论文部分内容阅读
摘要：今年的江苏高考数学刚结束，许多人对数学考题难度提出质疑。笔者以江苏高考试题中一道数学建模题为例，通过对师生的访谈调查，发现一个重要原因是考生平时对待教材中例题和习题的学习态度和方法出现了偏差，并提出了一些可行的解决方案。
关键字：高考；应用题；创新；建模
2010年的江苏高考数学刚结束，如往年一样，出现了很多对今年高考数学的议论，众说纷纭，莫衷一是。本文仅针对其中一道数学建模题进行探讨，并通过相关调查数据进行分析，期望能对初中和高中数学的教与学起到一个正确的引导作用，避免将学生引入一个学习误区。
一、真题及其解法再现
年高考数学试题中第17题（14分）：某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如图（1），垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.
（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,请据此算出H的值。
（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大？
图（1）图（2）
分析：此题关键要找出C点的位置，清楚α-β最大时tan(α-β)也最大
解：（1）因为： tanα=■,tanβ=■=■，AE=H
则：BA=■,DA=■,DB=■
因为DA=DB+BA所以■=■+■
带入tanα=1.24，tanβ=1.20
得■＝■＋■，所以H=124m
（2）由题意知：tanα=■，tanβ=■，
因为■=■=■所以■=■
则 DB=■ｔａｎβ=■
ｔａｎ（α－β）=■＝■＝■
≤■＝■（ｄ＞０ ）
当且仅当ｄ＝■时，即ｄ＝５５■m时ｔａｎ（α－β）最大，
因为０＜α－β＜■，所以α－β也取最大值
所以，ｄ＝５５■m时，α－β取最大值。
二、关于该题的讨论
此题主要考察学生对三角形边角关系的应用能力，第二问还考察了学生对差角公式和基本不等式、三角函数单调性的理解程度和运用能力，第一问属于简单题，第二问属于中等题。这两题充分体现了高考是以基础性题型为主的宗旨，对学生具有扎实基础的重视。这道题的第一问和第二问分别来源于来源于苏教版数学必修5第11页习题第3题和必修5第110页习题第11题。
（第3题）如图（2）所示，从A点和B点测得上海东方明珠电视塔顶C的仰角分别是38.30和500，AB=200m，求东方明珠电视塔的高度（精确到1m）。
（第11题）如右图，有一壁画，最高点A处离地面4m，最低点B处离地面2m，若从离地高1.5m的C处观赏它，则离墙多远时，视角θ最大？
这道高考题显然是源于书本又高于书本的再现。
本题很好地体现了数学的应用意识和创新要求。在平时教学过程中，如果能指导学生在这类题上多花一点时间去实践、去讨论，就不难发现在具体测量时，角度差和已知线段长度所起的关键作用，并能发现采用标杆的实际意义。如果学生对书上的这2道题能够认真阅读理解并予以实践，就能进一步发现运用差角的正弦才是最合理的思路并可以解决所有问题，也就不会再因这种高考题而失分。因此，该题对引导教学走向实践和创新有重大的启示作用。
这道高考题符合考试大纲对数学的应用意识的考查要求，提醒学生要重视基础知识，熟悉教材，弄清知识产生的原因、过程，理解其中蕴含的数学思想和方法，了解知识的去向，重视总结一些由课本知识演变出的中间结论。
同时这道高考题还提醒考生要重视加强运算能力和式子变形的训练，体现了课程标准对运算的基本要求。平时应加强这方面的训练，熟练掌握课本中的法则、公式及其变形，在训练中反思积累不同问题优化运算的方法，提高简便解决繁杂计算的能力和估算能力，提高考生的数学素养。
另外，这道高考题还体现了课标对创新意识的考查要求，需要考生能够综合、灵活运用所学的数学知识和思想方法，创造性地提出解决问题的方法。
为了解考生在应用题上面的考试情况，我们对几所省重点中学和普通中学部分在校外接受辅导的高三毕业生进行了抽样调查和走访，随机发放调查问卷100份，收回有效问卷86份。
下面是通过调查得到的数据统计表：
■
通过调查走访和相关数据可以发现，每个学校都存在成绩较好、成绩中等和成绩不如人意的三类学生，其中不少学生都对书本上的例题和应用题存在轻视现象，很多中等偏下的学生甚至无法用数学关系式来表述应用题的的含义，平时对其中的近似计算普遍使用计算器完成，笔算能力尤其缺乏，计算正确率很低。
另外，笔者还走访了部分学校的老师，大家认为这份试题恰好击中了当前数学中教与学的软肋，有利于今后的教学改革。大多教师认为这道题可以激励一线的教师发挥自身的创意与创造力，将创意与创造力运用于学科教学活动中，重视书本习题的挖掘和创新，积极设计提升学生创造力的教材教法，让学生对数学学习产生兴趣，进而提升学习效果。
三、教学建议
1.研读课标，增强建模意识
课本是高考命题的基本依据和“发源地”，历年高考题都能在课本中找到它们的原型。因而立足课本、落实“三基”、发掘考点，乃是提高应用题得分率的最基本策略。笔者认为一要有意识地将课本中的应用题仔细分析归类，二要将课本中的基本题加以改造，赋予新的应用背景，其核心是培养学生应用数学建模的意识和创新能力。
例：我国土地面积约为9．60×10６ｋｍ２，大部分位于地球北温带，求我国领土是北温带面积的百分之几?（《立体几何》第93页例2）
分析：本题是一道培养学生应用数学意识的好题，关键要抓住三个转化：一是将“地理学”概念（北温带、北回归线、北极圈等）转化为数学概念（球带ＡＢDC、小圆）；二是符号语言转化为图形语言，北纬66．5°即图中∠ＯＣＤ，北纬23．5°即图中∠ＯＡＢ；三是数学内在的精确性与应用的近似性的辩证关系。本题选用公式及查表求值一定要精确，然而实际计算却无法精确实现，只能取近似值计算，这就产生了精度要求和近似计算的问题。这些均培养了学生的数学应用意识。
2.立足课本，升华例题习题
我们教师首先要能认识到书本上的几乎每个例题和习题都可以在生活中找到原型，都是一个个鲜活的数学模型，需要我们对书本进行深入的挖掘和研究，不能用大量的课外题来替代教师创造性的教学研究。
下面一道看似纯数学的不等式证明，其实就是从简单的生活背景中抽取出来的数学模型：
例：已知ａ，ｂ，ｍ∈ ，并且ａ＜ｂ，则 ＞ （见苏教版选修4-5不等式选讲第15页例3）。
背景一：把ａ克食盐加入ｂ－ａ克水中，则溶液的浓度的是；若再添加ｍ克食盐则溶液的浓度是 ，显然， ＞∴盐水更咸了。（生活常识）
背景二：根据建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好。问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变坏了，请说明理由。
讲解：设原住宅窗户面积和地板面积分别为ａ，ｂ，同时增加的面积为ｍ，则由题设ａ≤ｂ≤10ａ，
∵ｍ＞0，∴ ＞ ≥10％ 故采光条件变好了。（工程运用）
兴趣是最好的老师，但是高中数学的抽象性令许多同学望而生畏，甚至让他们丧失了继续学习的信心。数学建模就是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，可以让学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，对数学有一种感性的认识，能帮助学生恢复对数学学习的兴趣。
3.分门别类，把准出题脉博
高考中的应用题往往是比较优秀的，它们对巩固知识、培养能力、发展思维都是好素材，只有认真研究、分析高考中的应用题，才能把握知识范围和能力要求，做到心中有数。近几年高考应用题所涉知识及数学模型如下：
由此可见，近年高考应用题所涉及数学知识点尤以函数应用性问题最多。这类问题题源丰富，内容深刻，解法灵活多样，且极易与不等式、数列、极限、几何等内容相关联，是历年高考应用问题命题的一个热点。
综上所述，今年的高考数学应用题难度应该算是比较适中，考得不好，发挥不正常，要从多方面寻找原因。我们认为这种考法才能真正启发学生去重视课本例题和习题的研习与应用，激发学生的探求精神，对学生的创新思维养成有很大的促进作用，能有效的引导学校日常教学朝健康的方向发展。
【参考文献】
[1]萧嘉璋．国立中央大学数学系，中小学数学教师创意教学竞赛的推广实务与经验分享，数学创意教学研讨会论文集，2006.
[2]姜启源.数学模型（第二版），高等教育出版社，1992.
[3]韩中庚.数学建模方法及其应用,高等教育出版社，2005(6).
[4]罗增儒.数学解题学引论,陕西师范大学出版社，1997.
关键字：高考；应用题；创新；建模
2010年的江苏高考数学刚结束，如往年一样，出现了很多对今年高考数学的议论，众说纷纭，莫衷一是。本文仅针对其中一道数学建模题进行探讨，并通过相关调查数据进行分析，期望能对初中和高中数学的教与学起到一个正确的引导作用，避免将学生引入一个学习误区。
一、真题及其解法再现
年高考数学试题中第17题（14分）：某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如图（1），垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.
（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,请据此算出H的值。
（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大？
图（1）图（2）
分析：此题关键要找出C点的位置，清楚α-β最大时tan(α-β)也最大
解：（1）因为： tanα=■,tanβ=■=■，AE=H
则：BA=■,DA=■,DB=■
因为DA=DB+BA所以■=■+■
带入tanα=1.24，tanβ=1.20
得■＝■＋■，所以H=124m
（2）由题意知：tanα=■，tanβ=■，
因为■=■=■所以■=■
则 DB=■ｔａｎβ=■
ｔａｎ（α－β）=■＝■＝■
≤■＝■（ｄ＞０ ）
当且仅当ｄ＝■时，即ｄ＝５５■m时ｔａｎ（α－β）最大，
因为０＜α－β＜■，所以α－β也取最大值
所以，ｄ＝５５■m时，α－β取最大值。
二、关于该题的讨论
此题主要考察学生对三角形边角关系的应用能力，第二问还考察了学生对差角公式和基本不等式、三角函数单调性的理解程度和运用能力，第一问属于简单题，第二问属于中等题。这两题充分体现了高考是以基础性题型为主的宗旨，对学生具有扎实基础的重视。这道题的第一问和第二问分别来源于来源于苏教版数学必修5第11页习题第3题和必修5第110页习题第11题。
（第3题）如图（2）所示，从A点和B点测得上海东方明珠电视塔顶C的仰角分别是38.30和500，AB=200m，求东方明珠电视塔的高度（精确到1m）。
（第11题）如右图，有一壁画，最高点A处离地面4m，最低点B处离地面2m，若从离地高1.5m的C处观赏它，则离墙多远时，视角θ最大？
这道高考题显然是源于书本又高于书本的再现。
本题很好地体现了数学的应用意识和创新要求。在平时教学过程中，如果能指导学生在这类题上多花一点时间去实践、去讨论，就不难发现在具体测量时，角度差和已知线段长度所起的关键作用，并能发现采用标杆的实际意义。如果学生对书上的这2道题能够认真阅读理解并予以实践，就能进一步发现运用差角的正弦才是最合理的思路并可以解决所有问题，也就不会再因这种高考题而失分。因此，该题对引导教学走向实践和创新有重大的启示作用。
这道高考题符合考试大纲对数学的应用意识的考查要求，提醒学生要重视基础知识，熟悉教材，弄清知识产生的原因、过程，理解其中蕴含的数学思想和方法，了解知识的去向，重视总结一些由课本知识演变出的中间结论。
同时这道高考题还提醒考生要重视加强运算能力和式子变形的训练，体现了课程标准对运算的基本要求。平时应加强这方面的训练，熟练掌握课本中的法则、公式及其变形，在训练中反思积累不同问题优化运算的方法，提高简便解决繁杂计算的能力和估算能力，提高考生的数学素养。
另外，这道高考题还体现了课标对创新意识的考查要求，需要考生能够综合、灵活运用所学的数学知识和思想方法，创造性地提出解决问题的方法。
为了解考生在应用题上面的考试情况，我们对几所省重点中学和普通中学部分在校外接受辅导的高三毕业生进行了抽样调查和走访，随机发放调查问卷100份，收回有效问卷86份。
下面是通过调查得到的数据统计表：
■
通过调查走访和相关数据可以发现，每个学校都存在成绩较好、成绩中等和成绩不如人意的三类学生，其中不少学生都对书本上的例题和应用题存在轻视现象，很多中等偏下的学生甚至无法用数学关系式来表述应用题的的含义，平时对其中的近似计算普遍使用计算器完成，笔算能力尤其缺乏，计算正确率很低。
另外，笔者还走访了部分学校的老师，大家认为这份试题恰好击中了当前数学中教与学的软肋，有利于今后的教学改革。大多教师认为这道题可以激励一线的教师发挥自身的创意与创造力，将创意与创造力运用于学科教学活动中，重视书本习题的挖掘和创新，积极设计提升学生创造力的教材教法，让学生对数学学习产生兴趣，进而提升学习效果。
三、教学建议
1.研读课标，增强建模意识
课本是高考命题的基本依据和“发源地”，历年高考题都能在课本中找到它们的原型。因而立足课本、落实“三基”、发掘考点，乃是提高应用题得分率的最基本策略。笔者认为一要有意识地将课本中的应用题仔细分析归类，二要将课本中的基本题加以改造，赋予新的应用背景，其核心是培养学生应用数学建模的意识和创新能力。
例：我国土地面积约为9．60×10６ｋｍ２，大部分位于地球北温带，求我国领土是北温带面积的百分之几?（《立体几何》第93页例2）
分析：本题是一道培养学生应用数学意识的好题，关键要抓住三个转化：一是将“地理学”概念（北温带、北回归线、北极圈等）转化为数学概念（球带ＡＢDC、小圆）；二是符号语言转化为图形语言，北纬66．5°即图中∠ＯＣＤ，北纬23．5°即图中∠ＯＡＢ；三是数学内在的精确性与应用的近似性的辩证关系。本题选用公式及查表求值一定要精确，然而实际计算却无法精确实现，只能取近似值计算，这就产生了精度要求和近似计算的问题。这些均培养了学生的数学应用意识。
2.立足课本，升华例题习题
我们教师首先要能认识到书本上的几乎每个例题和习题都可以在生活中找到原型，都是一个个鲜活的数学模型，需要我们对书本进行深入的挖掘和研究，不能用大量的课外题来替代教师创造性的教学研究。
下面一道看似纯数学的不等式证明，其实就是从简单的生活背景中抽取出来的数学模型：
例：已知ａ，ｂ，ｍ∈ ，并且ａ＜ｂ，则 ＞ （见苏教版选修4-5不等式选讲第15页例3）。
背景一：把ａ克食盐加入ｂ－ａ克水中，则溶液的浓度的是；若再添加ｍ克食盐则溶液的浓度是 ，显然， ＞∴盐水更咸了。（生活常识）
背景二：根据建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好。问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变坏了，请说明理由。
讲解：设原住宅窗户面积和地板面积分别为ａ，ｂ，同时增加的面积为ｍ，则由题设ａ≤ｂ≤10ａ，
∵ｍ＞0，∴ ＞ ≥10％ 故采光条件变好了。（工程运用）
兴趣是最好的老师，但是高中数学的抽象性令许多同学望而生畏，甚至让他们丧失了继续学习的信心。数学建模就是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，可以让学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，对数学有一种感性的认识，能帮助学生恢复对数学学习的兴趣。
3.分门别类，把准出题脉博
高考中的应用题往往是比较优秀的，它们对巩固知识、培养能力、发展思维都是好素材，只有认真研究、分析高考中的应用题，才能把握知识范围和能力要求，做到心中有数。近几年高考应用题所涉知识及数学模型如下：
由此可见，近年高考应用题所涉及数学知识点尤以函数应用性问题最多。这类问题题源丰富，内容深刻，解法灵活多样，且极易与不等式、数列、极限、几何等内容相关联，是历年高考应用问题命题的一个热点。
综上所述，今年的高考数学应用题难度应该算是比较适中，考得不好，发挥不正常，要从多方面寻找原因。我们认为这种考法才能真正启发学生去重视课本例题和习题的研习与应用，激发学生的探求精神，对学生的创新思维养成有很大的促进作用，能有效的引导学校日常教学朝健康的方向发展。
【参考文献】
[1]萧嘉璋．国立中央大学数学系，中小学数学教师创意教学竞赛的推广实务与经验分享，数学创意教学研讨会论文集，2006.
[2]姜启源.数学模型（第二版），高等教育出版社，1992.
[3]韩中庚.数学建模方法及其应用,高等教育出版社，2005(6).
[4]罗增儒.数学解题学引论,陕西师范大学出版社，1997.