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【摘要】目的： 使学生更好地掌握条件概率 方法： 利用实例从正反两方面加以讲解 结论： 条件概率两事件中必有一已经发生事件为核心让学生牢记。
【关键词】条件概率 已经发生的事件 随机事件
【中图分类号】O21 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）10-0145-01
条件概率是概率论的重要内容之一，这部分内容抽象不易理解，学生做起来容易出错。为了解决这一问题，结合多年的教学实践谈一下对条件概率教学的一些方法。
一、结合实例让学生理解条件概率的概念、满足条件并且形成对条件概率的初步认识
定义：设A、B是同一概率空间的两个随机事件，在事件A发生的条件下事件B发生的概率称为B关于A的条件概率记作p（B|A），其中三要素A、B两事件还有一个是条件关系即A是已经发生的事件，B是在A发生前提下的随机事件，条件关系很多情况下采取如“已知……的条件下求……”的形式给出，有时也用另外不明显的形式给出，同学要自己分析。
（一） 明显条件关系的条件概率
（1）事件A∩B≠？准且A∩B≠A或B
例1已知某家庭有三个小孩且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个是男孩的概率？
分析：两个随机件A={三个小孩至少有一个是女孩}B={三个小孩至少有一个是男孩}且事件A已经发生，符合条件概率的三要素。
（2）事件A∩B= A或B
例2 甲乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，求它被甲击中的概率？
分析：事件A={目标被甲击中}B={目标被击中}事件B已经发生，符合条件概率的三要素。
解：由已知得 p（B）=0.6+0.5-0.6×0.5=0.8
（二）不明显条件关系的条件概率
例3某动物活到25岁的概率为0.56，求现年20岁的这种动物活到25岁这一事件的概率？
分析：因为该动物现在20岁，可见该动物活到20岁这个事件为已经发生的事件，又这种动物活到25岁的前提必须先活到20岁，所以所求概率为条件概率。
解：设事件A={该动物活到20岁}B={该动物活到25岁}则 p（A）=0.7 p（B）=0.56
二、结合非条件概率的例题使学生对疑似条件概率加以认识，对条件概率的定义、计算有更深层次的理解
（一）形式上的条件关系与实质上的条件关系的区别
例4 甲、乙、丙三人只有一张电影票，他们决定按甲、乙、丙的顺序抽签，决定谁拥有这张电影票，已知乙拥有了这张电影票，求甲拥有这张电影票的概率？
分析：此题中虽有“已知…，求…”明显的条件关系，但由题中已知抽签是按甲、乙、丙的顺序，所以已知乙抽得电影票的事件的发生与否不可能在真正意义上影响到甲的抽签结果，所以这种条件关系是形式上的条件关系，而非实质上的条件关系。
解： p（甲）=0
（二）消除早一点发生的事件就是条件事件的误区，使学生掌握条件概率与积事件概率的区别
例5 在一个袋子里有形状完全相同的20个球，其中有10个白球10个红球，某人不放回地依次从袋中摸出2个球，求第一次摸出白球后第二次摸出红球的概率？
分析：题中出现“……后……”颇像条件概率的结构形式，但仔细考虑后发现，这里“后”只表示两事件发生的先后顺序，两事件发生与否均是随机事件而不是摸白球这一事件在第一次摸中一定会发生的必然事件。
（三） 消除附加条件的概率就是条件概率的误区
例6 甲乙两人一起加工零件100个，甲加工60个有55个正品，乙加工40个有30个正品，求取到的是甲加工的正品的概率？
分析：“已经发生的事件”和“随机事件”的区别在于在题中明确指明这一事件已经发生，而此题中“取到的是甲生产的正品”中甲生产的产品不是已经发生的事件，虽然在前面加了甲生产的条件掩人耳目，一定要注意。
（四）P（AB）与P（A|B）的区别讲解时应加以重视，这也是学生在理解上的一个难点。
1.P（AB）中A、B都是随机事件，在P（B|A）中事件A是随机事件，事件B是已经发生的事件。2.P（AB）表示在样本空间Ω中计算AB发生的概率，而P（A|B）表示在缩小的样本空间ΩB中计算AB发生的概率，一般来说，P（A|B）比P（AB）大，条件概率意味着对原有样本空间的压缩。
在条件概率的教学中，两事件必有一事件是已经发生的事件是一定要让学生明确并牢记的，只有掌握了这一核心要素，才能更好的学习并解决好条件概率的相关知识。
参考文献：
[1]金天寿.《试谈条件概率的教学》，《数学通报》，2012，6
作者简介：
刘颖（1969.01.24-），女，辽宁省铁岭市人，副教授，大学本科，研究方向：数学，卫生统计学。
【关键词】条件概率 已经发生的事件 随机事件
【中图分类号】O21 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）10-0145-01
条件概率是概率论的重要内容之一，这部分内容抽象不易理解，学生做起来容易出错。为了解决这一问题，结合多年的教学实践谈一下对条件概率教学的一些方法。
一、结合实例让学生理解条件概率的概念、满足条件并且形成对条件概率的初步认识
定义：设A、B是同一概率空间的两个随机事件，在事件A发生的条件下事件B发生的概率称为B关于A的条件概率记作p（B|A），其中三要素A、B两事件还有一个是条件关系即A是已经发生的事件，B是在A发生前提下的随机事件，条件关系很多情况下采取如“已知……的条件下求……”的形式给出，有时也用另外不明显的形式给出，同学要自己分析。
（一） 明显条件关系的条件概率
（1）事件A∩B≠？准且A∩B≠A或B
例1已知某家庭有三个小孩且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个是男孩的概率？
分析：两个随机件A={三个小孩至少有一个是女孩}B={三个小孩至少有一个是男孩}且事件A已经发生，符合条件概率的三要素。
（2）事件A∩B= A或B
例2 甲乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，求它被甲击中的概率？
分析：事件A={目标被甲击中}B={目标被击中}事件B已经发生，符合条件概率的三要素。
解：由已知得 p（B）=0.6+0.5-0.6×0.5=0.8
（二）不明显条件关系的条件概率
例3某动物活到25岁的概率为0.56，求现年20岁的这种动物活到25岁这一事件的概率？
分析：因为该动物现在20岁，可见该动物活到20岁这个事件为已经发生的事件，又这种动物活到25岁的前提必须先活到20岁，所以所求概率为条件概率。
解：设事件A={该动物活到20岁}B={该动物活到25岁}则 p（A）=0.7 p（B）=0.56
二、结合非条件概率的例题使学生对疑似条件概率加以认识，对条件概率的定义、计算有更深层次的理解
（一）形式上的条件关系与实质上的条件关系的区别
例4 甲、乙、丙三人只有一张电影票，他们决定按甲、乙、丙的顺序抽签，决定谁拥有这张电影票，已知乙拥有了这张电影票，求甲拥有这张电影票的概率？
分析：此题中虽有“已知…，求…”明显的条件关系，但由题中已知抽签是按甲、乙、丙的顺序，所以已知乙抽得电影票的事件的发生与否不可能在真正意义上影响到甲的抽签结果，所以这种条件关系是形式上的条件关系，而非实质上的条件关系。
解： p（甲）=0
（二）消除早一点发生的事件就是条件事件的误区，使学生掌握条件概率与积事件概率的区别
例5 在一个袋子里有形状完全相同的20个球，其中有10个白球10个红球，某人不放回地依次从袋中摸出2个球，求第一次摸出白球后第二次摸出红球的概率？
分析：题中出现“……后……”颇像条件概率的结构形式，但仔细考虑后发现，这里“后”只表示两事件发生的先后顺序，两事件发生与否均是随机事件而不是摸白球这一事件在第一次摸中一定会发生的必然事件。
（三） 消除附加条件的概率就是条件概率的误区
例6 甲乙两人一起加工零件100个，甲加工60个有55个正品，乙加工40个有30个正品，求取到的是甲加工的正品的概率？
分析：“已经发生的事件”和“随机事件”的区别在于在题中明确指明这一事件已经发生，而此题中“取到的是甲生产的正品”中甲生产的产品不是已经发生的事件，虽然在前面加了甲生产的条件掩人耳目，一定要注意。
（四）P（AB）与P（A|B）的区别讲解时应加以重视，这也是学生在理解上的一个难点。
1.P（AB）中A、B都是随机事件，在P（B|A）中事件A是随机事件，事件B是已经发生的事件。2.P（AB）表示在样本空间Ω中计算AB发生的概率，而P（A|B）表示在缩小的样本空间ΩB中计算AB发生的概率，一般来说，P（A|B）比P（AB）大，条件概率意味着对原有样本空间的压缩。
在条件概率的教学中，两事件必有一事件是已经发生的事件是一定要让学生明确并牢记的，只有掌握了这一核心要素，才能更好的学习并解决好条件概率的相关知识。
参考文献：
[1]金天寿.《试谈条件概率的教学》，《数学通报》，2012，6
作者简介：
刘颖（1969.01.24-），女，辽宁省铁岭市人，副教授，大学本科，研究方向：数学，卫生统计学。