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自周以真教授首次提出计算思维的概念后[1]，计算思维相关研究得到了国内外学者的高度关注。《普通高中信息技术课程标准（2017年版）》也明确提出将计算思维作为信息技术学科的一项核心素养，计算思维成为21世纪学习者的必备能力。
● 计算思维与数学建模紧密相关
计算思维的本质是抽象和自动化，其中抽象是计算思维能力培养的关键，即将真实世界中的事物或者解决问题的过程通过分解、简化等方式转化为计算机设备可处理的数学模型。[2]抽象更多的是偏向建模，自动化侧重于程序设计。程序设计是信息技术学科一项重要的课程内容，也是培养学生计算思维能力的重要途径之一，建模是数学学科一项重要的能力，而几何图形作为数学教学内容中的重要组成部分，对学生的建模思想培养具有重要的意义，因此结合编程与数学几何来培养学生的计算思维非常值得研究。
● 编程与数学相融合的教学流程和策略
计算思维的过程要素主要包括分解、抽象、自动化、评估等方面。美国麻省理工学院媒体实验室（MIT）终身幼儿园研究小组（Lifelong Kindergarten Group）提出了计算思维主要包括计算概念、计算实践和计算观念的三维框架。[3]其中，计算概念（computational concepts）是指设计者在编程时所使用的概念，学习者在获得该概念后，能够将该计算概念迁移到其他项目和非编程学习的领域，它主要包括顺序、循环、并行、事件、条件、运算符和数据。计算实践（computational practices）聚焦学习者学习和思考的过程，跟计算概念相比，相当于从关注学到了什么到关注如何学习的这个过程的转变。这个过程主要包括递增和重复、测试和调试、再利用和再创作、抽象和模块化。计算观念（computational perspectives）是学习者在经历获得计算概念和计算实践的过程中形成的对这个世界以及对他们自己的认识，主要包括表达、联系和质疑。
结合计算思维的核心过程素和三维框架的内容，以及数学学科的抽象性，可以采用编程与数学融合教学的方式培养学生的计算思维，本文的学科融合切入点是数学几何图形，从小学数学课中简单的平面几何图形切入，符合学生的认知和年龄特点。在小学数学中学生已经学习过用字母表示数的抽象方法，也会用数学语言形容几何图形特征，对函数和参数也有一些了解，这都是开展以计算思维为核心的编程和数学融合教学的重要策略。基于此，笔者提出了编程与数学相融合的教学流程和策略（如下页图1），并以教学案例的形式展开详细介绍。
● 《大自然中美丽的螺旋图》教学案例设计
1.创设真实的问题情境
出示生活中具有艺术气息的漂亮的建筑物造型以及一些自然界中的几何美学例子（如图2、图3），引导学生思考：这些事物的形状有什么共同的特点和规律？学生通过观察和分析会发现，它们都呈现的是一种螺旋状。接着教师可提出问题：如何用编程的方式自动化模拟实现这些螺旋状的图案？
在这个环节，学生刚开始会感到没有头绪，教师可以通过提问、倾听和记录学生想法等措施引导学生认识到解决这个问题需要用到数学与编程相关的知识。
2.简化问题，抽象建模
学生通过分析、观察和讨论发现，图片里面的事物形态都可简化为曲线螺旋图（如图4）。比起曲线图，中小学生对直线段构成的图形更加熟悉，因此可以根据学生已有的知识水平，设计学习支架，帮助学生理解曲线螺旋图的数学规律。
螺旋图是类似螺丝壳纹理的曲线图，它的外形看起来像圆形。学生对画正多边形比较熟悉，如正三角形、正方形，根据数学里的极限思想，圆形可看成是正三十六边形，因此这里可以引导学生思考图4、图5及图6之间的关系和特点，并通过归纳法填写下表。
螺旋图的大小由螺旋图外形的最短边长和最长边长决定，而螺旋图的外形由旋转角度决定，因此螺旋图有两个可变化的参数值，即边长和旋转角度。边长是不断增加的值，旋转角度又与螺旋图外形的边数有数学运算关系，因此，决定螺旋图外观的变量值有两个，即螺旋外形的边长和边数。在数学学科中，字母是一种经常用到的表达抽象和变量的方式，因此，螺旋图的两个变量可用N和M来表示。
3.设计程序，自动化实现
根据前面对螺旋图数学规律的分析，教师可以引导学生用语言总结表达外形分别为三角形、正方形的螺旋图的绘制步骤。通过口头表达，学生对螺旋图的特点和规律相对比较清晰，然后引导学生将数学语言转化为编程语言，这里教师可为学生讲解相关核心编程概念，变量、条件循环以及运算相关的知识，学生在经过不断的调试、修改和优化的过程中可实现曲线螺旋图的自动化模拟，如下页图7所示。
● 拓展提高，交流评价
1.设置拓展任务，帮助学生举一反三
通过“解决现实问题→分析事物的图形特点，化繁为简，并寻找图形的一般规律→将问题抽象成数学模型→设计程序自动化实现”这个过程，学生掌握了相关的计算概念，经历了相关计算实践过程，而且有了一种新的视角来看待周围的事物。但是发展学生的计算思维是需要时间的，接着教师可设置一些拓展性和开放性的问题为学生提供知识和技能迁移的机会，举一反三。问题：螺旋图元素在现实生活中经常会出现，如自然植物，地板和背景墙设计、服装设计以及建筑物雕花和纹身等场景，如何简化并利用程序设计自动化实现如图8（紫甘蓝菜）和图9（蕨类植物的叶子）所示的图案呢？
学生通过仔细观察分析和比较会发现，上面的图也是呈螺旋状，但是又有一些其他的几何元素，图8里面有很多个三角形元素，由内而外螺旋卷成一棵菜，图9是由很多的圆形的露珠分布在螺旋状的叶子上，教师引导学生口头表述两幅图的规律后，鼓励学生简化图形，并在纸上画出来。通过展示、比较学生的作品，最终可将两幅图分别抽象成如图10、图11所示的数学模型。
在设计程序自动化实现上的数学模型时，可先引导学生对图形进行分解，三角形和圆形都可看成是正多边形，故这里可以引入定义函数的概念。函数有两个主要的功能，一种是表达抽象的一般规律，另一种是分解问题，将子问题的程序打包为一个函数，方便在解决复杂问题时调用。定义函数正多边形的代码如图12所示。在调用函数时可通过修改正多边形的边长x和边数y的参数值来实现画三角形和圆形，设计图10和图11的程序如图13和图14所示。
2.展示分享，交流评价
教师可在每个阶段都鼓励学生分享自己的思路，这个反思的过程可帮助学生发展元认知能力。在最后的作品展示环节，教师不能仅关注那些已完成设计任务的学生，还可以展示一些学生的半成品程序，让其他学生通过“读”和“改”一起思考解决问题的方案，以此有效突破学生理解上的困难。
● 结束语
本文探索了数学与信息技术学科中编程教学融合方式培养学生的计算思维，是人文引领的STEM（A-STEM）课程研究成果之一，而如何开展其他跨学科教学来培养学生的计算思维还值得进一步探索。
参考文献：
[1]刘向永，周以真，王荣良，等.计算思维改变信息技术课程[J].中国信息技术教育，2013（06）：5-12.
[2]王繼华.抽象：计算思维能力培养的关键[J].中小学信息技术教育，2016（03）：45-47.
[3]Brennan， K.，
● 计算思维与数学建模紧密相关
计算思维的本质是抽象和自动化，其中抽象是计算思维能力培养的关键，即将真实世界中的事物或者解决问题的过程通过分解、简化等方式转化为计算机设备可处理的数学模型。[2]抽象更多的是偏向建模，自动化侧重于程序设计。程序设计是信息技术学科一项重要的课程内容，也是培养学生计算思维能力的重要途径之一，建模是数学学科一项重要的能力，而几何图形作为数学教学内容中的重要组成部分，对学生的建模思想培养具有重要的意义，因此结合编程与数学几何来培养学生的计算思维非常值得研究。
● 编程与数学相融合的教学流程和策略
计算思维的过程要素主要包括分解、抽象、自动化、评估等方面。美国麻省理工学院媒体实验室（MIT）终身幼儿园研究小组（Lifelong Kindergarten Group）提出了计算思维主要包括计算概念、计算实践和计算观念的三维框架。[3]其中，计算概念（computational concepts）是指设计者在编程时所使用的概念，学习者在获得该概念后，能够将该计算概念迁移到其他项目和非编程学习的领域，它主要包括顺序、循环、并行、事件、条件、运算符和数据。计算实践（computational practices）聚焦学习者学习和思考的过程，跟计算概念相比，相当于从关注学到了什么到关注如何学习的这个过程的转变。这个过程主要包括递增和重复、测试和调试、再利用和再创作、抽象和模块化。计算观念（computational perspectives）是学习者在经历获得计算概念和计算实践的过程中形成的对这个世界以及对他们自己的认识，主要包括表达、联系和质疑。
结合计算思维的核心过程素和三维框架的内容，以及数学学科的抽象性，可以采用编程与数学融合教学的方式培养学生的计算思维，本文的学科融合切入点是数学几何图形，从小学数学课中简单的平面几何图形切入，符合学生的认知和年龄特点。在小学数学中学生已经学习过用字母表示数的抽象方法，也会用数学语言形容几何图形特征，对函数和参数也有一些了解，这都是开展以计算思维为核心的编程和数学融合教学的重要策略。基于此，笔者提出了编程与数学相融合的教学流程和策略（如下页图1），并以教学案例的形式展开详细介绍。
● 《大自然中美丽的螺旋图》教学案例设计
1.创设真实的问题情境
出示生活中具有艺术气息的漂亮的建筑物造型以及一些自然界中的几何美学例子（如图2、图3），引导学生思考：这些事物的形状有什么共同的特点和规律？学生通过观察和分析会发现，它们都呈现的是一种螺旋状。接着教师可提出问题：如何用编程的方式自动化模拟实现这些螺旋状的图案？
在这个环节，学生刚开始会感到没有头绪，教师可以通过提问、倾听和记录学生想法等措施引导学生认识到解决这个问题需要用到数学与编程相关的知识。
2.简化问题，抽象建模
学生通过分析、观察和讨论发现，图片里面的事物形态都可简化为曲线螺旋图（如图4）。比起曲线图，中小学生对直线段构成的图形更加熟悉，因此可以根据学生已有的知识水平，设计学习支架，帮助学生理解曲线螺旋图的数学规律。
螺旋图是类似螺丝壳纹理的曲线图，它的外形看起来像圆形。学生对画正多边形比较熟悉，如正三角形、正方形，根据数学里的极限思想，圆形可看成是正三十六边形，因此这里可以引导学生思考图4、图5及图6之间的关系和特点，并通过归纳法填写下表。
螺旋图的大小由螺旋图外形的最短边长和最长边长决定，而螺旋图的外形由旋转角度决定，因此螺旋图有两个可变化的参数值，即边长和旋转角度。边长是不断增加的值，旋转角度又与螺旋图外形的边数有数学运算关系，因此，决定螺旋图外观的变量值有两个，即螺旋外形的边长和边数。在数学学科中，字母是一种经常用到的表达抽象和变量的方式，因此，螺旋图的两个变量可用N和M来表示。
3.设计程序，自动化实现
根据前面对螺旋图数学规律的分析，教师可以引导学生用语言总结表达外形分别为三角形、正方形的螺旋图的绘制步骤。通过口头表达，学生对螺旋图的特点和规律相对比较清晰，然后引导学生将数学语言转化为编程语言，这里教师可为学生讲解相关核心编程概念，变量、条件循环以及运算相关的知识，学生在经过不断的调试、修改和优化的过程中可实现曲线螺旋图的自动化模拟，如下页图7所示。
● 拓展提高，交流评价
1.设置拓展任务，帮助学生举一反三
通过“解决现实问题→分析事物的图形特点，化繁为简，并寻找图形的一般规律→将问题抽象成数学模型→设计程序自动化实现”这个过程，学生掌握了相关的计算概念，经历了相关计算实践过程，而且有了一种新的视角来看待周围的事物。但是发展学生的计算思维是需要时间的，接着教师可设置一些拓展性和开放性的问题为学生提供知识和技能迁移的机会，举一反三。问题：螺旋图元素在现实生活中经常会出现，如自然植物，地板和背景墙设计、服装设计以及建筑物雕花和纹身等场景，如何简化并利用程序设计自动化实现如图8（紫甘蓝菜）和图9（蕨类植物的叶子）所示的图案呢？
学生通过仔细观察分析和比较会发现，上面的图也是呈螺旋状，但是又有一些其他的几何元素，图8里面有很多个三角形元素，由内而外螺旋卷成一棵菜，图9是由很多的圆形的露珠分布在螺旋状的叶子上，教师引导学生口头表述两幅图的规律后，鼓励学生简化图形，并在纸上画出来。通过展示、比较学生的作品，最终可将两幅图分别抽象成如图10、图11所示的数学模型。
在设计程序自动化实现上的数学模型时，可先引导学生对图形进行分解，三角形和圆形都可看成是正多边形，故这里可以引入定义函数的概念。函数有两个主要的功能，一种是表达抽象的一般规律，另一种是分解问题，将子问题的程序打包为一个函数，方便在解决复杂问题时调用。定义函数正多边形的代码如图12所示。在调用函数时可通过修改正多边形的边长x和边数y的参数值来实现画三角形和圆形，设计图10和图11的程序如图13和图14所示。
2.展示分享，交流评价
教师可在每个阶段都鼓励学生分享自己的思路，这个反思的过程可帮助学生发展元认知能力。在最后的作品展示环节，教师不能仅关注那些已完成设计任务的学生，还可以展示一些学生的半成品程序，让其他学生通过“读”和“改”一起思考解决问题的方案，以此有效突破学生理解上的困难。
● 结束语
本文探索了数学与信息技术学科中编程教学融合方式培养学生的计算思维，是人文引领的STEM（A-STEM）课程研究成果之一，而如何开展其他跨学科教学来培养学生的计算思维还值得进一步探索。
参考文献：
[1]刘向永，周以真，王荣良，等.计算思维改变信息技术课程[J].中国信息技术教育，2013（06）：5-12.
[2]王繼华.抽象：计算思维能力培养的关键[J].中小学信息技术教育，2016（03）：45-47.
[3]Brennan， K.，