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考点1全等三角形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．夹边就是三角形中相邻两角的公共边．夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角．
例1如图1，BD，AC交于O，OA＝OD，用“SAS”证△AOB≌△DOC，还需（）.
A. AB = DCB.OB = OC
C.∠A = ∠D D.∠AOB = ∠DOC
解析：此题的考查要点是“SAS”定理.用“SAS”证全等要有三个独立条件，已知OA = OD，显然还差两个，而AC与BD的相交可得∠ AOB与∠ DOC是一对对顶角，第三个条件应该围绕夹∠AOB、∠DOC的两边来找，显然OB与OC应是另一组夹边.选B.
点评：解答本题的关键是找出对顶角，然后利用“边角边”定理找到另一组对应边.
考点2全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
例2如图2，△ABD≌△CDB，且AB、CD是对应边. 下面四个结论中不正确的是（）.
A.△ABD和△CDB的面积相等
B.△ABD和△CDB的周长相等
C.∠A + ∠ABD = ∠C+∠CBD
D. AD∥BC，且AD = BC
解析：由于两个三角形完全重合，故面积、周长相等.因为AB和CD是对应边，则AD与BC是对应边，∠ADB = ∠CBD，因此AD∥BC且AD = BC.故C符合题意.
点评：解答本题的关键是要知道两个全等三角形中，对应顶点在对应的位置上，这样就不会找错对应角.
考点3全等三角形的判定
选择哪种判定方法必须根据已知条件而定，详细内容见下表：
例3在△ABC中，AD为BC边上的中线，求证：AD＜ （AB + AC）.
解析：通过构造辅助线，利用全等三角形将线段AD，AB，AC转化到同一个三角形中，由三角形“两边之和大于第三边”即可证，证明过程如下：
延长AD至G，使DG = AD，连结BG.
在△ADC和△GDB中，
点评：将中线加倍是常用的作辅助线方法.
考点4 变换
只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换．全等变换包括以下三种：
①平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换. 如图4，把△ABC沿直线BC移动到△A1B1C1和△A2B2C2位置，就是平移变换.
②对称变换：将图形沿某直线翻折180O，这种变换叫做对称变换.如图5，将△ABC翻折180O到△ABD的位置，就是对称变换．
③旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换. 如图6，将△ABC绕过A点旋转180O到△AED的位置，就是旋转变换.
我们知道，无论是平移变换、对称变换还是旋转变换，变换前后的两个图形全等，具有全等的所有性质．
例4如图7，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C = 90O.
（1）操作并观察，如图7，将三角板的45O角的顶点与点C重合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转，观察在点E、F的位置发生变化时，AE、EF、FB中最长的线段是否始终是EF？
写出观察结果.
（2）探索：AE、EF、FB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三角形（即能否有EF2= AE2 + BF2）？如果能，试加以证明.
解析：（1）只须旋转∠ECF再用刻度尺量一量或观察，即可得到.
（2）要判断EF2= AE2 + BF2，思路是把AE、EF、FB搬到同一个三角形中，通常有平移、翻折、旋转等方法，解答此题用翻折的方法，得到与AE、BF相等的线段，并且它们和EF在同一个三角形中.
解答过程如下：
（1）观察结果是：当45O角的顶点与点C重合，并将这个角绕着点C在∠ACB内部旋转时，AE、EF、FB中最长的线段始终是EF.
（2）AE、EF、FB三条线段能构成以EF为斜边的直角三角形，证明如下：
如图在∠ECF的内部作∠ECG = ∠ACE，
使CG = AC，连结EG，FG，
∴△ACE≌△GCE，
∴∠A = ∠CGE，同理∠B = ∠CGF，
∵∠A + ∠B = 90O，
∴∠CGE + ∠CGF = 90O，
∴∠EGF = 90O，EF为斜边.
点评：探索、猜测是整个题目的重点、难点，从操作中获取信息是探索问题过程中最重要的.
反思
1.考纲要求
理解全等形的有关概念和性质，并会运用性质定理进行计算；掌握全等三角形的判定方法，会运用定理进行简单的推理或计算；能够运用全等三角形的性质和判定定理解决实际问题，培养几何计算和逻辑推理能力，养成用数学知识解决问题的意识.
2.构造全等三角形的方法
寻求全等条件，在证明两条线段（或两个角）相等的时候，若它们所在的两个三角形不全等，就必须添加辅助线，构造全等三角形.常见辅助线有：①连结某两个已知点；②过某已知点，作某已知直线的平行线；③延长某已知线段到某个点，或与某已知直线相交；④作一个角等于已知角.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
能够完全重合的两个图形叫做全等形．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．夹边就是三角形中相邻两角的公共边．夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角．
例1如图1，BD，AC交于O，OA＝OD，用“SAS”证△AOB≌△DOC，还需（）.
A. AB = DCB.OB = OC
C.∠A = ∠D D.∠AOB = ∠DOC
解析：此题的考查要点是“SAS”定理.用“SAS”证全等要有三个独立条件，已知OA = OD，显然还差两个，而AC与BD的相交可得∠ AOB与∠ DOC是一对对顶角，第三个条件应该围绕夹∠AOB、∠DOC的两边来找，显然OB与OC应是另一组夹边.选B.
点评：解答本题的关键是找出对顶角，然后利用“边角边”定理找到另一组对应边.
考点2全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
例2如图2，△ABD≌△CDB，且AB、CD是对应边. 下面四个结论中不正确的是（）.
A.△ABD和△CDB的面积相等
B.△ABD和△CDB的周长相等
C.∠A + ∠ABD = ∠C+∠CBD
D. AD∥BC，且AD = BC
解析：由于两个三角形完全重合，故面积、周长相等.因为AB和CD是对应边，则AD与BC是对应边，∠ADB = ∠CBD，因此AD∥BC且AD = BC.故C符合题意.
点评：解答本题的关键是要知道两个全等三角形中，对应顶点在对应的位置上，这样就不会找错对应角.
考点3全等三角形的判定
选择哪种判定方法必须根据已知条件而定，详细内容见下表：
例3在△ABC中，AD为BC边上的中线，求证：AD＜ （AB + AC）.
解析：通过构造辅助线，利用全等三角形将线段AD，AB，AC转化到同一个三角形中，由三角形“两边之和大于第三边”即可证，证明过程如下：
延长AD至G，使DG = AD，连结BG.
在△ADC和△GDB中，
点评：将中线加倍是常用的作辅助线方法.
考点4 变换
只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换．全等变换包括以下三种：
①平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换. 如图4，把△ABC沿直线BC移动到△A1B1C1和△A2B2C2位置，就是平移变换.
②对称变换：将图形沿某直线翻折180O，这种变换叫做对称变换.如图5，将△ABC翻折180O到△ABD的位置，就是对称变换．
③旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换. 如图6，将△ABC绕过A点旋转180O到△AED的位置，就是旋转变换.
我们知道，无论是平移变换、对称变换还是旋转变换，变换前后的两个图形全等，具有全等的所有性质．
例4如图7，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C = 90O.
（1）操作并观察，如图7，将三角板的45O角的顶点与点C重合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转，观察在点E、F的位置发生变化时，AE、EF、FB中最长的线段是否始终是EF？
写出观察结果.
（2）探索：AE、EF、FB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三角形（即能否有EF2= AE2 + BF2）？如果能，试加以证明.
解析：（1）只须旋转∠ECF再用刻度尺量一量或观察，即可得到.
（2）要判断EF2= AE2 + BF2，思路是把AE、EF、FB搬到同一个三角形中，通常有平移、翻折、旋转等方法，解答此题用翻折的方法，得到与AE、BF相等的线段，并且它们和EF在同一个三角形中.
解答过程如下：
（1）观察结果是：当45O角的顶点与点C重合，并将这个角绕着点C在∠ACB内部旋转时，AE、EF、FB中最长的线段始终是EF.
（2）AE、EF、FB三条线段能构成以EF为斜边的直角三角形，证明如下：
如图在∠ECF的内部作∠ECG = ∠ACE，
使CG = AC，连结EG，FG，
∴△ACE≌△GCE，
∴∠A = ∠CGE，同理∠B = ∠CGF，
∵∠A + ∠B = 90O，
∴∠CGE + ∠CGF = 90O，
∴∠EGF = 90O，EF为斜边.
点评：探索、猜测是整个题目的重点、难点，从操作中获取信息是探索问题过程中最重要的.
反思
1.考纲要求
理解全等形的有关概念和性质，并会运用性质定理进行计算；掌握全等三角形的判定方法，会运用定理进行简单的推理或计算；能够运用全等三角形的性质和判定定理解决实际问题，培养几何计算和逻辑推理能力，养成用数学知识解决问题的意识.
2.构造全等三角形的方法
寻求全等条件，在证明两条线段（或两个角）相等的时候，若它们所在的两个三角形不全等，就必须添加辅助线，构造全等三角形.常见辅助线有：①连结某两个已知点；②过某已知点，作某已知直线的平行线；③延长某已知线段到某个点，或与某已知直线相交；④作一个角等于已知角.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”