论文部分内容阅读
[摘要]学生的核心素养需要教师在学科教学活动过程中有意识地“慢培养”。以“三角形的分类”一课为例，师生一起去发现、探究和实践，培养学生终身发展和社会发展所需要的品格和能力。
[关键词]数学思想;三角形的分类;信息意识;科学精神
[中图分类号]G623.5 [文献标识码]A [文章编号]1007-9068（2020）14-0062-03
数学思想是经过思维概括活动而产生的对数学事实的本质认识，它对个体数学学习效果的广泛迁移，包括从数学领域向非数学领域的迁移，都具有重要意义。它更加关注数学学科能力的训练，其并不直接等同于学生的核心素养，要成功实现转化，还需要教师在渗透数学思想的过程中有意识地培养学生的核心素养，实现更高的育人目标。
一、由分類和集合思想提升学生的信息意识和自我管理能力
分类就意味着给学生提供一系列的数学信息，让学生在这些信息中高度概括或者提炼新的数学知识，发现数学规律，提升数学能力。
1.分类的基本原理是信息处理的前提与基础
【教学片段1】
师（出示7个三角形）：你们每个小组都有这样的一套三角形，本节课我们就对7个三角形进行分类。分类时可以用目测法，也可以利用手中的学具比一比、量一量。
师：因为观念决定行动，建议同学们在动手操作之前想一想：分类的基本原则是什么？
生1：统一标准，不重复，不遗漏。
分类是有标准的，就是依据分类的标准处理不同的、杂乱的信息，使之有序，为今后数学学习和生活中建立分类数学思想建构模型。
2.动手操作，通过分类整理促进学生信息处理意识和能力
【教学片段2】
师：老师为同学们准备了一张探究活动卡（如图1），请按照探究卡上的提示一步一步完成分类整理。先用自己喜欢的方式大声读一读吧！
为学生提供“数学对话”的机会，从学生已有知识经验出发，让学生自己给三角形分类。学生分类的方法有许多，每个小组都有不同的分类标准。这时教师不要急于评价，而是让学生充分交流、质疑，让学生暴露思维过程，从而使学生在操作、体验、感悟中建构新的知识系统。如：学生没按统一标准分，将7个三角形分为直角三角形、钝角三角形、等腰三角形、不等边三角形四类。对此，教师应引导学生：“你们组一会儿按角分，一会儿按边分，没有按统一标准来分，不符合分类的基本原则。”让学生先说一说各类三角形的特点，这样就符合学生的认知规律，重点突出，难点突破。
3.汇报交流，提升小组和自我管理意识
【教学片段3】
师：汇报交流是分享的好方法，哪个小组先来？
生1：我们组按三角形编号的单双数来分类，1、3、5、7号放在一起，2、4、6号放在一起。
师：这种分类方法可以，但它是按照三角形的特点来分类的吗？
生2：不是。
生3：我们组分为直角三角形、钝角三角形、等腰三角形、不等边三角形。
生4：你们组一会儿按角分，一会儿按边分，没有统一标准。
生5：没有按照分类的基本原则来分，这种分类方法不合适。
师：大家说得都很好，看来道理是越辩越明呀！同学们分类时一定要注意统一标准。
生6：我们组是按角来分类。我们把1、2、3号三角形放在一起，因为它们三个角都是锐角，所以命名为锐角三角形;把4、5号放在一起，因为它们都有一个角是直角，所以命名为直角三角形;把6、7号放在一起，因为它们都有一个角是钝角，所以命名为钝角三角形。（学生到黑板上边操作，边讲解）
师：这种分类方法可以吗？
生（齐）：可以。
师：他表达得很清晰，大家一听就明白了。还有其他分法吗？
生7：我们组按边来分的，把2、5、6号放在一起，因为它们三边都不相等，所以命名为不等边三角形;把4、7、1号放在一起，因为它们都有两条边相等，所以叫等腰三角形;把3号单独分为一类，因为它三条边都相等，所以叫等边三角形。
师：你们竞然和数学家想到了一块，太了不起了！老师建议大家把掌声送给他们！
分类是一种重要的数学思想，它提供了更加深入的研究方法，具有重要的数学价值。这种探究活动不仅能让学生获得知识，感悟抽象概括的数学思想，而且能引导学生合理分配时间与精力，能够渗透一种自主发展、自我管理的意识。
4.完成集合图，进一步对信息进行归纳整理
【教学片段4】
师：如果把这些三角形看作一个大家庭的话，可以分成几个小家庭呢？
生1：3个，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
（教师画一个椭圆完成按角分的集合图）
师：按角分的三角形，除了这三类，还有没有其他的可能？
生2：没有。
师：等边三角形属于等腰三角形吗？反之，这句话成立吗？
生3：等边三角形是特殊的等腰三角形，而等腰三角形却不一定都是等边三角形。（学生明白三角形按边分两类比较科学）
（教师画第二个椭圆完成按边分的集合图）
本环节不但让学生从具体到抽象理解了各类三角形的概念和特征，而且培养了学生归纳和概括的能力，渗透了分类和集合的数学思维。学生能够自觉地获取、评估、鉴别、使用信息，也是主动适应数字化生存能力和“互联网 ”时代的发展趋势。同时，该教学过程对于培养学生在日常生活中的房间整理、书包整理、时间整理等自我管理意识具有很强的潜移默化作用。
二、由隐含条件提升学生批判质疑、勇于探究的科学精神
有些数学题目没有直接给出解决问题的条件，但是可以根据已有的表述得出条件，或者虽然没有明文表述，但是隐含的条件是一个真理，这些都需要学生由表及里，大胆质疑，勇于探索。 【教学片段5】
师：在现实生活中，三角形的个数可不止黑板上的这一些。按角分的三角形，除了这三种，还有别的可能吗？我们先做个小游戏——我猜、我猜、我猜猜猜。纸板后全部是三角形，只露出其中的一个角，猜猜是什么三角形？为什么？（如图2）
生1：第一个是直角三角形，因为有一个直角的三角形是直角三角形。
生2：第二个是钝角三角形，因为有一个钝角的三角形是钝角三角形。
生3：第三个是锐角三角形。
师：有不同意见吗？
生4：还可能是直角三角形或钝角三角形。
师：为什么？
生4：因为每个三角形都至少有两个锐角，它不一定是锐角三角形，所以这三种三角形都有可能。
师：如果第三个露出的这个角就是这个三角形中最大的角，那么它一定是什么三角形？
生5：锐角三角形。
师：在一个三角形中能不能同时有两个直角或两个钝角呢？为什么？
生5：不能，要是有两个直角或两个钝角就围不成一个三角形。
生7：根据三角形的内角和为180度来判定，不能有两个直角或两个钝角。
师：如果按角来判断一个三角形是什么样的三角形，我想在你的心中已经有了一个最简单的办法了。不要急，静静地想一想，也许你的回答更精彩。
生8：最简单的办法就是看三角形中最大的一个角，如果最大角是锐角，一定是锐角三角形;如果最大角是直角，就是直角三角形;如果最大角是钝角，就是钝角三角形。
师：你说得真好，一语道破天机啊！
图2虽然隐藏了三角形的两个角，但是前两种情况因为给出的是最大的角，所以很容易判断，第三个三角形则需要教师不断设疑、追问，让学生分析、推理、判断后进行分类。这种探究精神在学习过程中尤为重要，它能帮助学生树立问题意识，有利于培养学生独立判断、缜密思维、大胆尝试的数学素养，以及树立学生尊重事实、严谨治学的科学精神。
三、由转化思想提升学生勤于反思的创新精神
转化数学思想是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题。它是培养学生发散性思维重要的途径和方法。一道层次清晰的拓展延伸題，能使不同的学生都得到了相应的发展。
【教学片段6】
师：将一个正方形的对角线对折后会得到什么样的三角形？
生1：两个直角三角形。
师：很好，这道题没有难倒你们，请听下面的题目。
师：你能把一个平行四边形分成两个完全一样的锐角三角形或者两个完全一样的钝角三角形吗？请取出事先准备好的平行四边形，四人小组合作，画一画、剪一剪、说一说。
生2（演示）：沿着对角线剪开，这样剪，能得到两个锐角三角形;那样剪，可以得到两个钝角三角形。
师：为什么会得到两个不同类型的三角形呢？
生2：因为这个平行四边形有一对相同的锐角，一对相同的钝角;沿着钝角剪开就得到两个完全一样的锐角三角形，沿着锐角剪开就以得到两个完全一样的钝角三角形。
（学生自发鼓掌）
师：通过大家的掌声可以说明你说得很好！大家在探究反思中进一步理解了四边形和三角形之间的关系，这就是利用转化思想解决问题。
教育部印发的《义务教育学校管理标准》中，“实施以学生发展为本的教学”之56条明确要求：“采取启发式、讨论式、合作式等多种教学方式，提高学生参与课堂学习的主动性和积极性。”本课就是让学生通过探索、发现、思考，把四边形问题转化为三角形问题，从而建立四边形和三角形之间的联系，提升学生解决问题的兴趣和热情，使学生能依据特定情境和具体条件，选择制订合理的学习策略和解决方案，最终培养学生的合作和创新精神。这与要求不谋而合。
（责编：童夏）
[关键词]数学思想;三角形的分类;信息意识;科学精神
[中图分类号]G623.5 [文献标识码]A [文章编号]1007-9068（2020）14-0062-03
数学思想是经过思维概括活动而产生的对数学事实的本质认识，它对个体数学学习效果的广泛迁移，包括从数学领域向非数学领域的迁移，都具有重要意义。它更加关注数学学科能力的训练，其并不直接等同于学生的核心素养，要成功实现转化，还需要教师在渗透数学思想的过程中有意识地培养学生的核心素养，实现更高的育人目标。
一、由分類和集合思想提升学生的信息意识和自我管理能力
分类就意味着给学生提供一系列的数学信息，让学生在这些信息中高度概括或者提炼新的数学知识，发现数学规律，提升数学能力。
1.分类的基本原理是信息处理的前提与基础
【教学片段1】
师（出示7个三角形）：你们每个小组都有这样的一套三角形，本节课我们就对7个三角形进行分类。分类时可以用目测法，也可以利用手中的学具比一比、量一量。
师：因为观念决定行动，建议同学们在动手操作之前想一想：分类的基本原则是什么？
生1：统一标准，不重复，不遗漏。
分类是有标准的，就是依据分类的标准处理不同的、杂乱的信息，使之有序，为今后数学学习和生活中建立分类数学思想建构模型。
2.动手操作，通过分类整理促进学生信息处理意识和能力
【教学片段2】
师：老师为同学们准备了一张探究活动卡（如图1），请按照探究卡上的提示一步一步完成分类整理。先用自己喜欢的方式大声读一读吧！
为学生提供“数学对话”的机会，从学生已有知识经验出发，让学生自己给三角形分类。学生分类的方法有许多，每个小组都有不同的分类标准。这时教师不要急于评价，而是让学生充分交流、质疑，让学生暴露思维过程，从而使学生在操作、体验、感悟中建构新的知识系统。如：学生没按统一标准分，将7个三角形分为直角三角形、钝角三角形、等腰三角形、不等边三角形四类。对此，教师应引导学生：“你们组一会儿按角分，一会儿按边分，没有按统一标准来分，不符合分类的基本原则。”让学生先说一说各类三角形的特点，这样就符合学生的认知规律，重点突出，难点突破。
3.汇报交流，提升小组和自我管理意识
【教学片段3】
师：汇报交流是分享的好方法，哪个小组先来？
生1：我们组按三角形编号的单双数来分类，1、3、5、7号放在一起，2、4、6号放在一起。
师：这种分类方法可以，但它是按照三角形的特点来分类的吗？
生2：不是。
生3：我们组分为直角三角形、钝角三角形、等腰三角形、不等边三角形。
生4：你们组一会儿按角分，一会儿按边分，没有统一标准。
生5：没有按照分类的基本原则来分，这种分类方法不合适。
师：大家说得都很好，看来道理是越辩越明呀！同学们分类时一定要注意统一标准。
生6：我们组是按角来分类。我们把1、2、3号三角形放在一起，因为它们三个角都是锐角，所以命名为锐角三角形;把4、5号放在一起，因为它们都有一个角是直角，所以命名为直角三角形;把6、7号放在一起，因为它们都有一个角是钝角，所以命名为钝角三角形。（学生到黑板上边操作，边讲解）
师：这种分类方法可以吗？
生（齐）：可以。
师：他表达得很清晰，大家一听就明白了。还有其他分法吗？
生7：我们组按边来分的，把2、5、6号放在一起，因为它们三边都不相等，所以命名为不等边三角形;把4、7、1号放在一起，因为它们都有两条边相等，所以叫等腰三角形;把3号单独分为一类，因为它三条边都相等，所以叫等边三角形。
师：你们竞然和数学家想到了一块，太了不起了！老师建议大家把掌声送给他们！
分类是一种重要的数学思想，它提供了更加深入的研究方法，具有重要的数学价值。这种探究活动不仅能让学生获得知识，感悟抽象概括的数学思想，而且能引导学生合理分配时间与精力，能够渗透一种自主发展、自我管理的意识。
4.完成集合图，进一步对信息进行归纳整理
【教学片段4】
师：如果把这些三角形看作一个大家庭的话，可以分成几个小家庭呢？
生1：3个，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
（教师画一个椭圆完成按角分的集合图）
师：按角分的三角形，除了这三类，还有没有其他的可能？
生2：没有。
师：等边三角形属于等腰三角形吗？反之，这句话成立吗？
生3：等边三角形是特殊的等腰三角形，而等腰三角形却不一定都是等边三角形。（学生明白三角形按边分两类比较科学）
（教师画第二个椭圆完成按边分的集合图）
本环节不但让学生从具体到抽象理解了各类三角形的概念和特征，而且培养了学生归纳和概括的能力，渗透了分类和集合的数学思维。学生能够自觉地获取、评估、鉴别、使用信息，也是主动适应数字化生存能力和“互联网 ”时代的发展趋势。同时，该教学过程对于培养学生在日常生活中的房间整理、书包整理、时间整理等自我管理意识具有很强的潜移默化作用。
二、由隐含条件提升学生批判质疑、勇于探究的科学精神
有些数学题目没有直接给出解决问题的条件，但是可以根据已有的表述得出条件，或者虽然没有明文表述，但是隐含的条件是一个真理，这些都需要学生由表及里，大胆质疑，勇于探索。 【教学片段5】
师：在现实生活中，三角形的个数可不止黑板上的这一些。按角分的三角形，除了这三种，还有别的可能吗？我们先做个小游戏——我猜、我猜、我猜猜猜。纸板后全部是三角形，只露出其中的一个角，猜猜是什么三角形？为什么？（如图2）
生1：第一个是直角三角形，因为有一个直角的三角形是直角三角形。
生2：第二个是钝角三角形，因为有一个钝角的三角形是钝角三角形。
生3：第三个是锐角三角形。
师：有不同意见吗？
生4：还可能是直角三角形或钝角三角形。
师：为什么？
生4：因为每个三角形都至少有两个锐角，它不一定是锐角三角形，所以这三种三角形都有可能。
师：如果第三个露出的这个角就是这个三角形中最大的角，那么它一定是什么三角形？
生5：锐角三角形。
师：在一个三角形中能不能同时有两个直角或两个钝角呢？为什么？
生5：不能，要是有两个直角或两个钝角就围不成一个三角形。
生7：根据三角形的内角和为180度来判定，不能有两个直角或两个钝角。
师：如果按角来判断一个三角形是什么样的三角形，我想在你的心中已经有了一个最简单的办法了。不要急，静静地想一想，也许你的回答更精彩。
生8：最简单的办法就是看三角形中最大的一个角，如果最大角是锐角，一定是锐角三角形;如果最大角是直角，就是直角三角形;如果最大角是钝角，就是钝角三角形。
师：你说得真好，一语道破天机啊！
图2虽然隐藏了三角形的两个角，但是前两种情况因为给出的是最大的角，所以很容易判断，第三个三角形则需要教师不断设疑、追问，让学生分析、推理、判断后进行分类。这种探究精神在学习过程中尤为重要，它能帮助学生树立问题意识，有利于培养学生独立判断、缜密思维、大胆尝试的数学素养，以及树立学生尊重事实、严谨治学的科学精神。
三、由转化思想提升学生勤于反思的创新精神
转化数学思想是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题。它是培养学生发散性思维重要的途径和方法。一道层次清晰的拓展延伸題，能使不同的学生都得到了相应的发展。
【教学片段6】
师：将一个正方形的对角线对折后会得到什么样的三角形？
生1：两个直角三角形。
师：很好，这道题没有难倒你们，请听下面的题目。
师：你能把一个平行四边形分成两个完全一样的锐角三角形或者两个完全一样的钝角三角形吗？请取出事先准备好的平行四边形，四人小组合作，画一画、剪一剪、说一说。
生2（演示）：沿着对角线剪开，这样剪，能得到两个锐角三角形;那样剪，可以得到两个钝角三角形。
师：为什么会得到两个不同类型的三角形呢？
生2：因为这个平行四边形有一对相同的锐角，一对相同的钝角;沿着钝角剪开就得到两个完全一样的锐角三角形，沿着锐角剪开就以得到两个完全一样的钝角三角形。
（学生自发鼓掌）
师：通过大家的掌声可以说明你说得很好！大家在探究反思中进一步理解了四边形和三角形之间的关系，这就是利用转化思想解决问题。
教育部印发的《义务教育学校管理标准》中，“实施以学生发展为本的教学”之56条明确要求：“采取启发式、讨论式、合作式等多种教学方式，提高学生参与课堂学习的主动性和积极性。”本课就是让学生通过探索、发现、思考，把四边形问题转化为三角形问题，从而建立四边形和三角形之间的联系，提升学生解决问题的兴趣和热情，使学生能依据特定情境和具体条件，选择制订合理的学习策略和解决方案，最终培养学生的合作和创新精神。这与要求不谋而合。
（责编：童夏）