数和总体数后a（n）的值，所以将上述所有关系整理为两个递推公式：
■（1）
■（2）
其中因为第一天推广者产生500 个粉丝，并且根据假设3这500 粉丝每人产生20 个粉丝同时完成，根据假设6 不考虑这些粉丝内部的交叉重复，所以有a（1）=10501，P（1）=1。
6.根据递推公式（1）（2）编写matlab 递归函数，考虑到总体A 可能很大，若直接编写关于n 和A 的二元函数，matlab 建立的矩阵会超出其存储范围，因此编写关于n 的一元函数，计算时根据不同的总体每次修改A 值即可。编写的matlab 代码见附录。
五、模型的检验
我们可以假定A 取不同的数值，从而求得在不同数量的潜在用户群中，广告覆盖的速度和规模，例如取A 为1亿人，修改代码后得到计算结果如下：
■
而且我们可以利用这个模型验证当n 很大的时候，a（n）趋近于A，并且直观看出广告覆盖人数随时间变化的关系，我们仍取总体A 为2亿，取n 从1增加至600 天的范围内，用matlab 绘制数列a（n）散点图如下 （绘图代码见附录）：
■
用matlab 绘制有效粉丝率P（n）随天数变化的散点图如下：
■
由a（n）的图像可以看出，覆盖人数增长曲线近似呈现出“S”形，即开始阶段增长率越来越大，当n 达到一定程度之后增长率达到最大值，随后增长速度开始减缓，最后无限趋近总体大A，符合实际情况。另由P（n）的图像可以看出，随着天数的增加，有效粉丝率从1逐渐减少最后趋近于0，并呈现倒“S”的形状。
六、模型评价与改进思路
该模型对于粉丝存在交叉的情况进行了比较恰当的简化假设，用几何概型模拟了粉丝交叉的概率以及概率的变化情况，并且针对函数表达式求解困难的情况考虑运用递归思想借助matlab 求解。问题二的方案选择性问题定性分析与定量计算相结合，使求解过程大大简化。 分析本模型有以下优点和需要改进的地方：
优点：
1. 简便，可行性高，符合实际，易于推广。
2. 考虑了粉丝交叉的情况，并引入了粉丝覆盖率的概念，形象地模拟出了网络广告传播的真实情况。
然而此模型理想化假设较多，还有很多现实因素未作考虑， 有以下需要改进的地方如：
1. 现实中不仅仅不同天的粉丝有重复情况，同一天的一级粉丝和二级粉丝依然可能发生重复，该模型为了求解方便没有考虑，这个因素的考虑与否可能对结果造成较大影响。
2. 现实中不可能只有推广者、一级粉丝、二级粉丝三个层次，还会有更多层次的粉丝，该模型未作进一步考虑，这个因素也可能对结果造成较大影响。
参考文献：
[1]中国新闻网，中国网民数量达到 5.13 亿 政务微博超五万， http：//news.cn.yahoo.com/ypen/20120218/871165.html，2012年4 月14 日
[2]朱旭，李换琴，籍万新.matlab 软件与基础数学试验，西安：西安交通大学出版社，2008年
[3]赵仪娜.概率论与数理统计，西安：西安交通大学出版社，2009年
[4]杨起帆，何勇，谈之奕.数学建模竞赛，杭州：浙江大学出版社，2005年
[5]李贤平.概率论基础，北京：高等教育出版社，2010年
[6]周品，赵新芬.MATLAB数学建模与分析，北京：国防工业出版社，2006年
[7]唐子来，朱弋宇.世界博览会的经典案例研究之四2000 年汉诺威世博会[J].城市规划汇刊，2004 年4 月：49-52.
[8]姜旭平.网络整合营销传播，北京：清华大学出版社.2007年
关键词：模型
一、模型的介绍
目前消费者不只关注电视，它们利用社交网络获得更加丰富的信息和网友的评论，这给众多企业提供了宣传自己的机会。微博，twitter之类的社交网站通过用户之间的链接关系可以迅速实现信息传递量的爆炸式增长，然而随着信息覆盖率的增加、粉丝交叉数量的增多，能有效增加的粉丝数量越来越少，本模型通过建立有效粉丝增长模型，利用几何概型的理论来预测存在可能存在粉丝交叉情况下的网络广告覆盖情况，模拟了信息传递量增长的过程。
为了简化粉丝增加的研究过程我们假定所有的互联网用户只存在三个层次，即推广者、一级粉丝（由推广者发展的粉丝）、二级粉丝（由一级粉丝发展的粉丝），于是所有看到广告的人必然是三种身份中的一种，又因为我们假设互联网用户成为粉丝的同时即看到带有广告的消息，我们可以把消息传播的过程简化为有效粉丝增加的过程，最终的有效粉丝数总数即为最终的广告转播的有效覆盖人数。
我们引入有效粉丝率这个概念，它衡量了当一个人成为其他人粉丝时，是第一次成为别人粉丝这一事件的概率，即每产生一个粉丝，这个粉丝可以作为有效粉丝加入覆盖总人数的概率。假设每天每个互联网用户成为粉丝的情况是随机并且概率相同的，它应该等于一个不考虑粉丝交叉情况的理论粉丝增量乘以当天的有效粉丝率P，每天产生粉丝这个事件可以考虑为一个如下图所示的几何概型：
假设这是第n 天的覆盖情况示意图，其中大圈A 表示潜在用户总体，每天产生的粉丝都来自这个总体内，小圈a（n）表示广告已覆盖人数，它是集合A 的子集。每天产生粉丝的过程可以考虑为投针的过程，每向A 中投入一根针（即产生一个新粉丝），它落于任何一处是等可能的，它有可能落入a（n）中成为无效粉丝增加量，也可能落入a（n）以外A以内的空白处成为有效粉丝增加量，每个互联网用户看做是几何图形中的一个点，那么原来的面积就可以以对应的互联网用户的人数来代替，由符号说明可知第n 天的有效粉丝率可以表示为：
■
可以初步定性判断的事实是，随着天数增加，a（n）越来越大，有效粉丝率越来越小，所以P 随天数n 的变化而变化，同样可以用一个数列P（n）表示，当n 无限增大的时候，p（n）越来越小，a（n）越来越大，可以预见当n 趋近于无穷大时，P（n）趋近于0，a（n）趋近于总体A。
知道了这个概率，我们还需要知道每天的理论粉丝增量即如果没有交叉的情况下粉丝的增加量，这个增加量分为两部分，一部分是这一天推广者新增的粉丝人数（根据统计结果设为500），另一部分是截止到这一天所有的一级粉丝每人产生的二级粉丝人数（根据统计结果设为20），然而截止到这一天的所有一级粉丝在计算的时候仍然要考虑前面提到的粉丝有效率，因为推广者的一级粉丝虽然按照假设6在不同的天数中不会重叠，但当他成为一级粉丝的时候，他可能已经是其他一级粉丝的二级粉丝，那么根据假设5，他为无效粉丝，因此每天增加的一级粉丝同样要等于这一天推广者新增的粉丝人数乘以当天的有效粉丝率。
这样，每天的有效粉丝率跟前一天的覆盖总人数有关，而这一天的覆盖总人数又与这天的有效覆盖率有关，可以得到它们之间的递推关系，运用matlab 程序，即可模拟出若干天之后总的覆盖人数。
由上述得出的一般结论的基础上加入在2 亿潜在用户中达到40%覆盖率的条件，并在给出两种增加粉丝者的情况下解决成本最小化的要求。
在模型的求解中我们看到，若只有专业推广员，则三个推广员便可以达到要求的覆盖率，因此我们应用枚举法来得出成本最小的最优化结果。
二、基本假设
1. 假设在最开始的阶段推广者没有粉丝，并且只有推广者知道这个消息。
2. 假设每个互联网用户彼此独立。
3. 假设在同一天，推广者产生一级粉丝和这些一级粉丝产生二级粉丝同时完成，且视为瞬间完成。
4. 假设每个人成为粉丝的同时就看到带有广告的信息。
5. 假设每天任何一个网络用户等可能成为推广者的一级粉丝或任何一个一级粉丝的二级粉丝，但其性质用户第一次成为的粉丝性质决定，如先成为了一级粉丝，则之后若成为其他一级粉丝的二级粉丝，他仍算一级粉丝。
6. 假设暂不考虑每天产生粉丝时这些粉丝内部交叉的情况，只考虑每天和这一天以前的所有的粉丝有可能交叉的情况。
7. 假设雇佣推广者以100天为单位。
8. 假设每个互联网用户的粉丝数不限量，且一个互联网用户至多能成为同一个人粉丝一次；
三、符号说明
P： 有效粉丝率
A： 最初的网络用户总量，即潜在用户总数
n： 天数 P（n）： 第n 天新产生粉丝时多对应的的有效粉丝率
a（n）： 第n 天带有广告的奥运消息的总覆盖人数
b（n）： 第n 天新增的有效粉丝数
S（n）： 数列P（n）的前n 项和
X： 专业推广者人数
Y： 兼职宣传者人数
W1： 只用专业推广者每天需要的费用
W2： 只用兼职宣传者每天需要的费用
W3： 同时使用专业推广者和兼职宣传者所达到的最小每天所需费用
四、模型的建立
1.由前面的分析，第n 天的有效粉丝率和前一天的覆盖人数有如下关系：
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2.第n 天总的覆盖人数与前一天的覆盖人数有如下关系：
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3.对于数列P（n）：
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4.第n 天的有效新增粉丝数与当天有效粉丝率有如下关系：
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5.因为最终要求出是给定天数和总体数后a（n）的值，所以将上述所有关系整理为两个递推公式：
■（1）
■（2）
其中因为第一天推广者产生500 个粉丝，并且根据假设3这500 粉丝每人产生20 个粉丝同时完成，根据假设6 不考虑这些粉丝内部的交叉重复，所以有a（1）=10501，P（1）=1。
6.根据递推公式（1）（2）编写matlab 递归函数，考虑到总体A 可能很大，若直接编写关于n 和A 的二元函数，matlab 建立的矩阵会超出其存储范围，因此编写关于n 的一元函数，计算时根据不同的总体每次修改A 值即可。编写的matlab 代码见附录。
五、模型的检验
我们可以假定A 取不同的数值，从而求得在不同数量的潜在用户群中，广告覆盖的速度和规模，例如取A 为1亿人，修改代码后得到计算结果如下：
■
而且我们可以利用这个模型验证当n 很大的时候，a（n）趋近于A，并且直观看出广告覆盖人数随时间变化的关系，我们仍取总体A 为2亿，取n 从1增加至600 天的范围内，用matlab 绘制数列a（n）散点图如下 （绘图代码见附录）：
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用matlab 绘制有效粉丝率P（n）随天数变化的散点图如下：
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由a（n）的图像可以看出，覆盖人数增长曲线近似呈现出“S”形，即开始阶段增长率越来越大，当n 达到一定程度之后增长率达到最大值，随后增长速度开始减缓，最后无限趋近总体大A，符合实际情况。另由P（n）的图像可以看出，随着天数的增加，有效粉丝率从1逐渐减少最后趋近于0，并呈现倒“S”的形状。
六、模型评价与改进思路
该模型对于粉丝存在交叉的情况进行了比较恰当的简化假设，用几何概型模拟了粉丝交叉的概率以及概率的变化情况，并且针对函数表达式求解困难的情况考虑运用递归思想借助matlab 求解。问题二的方案选择性问题定性分析与定量计算相结合，使求解过程大大简化。 分析本模型有以下优点和需要改进的地方：
优点：
1. 简便，可行性高，符合实际，易于推广。
2. 考虑了粉丝交叉的情况，并引入了粉丝覆盖率的概念，形象地模拟出了网络广告传播的真实情况。
然而此模型理想化假设较多，还有很多现实因素未作考虑， 有以下需要改进的地方如：
1. 现实中不仅仅不同天的粉丝有重复情况，同一天的一级粉丝和二级粉丝依然可能发生重复，该模型为了求解方便没有考虑，这个因素的考虑与否可能对结果造成较大影响。
2. 现实中不可能只有推广者、一级粉丝、二级粉丝三个层次，还会有更多层次的粉丝，该模型未作进一步考虑，这个因素也可能对结果造成较大影响。
参考文献：
[1]中国新闻网，中国网民数量达到 5.13 亿 政务微博超五万， http：//news.cn.yahoo.com/ypen/20120218/871165.html，2012年4 月14 日
[2]朱旭，李换琴，籍万新.matlab 软件与基础数学试验，西安：西安交通大学出版社，2008年
[3]赵仪娜.概率论与数理统计，西安：西安交通大学出版社，2009年
[4]杨起帆，何勇，谈之奕.数学建模竞赛，杭州：浙江大学出版社，2005年
[5]李贤平.概率论基础，北京：高等教育出版社，2010年
[6]周品，赵新芬.MATLAB数学建模与分析，北京：国防工业出版社，2006年
[7]唐子来，朱弋宇.世界博览会的经典案例研究之四2000 年汉诺威世博会[J].城市规划汇刊，2004 年4 月：49-52.
[8]姜旭平.网络整合营销传播，北京：清华大学出版社.2007年