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[摘 要]“笔算多位数乘一位数”是衔接“表内乘法”和“多位数乘法”的重要内容。根据一线教师的困惑，对比分析四个版本教材和学生的学习起点，重组教学路径进行课堂教学实践，并在实践后继续思考，整理出运算教学的主要策略。
[关键词]计算教学;运算教学;笔算;多位数乘一位数
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）20-0020-03
“笔算多位数乘一位数”是学生在学习了“表内乘法”和“两位数乘一位数口算（不进位）”的基础上学习的。本内容是今后学习多位数乘两位数、除数是两位数的除法的基础，也是学生建立和发展位值概念的重要基础。对于三位数乘一位数的笔算教学，一些教师认为就是教学理解算理、掌握算法。这样的认识背后有没有隐忧？计算教学仅仅是让学生掌握计算程序？在计算教学中如何培养学生灵活的思维能力？弄清楚这些问题，就能实现从计算教学走向运算教学。
一、隐忧：学生笔算学习起点调查
在学习了两位数乘一位数后，笔者对三（3）班和三（4）班共90位学生进行了笔算三位数乘一位数的前测，结果见表1。
对以上数据进行分析，笔者发现学生在计算不进位、进1次位或进2次位的隔位进位的三位数乘一位数时，正确率都超过90%，说明学生已经具备了将笔算两位数乘一位数的计算方法迁移到笔算三位数乘一位数的能力。但在与出错的学生访谈中发现，学生笔算错误的原因集中在2个方面。
1. 叠加进位易算错
大部分学生都能顺利地将两位数乘一位数的计算方法迁移到三位数乘一位数，但在计算乘与加的叠加进位时出现了错误。比如，计算385×6，385的每一位与6相乘时都向前一位进位，而且乘法进位过程中又出现了两位数加一位数的加法进位： 48 3和18 5，这样的乘与加的叠加进位，使学生心算时感到非常困难。
2.中间有0会误算
在计算末尾有0的三位数乘一位数时， 学生能把口算整十、整百数乘一位数的方法迁移过来，末尾的0不参与计算，前两位与一位数乘好后再添上末尾的0，相当于还是在计算两位数乘一位数。但计算中间有0的三位数乘一位数时，学生会根据“从个位起，依次相乘”的运算程序，让0也参与计算，误把0×6 2的得数算成8。
计算三位数乘一位数的乘法，学生会用哪些运算策略呢？统计三（3）班、三（4）班两个班的学生计算三位数乘一位数所用的方法，结果见表2。
这两道题的数据特点很明显，都可以通过改变运算顺序进行巧算。但被测的90位学生中，只有1%至2.2%的学生用了简便方法（300×4 25×4和400×4-2×4），97.8%以上的学生都是程序化地在用笔算方法进行计算。这其实有一个弊端：学生只会像计算机一样，按部就班地从三位数的个位起，依次与一位数相乘。积的书写也是从个位起，一位挨着一位去写，不用考虑位值。虽然这样能计算出正确得数，但教师不清楚学生是否真的理解了算理，会不会给将来的教学埋下隐患。
怀着这种的担心，笔者对四年级的数学教师进行了访谈，果然发现一些四年级学生在学习三位数乘两位数时出现了问题：对位值概念理解模糊，第二层积的位置反复写错。这些学生出现问题的源头就在于学习多位数乘一位数时只记住了乘的顺序，没弄明白乘的顺序的本质。造成学生算法僵化、不理解乘的顺序的本质的原因与教材的编排也有一定的关系。
二、分析：“笔算多位数乘一位数”的教材编排对比
1.四个版本教材的对比
笔者对人教版、苏教版、北师大版和浙教版教材的相关教学内容的编排进行比较，结果见表3。
对比四个版本教材后发现以下三个异同点：一是将三位数乘一位数作为例题的教材版本有两个，占50%;二是将中间或末尾有0的三位数的乘法作为例题的教材版本有三个，占75%;三是教学笔算乘法采用固定程序“从个位算起，依次相乘”的教材版本有三个，占75%。从四个版本教材的异同点来看，人教版、苏教版、北师大版教材都更侧重于三位数乘一位的教学，笔算方法唯一，即“从个位算起，依次相乘”，学生容易掌握，但挑战不大。浙教版教材注重三位数乘一位数的教学，笔算方法多样，即乘的顺序有多种。这样的编排更有利于学生根据实际情况选择合理的算法，灵活计算，但挑战较大。
2.人教版教材“笔算多位数乘一位数”内容编排分析
人教版教材“笔算多位数乘一位数”的教学安排了6道例题（见表4）。
结合学生前测结果、四个版本教材的对比、人教版教材多位数乘一位数笔算的编排分析，可以得到三个结论：
结论一：教材默认学生能使用迁移的方法自己学会计算三位数乘一位数，但从实际教学来看，学生还是需要正式学习的。
结论二：在学生会计算一般三位数乘一位數后，再安排学习中间有0和末尾有0的三位数乘一位数是有必要的，对学生对位值原理的理解有帮助。
结论三：学生在笔算时熟练掌握了“从个位算起，依次相乘”的计算程序，并能熟练计算，不足以说明他们真的会算了，只有理解了任意顺序笔算才是真正懂了笔算的本质。
三、重组：笔算教学学习路径设计
根据以上分析，“笔算多位数乘一位数”的教学可以这样重组（见表5）。
“笔算两位数乘一位数”的教学，首先借助小棒让学生理解两位数乘一位数可以看成几个几十和几个几来算，即用口算的方法学习笔算。可以从低位乘起，也可从高位乘起（如下图），也就是两位数的每一位都要与一位数相乘，和运算的顺序无关，并且做好从两层积过渡到一层积的书写。接着，借助小棒让学生依次理解满十进一、叠加进位的算理。
将中间或末尾有0的三位数乘一位数的教学提前，解开固定的计算程序的束缚，引导学生单纯从算理的角度去思考，学生就不难发现304×6表示6个304，可以看成6个300和6个4，用300×6 4×6来算（如右图），这样十位的0完全没有参与计算的必要，而只用“三六十八、四六二十四”两句口诀就搞定。在书写时注意位值原理，明确“18”表示18个百，即1800，1和8分别记在千位和百位上。 有了以上两步的经验，学生在学习一般的三位数乘一位数时，也能从“从个位算起，依次相乘”的固定程序中走出来了。如下图所示，计算385×6时可以将原式转化成三层积：300×6 80×6 5×6（高位算起或低位算起均认可），或转化为两层积：85×6 300×6（踢百法）、380×6 5×6（踢个法）或305×6 80×6（踢十法）。经过转化，笔算三位数乘一位数中叠加进位的难点被轻松化解。而且，写成两层积或三层积的形式时，学生不再是一位一位挨着写过去，而会去关注位值，思考每层积表示的含义。通过多种转化策略的交流，学生顿悟了算法的本质：多位数乘一位数就是用一位数与多位数的每一位都相乘，而与运算顺序无关。
四、思考：实现从计算教学走向运算教学的策略
计算能力是指利用一定的运算程序计算出结果的技能，而运算能力是运算技能和逻辑思维能力等综合而成的能力。随着时代的发展，我们对于人才的培养逐渐从技能的培训转到了能力的培养。那么运算能力的培养如何落地？笔者从课堂教学实践中整理出了两条策略。
1.抓住本质促使理法交融
学生的学习是由外在知识与内在知识结构之间的交互作用实现的。每一个新知的学习，都是从已有知识和经验中转化而来的，计算教学亦是如此。比如将三位数乘一位数的新知转化成已经学过的两位数乘一位数加整百数乘一位数（踢百法）、几百几十的数乘一位数 表内乘法（踢个法）、中间有0的三位数乘一位数 表内乘法（踢十法），或者转化成几百、几十和几分别乘一位数（三层积）展开计算，通过小棒、人民币等帮助学生直观理解每种算法的算理，也就是多位数的每一位都和一位数相乘是算法的本质，而与运算的先后顺序无关。并且让学生能在竖式上确定每层积的位置，也就是明确位值概念，将算理和算法合二为一，真正做到知“书”达“理”。在学习新知的过程中，学生还培养了用转化的思想来研究未知、解决问题的能力。
“笔算三位数乘一位数”的新课结束后，笔者对实验班和对照班进行了后测（测试题如下）。
3个选项，分别是多算了5个20、5个2、2个67。学生需要充分理解算理、明确位值概念，才能找到正确选项。实验班与对照班对比，本题正确率分别是86.3%和25.2%。这说明实验班的学生对笔算多位数乘一位数的算理理解更深刻、更到位，这对他们后续学习的帮助是比较大的。
2.挑战学习促使思维升级
运算教学中使学生理解算理、掌握算法是基础目标，发展思维则是高阶目标。运算教学中的练习题，要避免机械操练的题目，多设计一些挑战性的学习任务，驱动学生学会分析、学会思考、学会概括、学会推理。比如：两位数乘一位数的练习可以改编成一道比较开放的挑战题（如右图）。
要找出其中一个解并不难，但要准确地找出所有解，光靠计算技能是不够的，还要具备策略意识去分析解决问题的路径：首先考虑得数的个位是2，由表内乘法得出的积末尾有2的只有2、12、32、42、72这五个，所以对应的表内乘法分别是1×2、2×6、3×4、4×8、6×7、8×9这六对。再看得数是五百多，说明十位上的数乘一位数得四百多或五百多，那么一位数至少是5，则只能是6、7、8、9这四种情况，马上排除1×2、3×4這两对。这样按一定的策略去思考，就能快速而准确地得到8种不同填法。再如，三位数乘一位数可以设计挑战性练习：用1、3、5、8组成三位数乘一位数的算式，使积最大。如果学生只是一次次地去试算，那思维是低级又低效的。教师要引导学生用智慧去分析：首先确定8和5的位置，有500×8和800×5两种可能，它们的积相同;接着看后两位，31×8大于31×5，所以确定把最大数8作为一位数，5、3、1分别作为三位数的百位、十位和个位。通过开放的挑战性学习任务，让学生在运算中提升策略意识，提高逻辑推理能力。
总之，教师要根据课程标准的理念，从计算教学走向运算教学，讲究“理”“法”相融。以计算教学作为载体，少一些机械操练，多一些思维训练，在提升学生的运算能力的同时培养学生的数学思维能力，让学生学会学习。
（责编 吴美玲）
[关键词]计算教学;运算教学;笔算;多位数乘一位数
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）20-0020-03
“笔算多位数乘一位数”是学生在学习了“表内乘法”和“两位数乘一位数口算（不进位）”的基础上学习的。本内容是今后学习多位数乘两位数、除数是两位数的除法的基础，也是学生建立和发展位值概念的重要基础。对于三位数乘一位数的笔算教学，一些教师认为就是教学理解算理、掌握算法。这样的认识背后有没有隐忧？计算教学仅仅是让学生掌握计算程序？在计算教学中如何培养学生灵活的思维能力？弄清楚这些问题，就能实现从计算教学走向运算教学。
一、隐忧：学生笔算学习起点调查
在学习了两位数乘一位数后，笔者对三（3）班和三（4）班共90位学生进行了笔算三位数乘一位数的前测，结果见表1。
对以上数据进行分析，笔者发现学生在计算不进位、进1次位或进2次位的隔位进位的三位数乘一位数时，正确率都超过90%，说明学生已经具备了将笔算两位数乘一位数的计算方法迁移到笔算三位数乘一位数的能力。但在与出错的学生访谈中发现，学生笔算错误的原因集中在2个方面。
1. 叠加进位易算错
大部分学生都能顺利地将两位数乘一位数的计算方法迁移到三位数乘一位数，但在计算乘与加的叠加进位时出现了错误。比如，计算385×6，385的每一位与6相乘时都向前一位进位，而且乘法进位过程中又出现了两位数加一位数的加法进位： 48 3和18 5，这样的乘与加的叠加进位，使学生心算时感到非常困难。
2.中间有0会误算
在计算末尾有0的三位数乘一位数时， 学生能把口算整十、整百数乘一位数的方法迁移过来，末尾的0不参与计算，前两位与一位数乘好后再添上末尾的0，相当于还是在计算两位数乘一位数。但计算中间有0的三位数乘一位数时，学生会根据“从个位起，依次相乘”的运算程序，让0也参与计算，误把0×6 2的得数算成8。
计算三位数乘一位数的乘法，学生会用哪些运算策略呢？统计三（3）班、三（4）班两个班的学生计算三位数乘一位数所用的方法，结果见表2。
这两道题的数据特点很明显，都可以通过改变运算顺序进行巧算。但被测的90位学生中，只有1%至2.2%的学生用了简便方法（300×4 25×4和400×4-2×4），97.8%以上的学生都是程序化地在用笔算方法进行计算。这其实有一个弊端：学生只会像计算机一样，按部就班地从三位数的个位起，依次与一位数相乘。积的书写也是从个位起，一位挨着一位去写，不用考虑位值。虽然这样能计算出正确得数，但教师不清楚学生是否真的理解了算理，会不会给将来的教学埋下隐患。
怀着这种的担心，笔者对四年级的数学教师进行了访谈，果然发现一些四年级学生在学习三位数乘两位数时出现了问题：对位值概念理解模糊，第二层积的位置反复写错。这些学生出现问题的源头就在于学习多位数乘一位数时只记住了乘的顺序，没弄明白乘的顺序的本质。造成学生算法僵化、不理解乘的顺序的本质的原因与教材的编排也有一定的关系。
二、分析：“笔算多位数乘一位数”的教材编排对比
1.四个版本教材的对比
笔者对人教版、苏教版、北师大版和浙教版教材的相关教学内容的编排进行比较，结果见表3。
对比四个版本教材后发现以下三个异同点：一是将三位数乘一位数作为例题的教材版本有两个，占50%;二是将中间或末尾有0的三位数的乘法作为例题的教材版本有三个，占75%;三是教学笔算乘法采用固定程序“从个位算起，依次相乘”的教材版本有三个，占75%。从四个版本教材的异同点来看，人教版、苏教版、北师大版教材都更侧重于三位数乘一位的教学，笔算方法唯一，即“从个位算起，依次相乘”，学生容易掌握，但挑战不大。浙教版教材注重三位数乘一位数的教学，笔算方法多样，即乘的顺序有多种。这样的编排更有利于学生根据实际情况选择合理的算法，灵活计算，但挑战较大。
2.人教版教材“笔算多位数乘一位数”内容编排分析
人教版教材“笔算多位数乘一位数”的教学安排了6道例题（见表4）。
结合学生前测结果、四个版本教材的对比、人教版教材多位数乘一位数笔算的编排分析，可以得到三个结论：
结论一：教材默认学生能使用迁移的方法自己学会计算三位数乘一位数，但从实际教学来看，学生还是需要正式学习的。
结论二：在学生会计算一般三位数乘一位數后，再安排学习中间有0和末尾有0的三位数乘一位数是有必要的，对学生对位值原理的理解有帮助。
结论三：学生在笔算时熟练掌握了“从个位算起，依次相乘”的计算程序，并能熟练计算，不足以说明他们真的会算了，只有理解了任意顺序笔算才是真正懂了笔算的本质。
三、重组：笔算教学学习路径设计
根据以上分析，“笔算多位数乘一位数”的教学可以这样重组（见表5）。
“笔算两位数乘一位数”的教学，首先借助小棒让学生理解两位数乘一位数可以看成几个几十和几个几来算，即用口算的方法学习笔算。可以从低位乘起，也可从高位乘起（如下图），也就是两位数的每一位都要与一位数相乘，和运算的顺序无关，并且做好从两层积过渡到一层积的书写。接着，借助小棒让学生依次理解满十进一、叠加进位的算理。
将中间或末尾有0的三位数乘一位数的教学提前，解开固定的计算程序的束缚，引导学生单纯从算理的角度去思考，学生就不难发现304×6表示6个304，可以看成6个300和6个4，用300×6 4×6来算（如右图），这样十位的0完全没有参与计算的必要，而只用“三六十八、四六二十四”两句口诀就搞定。在书写时注意位值原理，明确“18”表示18个百，即1800，1和8分别记在千位和百位上。 有了以上两步的经验，学生在学习一般的三位数乘一位数时，也能从“从个位算起，依次相乘”的固定程序中走出来了。如下图所示，计算385×6时可以将原式转化成三层积：300×6 80×6 5×6（高位算起或低位算起均认可），或转化为两层积：85×6 300×6（踢百法）、380×6 5×6（踢个法）或305×6 80×6（踢十法）。经过转化，笔算三位数乘一位数中叠加进位的难点被轻松化解。而且，写成两层积或三层积的形式时，学生不再是一位一位挨着写过去，而会去关注位值，思考每层积表示的含义。通过多种转化策略的交流，学生顿悟了算法的本质：多位数乘一位数就是用一位数与多位数的每一位都相乘，而与运算顺序无关。
四、思考：实现从计算教学走向运算教学的策略
计算能力是指利用一定的运算程序计算出结果的技能，而运算能力是运算技能和逻辑思维能力等综合而成的能力。随着时代的发展，我们对于人才的培养逐渐从技能的培训转到了能力的培养。那么运算能力的培养如何落地？笔者从课堂教学实践中整理出了两条策略。
1.抓住本质促使理法交融
学生的学习是由外在知识与内在知识结构之间的交互作用实现的。每一个新知的学习，都是从已有知识和经验中转化而来的，计算教学亦是如此。比如将三位数乘一位数的新知转化成已经学过的两位数乘一位数加整百数乘一位数（踢百法）、几百几十的数乘一位数 表内乘法（踢个法）、中间有0的三位数乘一位数 表内乘法（踢十法），或者转化成几百、几十和几分别乘一位数（三层积）展开计算，通过小棒、人民币等帮助学生直观理解每种算法的算理，也就是多位数的每一位都和一位数相乘是算法的本质，而与运算的先后顺序无关。并且让学生能在竖式上确定每层积的位置，也就是明确位值概念，将算理和算法合二为一，真正做到知“书”达“理”。在学习新知的过程中，学生还培养了用转化的思想来研究未知、解决问题的能力。
“笔算三位数乘一位数”的新课结束后，笔者对实验班和对照班进行了后测（测试题如下）。
3个选项，分别是多算了5个20、5个2、2个67。学生需要充分理解算理、明确位值概念，才能找到正确选项。实验班与对照班对比，本题正确率分别是86.3%和25.2%。这说明实验班的学生对笔算多位数乘一位数的算理理解更深刻、更到位，这对他们后续学习的帮助是比较大的。
2.挑战学习促使思维升级
运算教学中使学生理解算理、掌握算法是基础目标，发展思维则是高阶目标。运算教学中的练习题，要避免机械操练的题目，多设计一些挑战性的学习任务，驱动学生学会分析、学会思考、学会概括、学会推理。比如：两位数乘一位数的练习可以改编成一道比较开放的挑战题（如右图）。
要找出其中一个解并不难，但要准确地找出所有解，光靠计算技能是不够的，还要具备策略意识去分析解决问题的路径：首先考虑得数的个位是2，由表内乘法得出的积末尾有2的只有2、12、32、42、72这五个，所以对应的表内乘法分别是1×2、2×6、3×4、4×8、6×7、8×9这六对。再看得数是五百多，说明十位上的数乘一位数得四百多或五百多，那么一位数至少是5，则只能是6、7、8、9这四种情况，马上排除1×2、3×4這两对。这样按一定的策略去思考，就能快速而准确地得到8种不同填法。再如，三位数乘一位数可以设计挑战性练习：用1、3、5、8组成三位数乘一位数的算式，使积最大。如果学生只是一次次地去试算，那思维是低级又低效的。教师要引导学生用智慧去分析：首先确定8和5的位置，有500×8和800×5两种可能，它们的积相同;接着看后两位，31×8大于31×5，所以确定把最大数8作为一位数，5、3、1分别作为三位数的百位、十位和个位。通过开放的挑战性学习任务，让学生在运算中提升策略意识，提高逻辑推理能力。
总之，教师要根据课程标准的理念，从计算教学走向运算教学，讲究“理”“法”相融。以计算教学作为载体，少一些机械操练，多一些思维训练，在提升学生的运算能力的同时培养学生的数学思维能力，让学生学会学习。
（责编 吴美玲）