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【关键词】中学数学 创造性思维
培养途径
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2014）11A-
0006-04
数学是一门逻辑性强且比较抽象的学科，在数学教学中，教师要遵循学科的认知规律和学生的思维特点，有意识地培养学生的创造性思维。鉴于此，本文结合数学创造性思维的特征，探讨关于中学生数学创造性思维塑造的途径和方法。
一、扎实基础知识，构建知识结构网络
一个人掌握的知识越丰富，越牢固，思维能活动的空间就会越大。扎实的基础知识积累是发展数学思维的前提。教师要善于引导学生对所学的知识进行系统的总结与概括，建立自己的知识结构网络，这样学生才能有丰富的知识储备和清晰的知识脉络，在解决问题时才能迅速地从知识储备库中提取相关信息为解题提供理论支撑，并能快速筛选出最便捷、灵活的一种方法来解决问题。因此具备扎实的基础知识和良好的知识结构是使数学创造性思维灵活运转的重要条件。让学生掌握基础知识、构建良好知识结构要注意以下几点。
（一）从最基础的知识点开始抓起
教师在教授某个概念或某个定理时，要注重对这个概念、定理的应用，及时布置相关练习，巩固学生对该概念或定理的理解，并从解题中得到学生对概念（或定理）掌握程度的反馈，务必做到当堂讲、当堂练、当堂理解。
（二）学习结束后知识的串联和知识结构的构建
数学知识内容多且零散，在学习过程中需要不断整合知识，再扩散知识，这就需要在每个章节学习结束后及时梳理好该章节的知识。为了让学生对所学内容一目了然，使各个知识点之间的联系清晰易懂，避免混淆或遗忘知识，教师可以要求学生在每一章节学习结束后以列表或者树形图等方式将本章节的内容联系起来，理清所学知识的脉络，以本章节所学重点为中心，将分散的知识点进行整合并加以串连起来。
（三）要让学生及时地回忆和再现知识，巩固知识
理解了知识不等于掌握了知识，或许学生当时的确是理解了，但是经过长时间的搁置和新知识的覆盖，学生容易将之前学过的知识遗忘，因此还要让学生在理解的基础上巩固知识。让学生掌握知识，就要温故知新，在学习新知识的同时回顾旧知识，让学生将新旧知识衔接起来，尤其是知识结构相似的知识内容。
（四）培养学生学习的主动性
学习的主体是学生，学生若是不愿意或者排斥学习、厌恶学习，哪怕教师讲授再多的知识，教授技能再好，也不能使学生掌握好扎实的基础知识。
1.合理创设情境，激发学生的求知欲和好奇心
人们往往是因为好奇心和求知欲才会对某一事物感兴趣或者接受某一事物的，因此好奇心和求知欲是促使学生主动学习数学的动因。好奇心越强，学生越容易接受数学知识并主动地去学习数学知识。所以教师要诱发学生的好奇心和求知欲，激发学生积极、主动地探索数学，获取新知识。
比如，在上课前可以提出一些与学习内容相关的生活问题，留下悬念，调动起学生的好奇心和求知欲，让学生了解到数学与生活的紧密联系，在学习新内容时，学生就会主动地去探究。
例如，在学习“等比数列求和公式”时，可以通过这样一个故事来激发学生的求知欲和好奇心：传说，波斯国王第一次玩国际象棋就被深深地迷住了，他下令要奖赏国际象棋的发明者，并让受奖者自己提出要奖些什么。发明者指着国际象棋的棋盘对国王说，令人满意的赏赐是在棋盘的第一格内放上一粒麦子，在第二格内放两粒麦子，第三格内放4粒，第四格内放8粒……按这样的规律放满64格棋盘格。国王反对说，这么一点点麦子算不上什么赏赐，但发明者认为如此就足够了。结果是弄得国王倾尽国家财力还不够支付。这个故事激起了学生们强烈的好奇心。
2.循序渐进地学习
学习数学需要长期的知识积累，因此在学习过程中不能急躁，知识的传授要由浅入深，由易到难，练习题的设置也是如此。假如一开始就设置较难的题目，学生解不出来会产生挫败感，从而失去学习数学的信心。
例如，在进行正弦、余弦诱导公式的巩固练习时，可以先从“求cos240°的值”入手。
因为cos240°=cos（180°+60°）=-cos60°=-
在这道例题中，解题步骤比较少，并且能直接套入公式进行计算，对刚学习了新知识的学生来说属于比较容易的题。在学生熟悉了如何解答这类相对简单的问题之后，就可以让他们尝试较难的综合题。
例如计算sin（-1071°）·sin99°+sin（-171°）·sin（-261）°的值。
这道题的解答过程为：原式=sin（-3×360°+9°）·sin（180°-81°）+sin171°·sin261°=sin9°·sin81°+sin（180°-9°）·sin（180°+81°）=sin9°·sin81°+sin9°·sin（-81°）=sin9°·sin81°-sin9°·sin81°=0
我们可以看到，这道题解题过程比较繁杂，公式运用比较多，且较为综合。假如教师在给学生进行巩固练习时先设置这道题，由于是新学内容，学生无从下手，就会产生“这一节的内容很难”的第一印象，从而容易导致学生对这一节的内容产生排斥感，影响后面内容的学习。
二、鼓励学生大胆猜想和质疑
许多数学概念的形成，都是经过各个数学家们不断去猜想——探索——实践而形成的，而猜想往往是新知识产生的源泉。作为教师，应当鼓励学生大胆地去猜想，去假设，去探索，去实践。
例如有这样一道题：假设要从装着一堆白色与红色袜子的盒子中拿出一对，至少需要拿出多少只才能保证拿出一双袜子？若是你的盒子里有白、红、蓝3种颜色的袜子，至少要拿出多少只袜子才能配出一双袜子？假若你盒子里有N种颜色的袜子呢？ 在第一个问题中，随机拿出2只袜子，就有以下3种可能：2只白色，2只红色，1只红色1只白色。因为有1白1红的可能存在，所以并不能保证随意拿出2只，就能凑一双。那么再拿出1只来，就出现以下4种可能：3只白色，3只红色，2白1红，1白2红，就能够保证一定能够配成一双袜子。因此，在袜子颜色只有2种时，需要拿出至少3只的袜子才能保证一定能够配成一双袜子。在发现这样一个规律后，就可以作出大胆的猜想：当有3种颜色的袜子时，至少需要拿出4只袜子才能保证拿出一对袜子，当有N种颜色的袜子时，至少要拿出（N+1）只袜子才能配出一双袜子。提出了猜想之后，接下来就是去验证自己的猜想是否正确。
教学中教师要有意识地设计类似的、可供学生进行“观察—猜想—试验—得出结论”的情境和题目，不断训练学生大胆猜想和验证的能力。长期处在这样一个氛围中，学生会逐步形成思考问题的自觉性，哪怕教师不再特意提供猜想的情境，学生也能自己去创设、猜想新的结论，并自觉进行验证。
在学生进行猜想和假设的过程中，需要注意的是，教师切忌打击学生提问和质疑的积极性和自信心。现代化教学要摒弃传统教学中教师的“权威”，不能以教师为中心，忽略学生的想法。所谓一千个读者就有一千个哈姆雷特，学生在学习的过程中也可能会对某道题目或者某个概念有不同的见解，当他们提出自己的想法和质疑时，教师不要认为学生挑战了教师的“权威”，武断地否定学生的思考，强迫学生接受自己的主观意见，而是应当仔细倾听并分析学生的看法。若是他们提出的看法是正确的，要及时给予鼓励和表扬；若是他们提出的看法不正确，在及时纠正错误的同时也要耐心解释其错误之处，并肯定其主动质疑的态度，鼓励他们更多地提出想法，促进他们创造性思维的塑造。
三、培养学生的观察力和发现问题的能力
数学教学中要注重培养学生敏锐的观察能力和发现问题的能力。在以正常思维无法或者难以解决问题的时候，就要换一个角度去观察和理解题目，搜集隐藏在题目中细微的线索，才能让闭塞的思维顿开，从而根据所提取出的线索找到相应的方法解题。
例：求（sin1°+cos1°）·（sin2°+cos2°）……（sin180°+cos180°）的值。在这道题中，若是用传统、常规的方法解答，即将sinx和cosx一个一个先求出来，再将它们求和相乘，这样的算法既耗费大量时间，又容易出错。仔细观察式子，并动手分别画出sinx和cosx的图象（如图1）：
仔细观察图象，不难发现，在90°≤x≤180°的范围内，sinx≥0，cosx≤0且有角x=135°使sinx=-cosx，抓住这一解题关键，再去除繁杂的信息，就能迅速地解决问题。当然，若是学生对各个特殊角的正、余弦函数的值记忆清晰且牢固，他可以无需画图，只要仔细观察式子，便能直接得出以上结论。因此敏锐的观察力和发现问题的能力是创造性思维培养的前提，它们能让学生迅速地发现和挖掘出新的思路。那么，如何培养学生的观察力呢？
（一）观察时要从整体进入细节
一个事物是存在于表象与内在的，整体和细节相互独立又相互联系。观察不能只停留在对表象的观察，要观察到内里，特别要注意细节。学生往往容易因为忽略了细节问题而导致对题目对知识的理解出现偏差，从而导致解题难以入手，或解题出错。
例：将大小形状质地相同的3个黑球和4个白球排成一排，问共有多少种排法？
学生很容易将这道题误认为是7个小球的全排列。这些“马虎”的学生忽略了一个问题：这3个黑色小球是完全相同的，这4个白色小球也是完全相同的，因此同色球之间互换位置属于同一种排法，故而在解决这道题时，应该先从7个位置中选出3个位置给黑球（或者4个位置白球），剩下的位置就是白球（或者黑球）的，因为这3个黑球（或者4个白球）是完全相同的，因此这里不存在顺序问题，只属于组合问题，因此在这个问题中共有C37=35种排法。
（二）培养比较观察的能力
比较法是认识事物的重要方法之一，通过比较法能快速看出事物的本质与非本质、共同点与不同点及其相互之间的联系，而我们往往也是在比较事物的过程中发现新的事物。
在比较同一事物时，既要观察出事物在各阶段的特点，又要比较观察出事物在各个阶段的异同点，特别是特殊情况下事物所呈现的特点。例如在学习二次函数图象和性质时，要求学生能通过观察分析二次函数的图象，总结归纳出二次函数的性质特点，以及各个阶段上y值的变化。
而在比较不同事物时，则注重观察找出不同事物间的差异和联系。例如排列和组合的比较，如表1所示：
在学习排列组合这一章节时，要让学生分清排列和组合的不同点，使学生能准确辨析题目所求的是排列还是组合，或者是综合应用，这就要求学生要能够仔细观察，总结归纳出排列、组合之间的区别和联系。
正是因为在比较的过程中要求学生对事物进行充分的观察和辨析，判断出事物的异同点和相互之间的联系，从而能够准确区分出各个不同的事物，因此培养学生比较的能力是提高学生观察力的重要途径。
四、培养学生数形结合的思想
数形结合思想是数学的重要思想之一，培养学生数形结合思想也是创造性思维塑造的重要途径。众所周知，数学具有很强的抽象性。要想去理解和记忆抽象的东西，就需要我们把抽象的东西形象化、具体化。我国著名数学家华罗庚也曾有诗曰：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休，切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。”这充分说明了数形结合的重要性。
在前面举出的三角函数的例子中，只要学生对特殊角的正、余弦函数值记忆牢固，不画图就可以得出结论。但是，数学知识领域广泛，不画图就难以解答的题目不在少数，尤其是几何，例如：在正方体ABCD-A1B1C1D1中：（1）求BC1与B1D1所成的角的大小；（2）若E、F分别为AB、AA1的中点，求C1D与EF的位置关系。 为了方便理解和查看，我们把题中（1）和（2）的图形所需要添加的辅助线分开画。首先，我们来看（1），（1）问的解答如下：依题意，做正方体ABCD-A1B1C1D1，如图2：
连结BD，DC1，∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，可知BD∥B1D1，从而BC1与B1D1所成的角就是BD与BC1所成的角，由于BC1，BD，C1D分别是正方体ABCD-A1B1C1D1三个面正方形BCC1B1、正方形ABCD、正方形CDD1C1上的对角线，∴BC1=BD=C1D，△AB1C是等边三角形，∠DBC1=60°，即BC1与B1D1所成角为60°。
（2）解答如下：依题意，作图（如图3）：
连结AB1、EF、A1B、C1D，∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DC1∥AB1，又E、F分别为AB、AA1中点，∴EF∥A1B，则BD与AC，∵AB1⊥A1B，AB1⊥EF，∴EF⊥C1D，故A1C1与EF的位置关系是：相互垂直。
我们可以看到，这道题目对于学过几何的学生来说并不十分难，传统的解法就能够把答案求出来，只要学生能把图画出来，已知和所求就能清晰地展现在我们面前。但是若是不画图，这道题就会显得十分抽象，线与线之间的关系，角与角之间的关系就不清晰，容易混乱，因此在数学中，数形结合思想的培养十分重要。而数形结合的基本途径和方法就是几何问题代数化，代数问题几何化。
五、注重培养学生的发散思维
美国著名心理学家吉尔福特认为，思维分为复合思维和发散思维两种，并认为创造性思维的核心就是发散思维，并用发散思维的流畅性、变通性、独特性的好坏来衡量创造性的高低，因此在塑造创造性思维的过程中，要注重培养和发展发散思维。
（一）通过一题多解能力培养思维的流畅性
所谓发散思维的流畅性，指的是创造性高的人，他们在短时间内能够反应迅速并且想到的关联事物也较多。通俗来说，例如成语接龙：一蹴而就，就事论事，事在人为，为人师表……能接上的词语越多，说明思维的流畅性越好。在数学中，我们将组成词语的数量等价于解题方法的数量，即我们可以通过想到的解题方法的数量去判断发散思维的流畅程度。即想到的解法越多，说明发散思维的流畅性越好。
例如鸡兔同笼问题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这个题目有很多种算法：
解法1：我们用《孙子算法》里的砍脚法，先分别砍去兔子和鸡2只脚，笼子里的脚就少了动物的头数×2（即35×2）只脚，因为鸡只有2只脚，所以此时鸡没有脚，而兔子还剩两只脚，由此得出兔子脚数为94-35×2只，故兔子数是兔脚的总数的一半，即（94-35×2）÷2=12只，鸡数=总头数-兔子头数，即35-12=23只。
解法2（一元一次方程解法）：设兔子有x只，则鸡有35-x只；
依题意有：4x+2×（35-x）=94；
解方程有：x=12（只），35-12=23（只），即兔子有12只，鸡有23只。
解法3（二元一次方程组解法）：设兔子有x只，鸡有y只，依题意有x+y=35
4x+2y=94
解方程组有x=12只，y=23只，即兔子有12只，鸡有23只。
此题并不只局限于以上三种解法，其他的解法在此不再一一列举。就以这道题为例，只想到一种解法的学生说明思维的流畅性较差，想到两种解法的学生次之，以此类推，想到的解法越多，说明该生思维的流畅性越好。
（二）通过一题多变培养思维的变通性
所谓变通性，是指思维的灵活性。变通性强意味着能触类旁通、举一反三。同样举个例子：要求在5分钟内列出水的用途，若是学生列出的用途中都是榨苹果汁、榨葡萄汁、榨番石榴汁等这些变化范围不大的例证，说明其变通性差，但若是能列出种植、榨果汁、清洗物品、发电、观赏等变化范围大的例证，则说明变通性越好。这在数学中反应为一题多变的能力。类比来说，就是一道题，能列举出多种性质不同的变化越多，说明变通性越好。一题多变的形式有命题条件与结论的互换、命题的推广、图形变换、变换条件而结论不变等。创造性思维要求思维能够灵活变通，转换自如。因此培养思维的变通性也是培养和发展发散思维的重要手段之一。
例如：如图4所示，在△ABC中，已知∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，问图中有多少对相似三角形？分别是哪些？为什么？
这道题主要考查相似三角形的问题，此题可以如下变式：
①对三角形角度的考查：如与∠CBA互余的角有哪些。
②对三角形边的考查：如已知过D有DM⊥AC于M，问DM和BC有什么关系。
③对三角形面积的考查：如若BC=3，AC=4，AB=5，求△BCD的面积。
④对勾股定理的考查：如求证AC2+BC2=AB2。
⑤对全等三角形的考查：如已知过D有DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，求证：△CDM≌△CDN。
⑥对三角形内切圆、外接圆的考查：如△ABC内切的面积是多少。
⑦特殊三角形的考查：如若AC=AB，求证△ACD和△BCD的关系。
⑧条件结论互换：如已知直角△ABC中，∠ACB=90°.过点C作直线交AB于D，△ABC∽△BCD，问CD与AB有什么关系？
这道题能变化的内容和方式还有很多种，有兴趣的老师可以继续研究和补充。
通过研究，数学创造性思维的培养可从帮助学生掌握扎实的基础知识，培养学生观察力、发散思维和数形结合的运用能力，鼓励学生大胆猜想等方面入手，但如何培养学生活跃的思维能力和思维的独特性仍需要继续深入研究。
【参考文献】
[1]陆永淳.教育教学中创造性思维的培养研究[N].黑龙江省：哈尔滨学院学报，2003-4-30：1-2.
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[10]黄文祥.初探数学创造性思维能力的培养[J].安徽省：科教文汇，2007：69-70.
【基金项目：广西高等教育教学改革工程项目——以创新研究型数学教师培养为导向、构建教师教育实践教学模式的探索与实践（2012JGA162）；广西研究生教育创新计划资助项目——以“导师合作共同体”创立为平台，提升研究生导师团队指导能力的实践与研究（JGY2014092）.】
（责编 黄珍平）
培养途径
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2014）11A-
0006-04
数学是一门逻辑性强且比较抽象的学科，在数学教学中，教师要遵循学科的认知规律和学生的思维特点，有意识地培养学生的创造性思维。鉴于此，本文结合数学创造性思维的特征，探讨关于中学生数学创造性思维塑造的途径和方法。
一、扎实基础知识，构建知识结构网络
一个人掌握的知识越丰富，越牢固，思维能活动的空间就会越大。扎实的基础知识积累是发展数学思维的前提。教师要善于引导学生对所学的知识进行系统的总结与概括，建立自己的知识结构网络，这样学生才能有丰富的知识储备和清晰的知识脉络，在解决问题时才能迅速地从知识储备库中提取相关信息为解题提供理论支撑，并能快速筛选出最便捷、灵活的一种方法来解决问题。因此具备扎实的基础知识和良好的知识结构是使数学创造性思维灵活运转的重要条件。让学生掌握基础知识、构建良好知识结构要注意以下几点。
（一）从最基础的知识点开始抓起
教师在教授某个概念或某个定理时，要注重对这个概念、定理的应用，及时布置相关练习，巩固学生对该概念或定理的理解，并从解题中得到学生对概念（或定理）掌握程度的反馈，务必做到当堂讲、当堂练、当堂理解。
（二）学习结束后知识的串联和知识结构的构建
数学知识内容多且零散，在学习过程中需要不断整合知识，再扩散知识，这就需要在每个章节学习结束后及时梳理好该章节的知识。为了让学生对所学内容一目了然，使各个知识点之间的联系清晰易懂，避免混淆或遗忘知识，教师可以要求学生在每一章节学习结束后以列表或者树形图等方式将本章节的内容联系起来，理清所学知识的脉络，以本章节所学重点为中心，将分散的知识点进行整合并加以串连起来。
（三）要让学生及时地回忆和再现知识，巩固知识
理解了知识不等于掌握了知识，或许学生当时的确是理解了，但是经过长时间的搁置和新知识的覆盖，学生容易将之前学过的知识遗忘，因此还要让学生在理解的基础上巩固知识。让学生掌握知识，就要温故知新，在学习新知识的同时回顾旧知识，让学生将新旧知识衔接起来，尤其是知识结构相似的知识内容。
（四）培养学生学习的主动性
学习的主体是学生，学生若是不愿意或者排斥学习、厌恶学习，哪怕教师讲授再多的知识，教授技能再好，也不能使学生掌握好扎实的基础知识。
1.合理创设情境，激发学生的求知欲和好奇心
人们往往是因为好奇心和求知欲才会对某一事物感兴趣或者接受某一事物的，因此好奇心和求知欲是促使学生主动学习数学的动因。好奇心越强，学生越容易接受数学知识并主动地去学习数学知识。所以教师要诱发学生的好奇心和求知欲，激发学生积极、主动地探索数学，获取新知识。
比如，在上课前可以提出一些与学习内容相关的生活问题，留下悬念，调动起学生的好奇心和求知欲，让学生了解到数学与生活的紧密联系，在学习新内容时，学生就会主动地去探究。
例如，在学习“等比数列求和公式”时，可以通过这样一个故事来激发学生的求知欲和好奇心：传说，波斯国王第一次玩国际象棋就被深深地迷住了，他下令要奖赏国际象棋的发明者，并让受奖者自己提出要奖些什么。发明者指着国际象棋的棋盘对国王说，令人满意的赏赐是在棋盘的第一格内放上一粒麦子，在第二格内放两粒麦子，第三格内放4粒，第四格内放8粒……按这样的规律放满64格棋盘格。国王反对说，这么一点点麦子算不上什么赏赐，但发明者认为如此就足够了。结果是弄得国王倾尽国家财力还不够支付。这个故事激起了学生们强烈的好奇心。
2.循序渐进地学习
学习数学需要长期的知识积累，因此在学习过程中不能急躁，知识的传授要由浅入深，由易到难，练习题的设置也是如此。假如一开始就设置较难的题目，学生解不出来会产生挫败感，从而失去学习数学的信心。
例如，在进行正弦、余弦诱导公式的巩固练习时，可以先从“求cos240°的值”入手。
因为cos240°=cos（180°+60°）=-cos60°=-
在这道例题中，解题步骤比较少，并且能直接套入公式进行计算，对刚学习了新知识的学生来说属于比较容易的题。在学生熟悉了如何解答这类相对简单的问题之后，就可以让他们尝试较难的综合题。
例如计算sin（-1071°）·sin99°+sin（-171°）·sin（-261）°的值。
这道题的解答过程为：原式=sin（-3×360°+9°）·sin（180°-81°）+sin171°·sin261°=sin9°·sin81°+sin（180°-9°）·sin（180°+81°）=sin9°·sin81°+sin9°·sin（-81°）=sin9°·sin81°-sin9°·sin81°=0
我们可以看到，这道题解题过程比较繁杂，公式运用比较多，且较为综合。假如教师在给学生进行巩固练习时先设置这道题，由于是新学内容，学生无从下手，就会产生“这一节的内容很难”的第一印象，从而容易导致学生对这一节的内容产生排斥感，影响后面内容的学习。
二、鼓励学生大胆猜想和质疑
许多数学概念的形成，都是经过各个数学家们不断去猜想——探索——实践而形成的，而猜想往往是新知识产生的源泉。作为教师，应当鼓励学生大胆地去猜想，去假设，去探索，去实践。
例如有这样一道题：假设要从装着一堆白色与红色袜子的盒子中拿出一对，至少需要拿出多少只才能保证拿出一双袜子？若是你的盒子里有白、红、蓝3种颜色的袜子，至少要拿出多少只袜子才能配出一双袜子？假若你盒子里有N种颜色的袜子呢？ 在第一个问题中，随机拿出2只袜子，就有以下3种可能：2只白色，2只红色，1只红色1只白色。因为有1白1红的可能存在，所以并不能保证随意拿出2只，就能凑一双。那么再拿出1只来，就出现以下4种可能：3只白色，3只红色，2白1红，1白2红，就能够保证一定能够配成一双袜子。因此，在袜子颜色只有2种时，需要拿出至少3只的袜子才能保证一定能够配成一双袜子。在发现这样一个规律后，就可以作出大胆的猜想：当有3种颜色的袜子时，至少需要拿出4只袜子才能保证拿出一对袜子，当有N种颜色的袜子时，至少要拿出（N+1）只袜子才能配出一双袜子。提出了猜想之后，接下来就是去验证自己的猜想是否正确。
教学中教师要有意识地设计类似的、可供学生进行“观察—猜想—试验—得出结论”的情境和题目，不断训练学生大胆猜想和验证的能力。长期处在这样一个氛围中，学生会逐步形成思考问题的自觉性，哪怕教师不再特意提供猜想的情境，学生也能自己去创设、猜想新的结论，并自觉进行验证。
在学生进行猜想和假设的过程中，需要注意的是，教师切忌打击学生提问和质疑的积极性和自信心。现代化教学要摒弃传统教学中教师的“权威”，不能以教师为中心，忽略学生的想法。所谓一千个读者就有一千个哈姆雷特，学生在学习的过程中也可能会对某道题目或者某个概念有不同的见解，当他们提出自己的想法和质疑时，教师不要认为学生挑战了教师的“权威”，武断地否定学生的思考，强迫学生接受自己的主观意见，而是应当仔细倾听并分析学生的看法。若是他们提出的看法是正确的，要及时给予鼓励和表扬；若是他们提出的看法不正确，在及时纠正错误的同时也要耐心解释其错误之处，并肯定其主动质疑的态度，鼓励他们更多地提出想法，促进他们创造性思维的塑造。
三、培养学生的观察力和发现问题的能力
数学教学中要注重培养学生敏锐的观察能力和发现问题的能力。在以正常思维无法或者难以解决问题的时候，就要换一个角度去观察和理解题目，搜集隐藏在题目中细微的线索，才能让闭塞的思维顿开，从而根据所提取出的线索找到相应的方法解题。
例：求（sin1°+cos1°）·（sin2°+cos2°）……（sin180°+cos180°）的值。在这道题中，若是用传统、常规的方法解答，即将sinx和cosx一个一个先求出来，再将它们求和相乘，这样的算法既耗费大量时间，又容易出错。仔细观察式子，并动手分别画出sinx和cosx的图象（如图1）：
仔细观察图象，不难发现，在90°≤x≤180°的范围内，sinx≥0，cosx≤0且有角x=135°使sinx=-cosx，抓住这一解题关键，再去除繁杂的信息，就能迅速地解决问题。当然，若是学生对各个特殊角的正、余弦函数的值记忆清晰且牢固，他可以无需画图，只要仔细观察式子，便能直接得出以上结论。因此敏锐的观察力和发现问题的能力是创造性思维培养的前提，它们能让学生迅速地发现和挖掘出新的思路。那么，如何培养学生的观察力呢？
（一）观察时要从整体进入细节
一个事物是存在于表象与内在的，整体和细节相互独立又相互联系。观察不能只停留在对表象的观察，要观察到内里，特别要注意细节。学生往往容易因为忽略了细节问题而导致对题目对知识的理解出现偏差，从而导致解题难以入手，或解题出错。
例：将大小形状质地相同的3个黑球和4个白球排成一排，问共有多少种排法？
学生很容易将这道题误认为是7个小球的全排列。这些“马虎”的学生忽略了一个问题：这3个黑色小球是完全相同的，这4个白色小球也是完全相同的，因此同色球之间互换位置属于同一种排法，故而在解决这道题时，应该先从7个位置中选出3个位置给黑球（或者4个位置白球），剩下的位置就是白球（或者黑球）的，因为这3个黑球（或者4个白球）是完全相同的，因此这里不存在顺序问题，只属于组合问题，因此在这个问题中共有C37=35种排法。
（二）培养比较观察的能力
比较法是认识事物的重要方法之一，通过比较法能快速看出事物的本质与非本质、共同点与不同点及其相互之间的联系，而我们往往也是在比较事物的过程中发现新的事物。
在比较同一事物时，既要观察出事物在各阶段的特点，又要比较观察出事物在各个阶段的异同点，特别是特殊情况下事物所呈现的特点。例如在学习二次函数图象和性质时，要求学生能通过观察分析二次函数的图象，总结归纳出二次函数的性质特点，以及各个阶段上y值的变化。
而在比较不同事物时，则注重观察找出不同事物间的差异和联系。例如排列和组合的比较，如表1所示：
在学习排列组合这一章节时，要让学生分清排列和组合的不同点，使学生能准确辨析题目所求的是排列还是组合，或者是综合应用，这就要求学生要能够仔细观察，总结归纳出排列、组合之间的区别和联系。
正是因为在比较的过程中要求学生对事物进行充分的观察和辨析，判断出事物的异同点和相互之间的联系，从而能够准确区分出各个不同的事物，因此培养学生比较的能力是提高学生观察力的重要途径。
四、培养学生数形结合的思想
数形结合思想是数学的重要思想之一，培养学生数形结合思想也是创造性思维塑造的重要途径。众所周知，数学具有很强的抽象性。要想去理解和记忆抽象的东西，就需要我们把抽象的东西形象化、具体化。我国著名数学家华罗庚也曾有诗曰：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休，切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。”这充分说明了数形结合的重要性。
在前面举出的三角函数的例子中，只要学生对特殊角的正、余弦函数值记忆牢固，不画图就可以得出结论。但是，数学知识领域广泛，不画图就难以解答的题目不在少数，尤其是几何，例如：在正方体ABCD-A1B1C1D1中：（1）求BC1与B1D1所成的角的大小；（2）若E、F分别为AB、AA1的中点，求C1D与EF的位置关系。 为了方便理解和查看，我们把题中（1）和（2）的图形所需要添加的辅助线分开画。首先，我们来看（1），（1）问的解答如下：依题意，做正方体ABCD-A1B1C1D1，如图2：
连结BD，DC1，∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，可知BD∥B1D1，从而BC1与B1D1所成的角就是BD与BC1所成的角，由于BC1，BD，C1D分别是正方体ABCD-A1B1C1D1三个面正方形BCC1B1、正方形ABCD、正方形CDD1C1上的对角线，∴BC1=BD=C1D，△AB1C是等边三角形，∠DBC1=60°，即BC1与B1D1所成角为60°。
（2）解答如下：依题意，作图（如图3）：
连结AB1、EF、A1B、C1D，∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DC1∥AB1，又E、F分别为AB、AA1中点，∴EF∥A1B，则BD与AC，∵AB1⊥A1B，AB1⊥EF，∴EF⊥C1D，故A1C1与EF的位置关系是：相互垂直。
我们可以看到，这道题目对于学过几何的学生来说并不十分难，传统的解法就能够把答案求出来，只要学生能把图画出来，已知和所求就能清晰地展现在我们面前。但是若是不画图，这道题就会显得十分抽象，线与线之间的关系，角与角之间的关系就不清晰，容易混乱，因此在数学中，数形结合思想的培养十分重要。而数形结合的基本途径和方法就是几何问题代数化，代数问题几何化。
五、注重培养学生的发散思维
美国著名心理学家吉尔福特认为，思维分为复合思维和发散思维两种，并认为创造性思维的核心就是发散思维，并用发散思维的流畅性、变通性、独特性的好坏来衡量创造性的高低，因此在塑造创造性思维的过程中，要注重培养和发展发散思维。
（一）通过一题多解能力培养思维的流畅性
所谓发散思维的流畅性，指的是创造性高的人，他们在短时间内能够反应迅速并且想到的关联事物也较多。通俗来说，例如成语接龙：一蹴而就，就事论事，事在人为，为人师表……能接上的词语越多，说明思维的流畅性越好。在数学中，我们将组成词语的数量等价于解题方法的数量，即我们可以通过想到的解题方法的数量去判断发散思维的流畅程度。即想到的解法越多，说明发散思维的流畅性越好。
例如鸡兔同笼问题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这个题目有很多种算法：
解法1：我们用《孙子算法》里的砍脚法，先分别砍去兔子和鸡2只脚，笼子里的脚就少了动物的头数×2（即35×2）只脚，因为鸡只有2只脚，所以此时鸡没有脚，而兔子还剩两只脚，由此得出兔子脚数为94-35×2只，故兔子数是兔脚的总数的一半，即（94-35×2）÷2=12只，鸡数=总头数-兔子头数，即35-12=23只。
解法2（一元一次方程解法）：设兔子有x只，则鸡有35-x只；
依题意有：4x+2×（35-x）=94；
解方程有：x=12（只），35-12=23（只），即兔子有12只，鸡有23只。
解法3（二元一次方程组解法）：设兔子有x只，鸡有y只，依题意有x+y=35
4x+2y=94
解方程组有x=12只，y=23只，即兔子有12只，鸡有23只。
此题并不只局限于以上三种解法，其他的解法在此不再一一列举。就以这道题为例，只想到一种解法的学生说明思维的流畅性较差，想到两种解法的学生次之，以此类推，想到的解法越多，说明该生思维的流畅性越好。
（二）通过一题多变培养思维的变通性
所谓变通性，是指思维的灵活性。变通性强意味着能触类旁通、举一反三。同样举个例子：要求在5分钟内列出水的用途，若是学生列出的用途中都是榨苹果汁、榨葡萄汁、榨番石榴汁等这些变化范围不大的例证，说明其变通性差，但若是能列出种植、榨果汁、清洗物品、发电、观赏等变化范围大的例证，则说明变通性越好。这在数学中反应为一题多变的能力。类比来说，就是一道题，能列举出多种性质不同的变化越多，说明变通性越好。一题多变的形式有命题条件与结论的互换、命题的推广、图形变换、变换条件而结论不变等。创造性思维要求思维能够灵活变通，转换自如。因此培养思维的变通性也是培养和发展发散思维的重要手段之一。
例如：如图4所示，在△ABC中，已知∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，问图中有多少对相似三角形？分别是哪些？为什么？
这道题主要考查相似三角形的问题，此题可以如下变式：
①对三角形角度的考查：如与∠CBA互余的角有哪些。
②对三角形边的考查：如已知过D有DM⊥AC于M，问DM和BC有什么关系。
③对三角形面积的考查：如若BC=3，AC=4，AB=5，求△BCD的面积。
④对勾股定理的考查：如求证AC2+BC2=AB2。
⑤对全等三角形的考查：如已知过D有DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，求证：△CDM≌△CDN。
⑥对三角形内切圆、外接圆的考查：如△ABC内切的面积是多少。
⑦特殊三角形的考查：如若AC=AB，求证△ACD和△BCD的关系。
⑧条件结论互换：如已知直角△ABC中，∠ACB=90°.过点C作直线交AB于D，△ABC∽△BCD，问CD与AB有什么关系？
这道题能变化的内容和方式还有很多种，有兴趣的老师可以继续研究和补充。
通过研究，数学创造性思维的培养可从帮助学生掌握扎实的基础知识，培养学生观察力、发散思维和数形结合的运用能力，鼓励学生大胆猜想等方面入手，但如何培养学生活跃的思维能力和思维的独特性仍需要继续深入研究。
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【基金项目：广西高等教育教学改革工程项目——以创新研究型数学教师培养为导向、构建教师教育实践教学模式的探索与实践（2012JGA162）；广西研究生教育创新计划资助项目——以“导师合作共同体”创立为平台，提升研究生导师团队指导能力的实践与研究（JGY2014092）.】
（责编 黄珍平）