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学生的数学学习过程是以已有知识、经验为基础的主动建构过程。这在新课改走入“深水区”的今天，已被广大教师所认可。然而在日常教学中，要真正将“知”付诸“行”，并非易事。教师常苦于找不到学生“主动”学、“主动”建构的支点而使他们的数学学习陷于“被动”的泥潭，从而影响其思维、情感的充分发展。现以苏教版《数学》六年级下册中“圆柱侧面积计算公式推导”的磨课经历为例谈些体会。
首次施教
师：既然把圆柱形罐头侧面的商标纸剪开后，总能得到长方形（趁机贴出圆柱图及展开的长方形图），现在要求圆柱形罐头的侧面积就是要求谁的面积？
生：求长方形的面积。
师：那这个长方形的长和宽与圆柱有什么联系？怎样计算圆柱的侧面积呢？快拿出剪开的商标纸和圆柱来围一围，以帮助我们思考。（学生操作、思考。）
学生交流：长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，圆柱的侧面积等于底面周长乘高。（教师随学生回答点击课件，出示结论。）
......
整个课堂沉闷、乏味，缺失数学课堂应有的思维波澜和张力。在课后访谈中，教师问学生：你们是怎么发现长方形长、宽与圆柱的联系的？大多数学生说：“书上有的，我们在预习时就知道了。”教师愕然，原来学生的“发现”是建立在“预习”的基础之上，而非理解的基础之上。可见，上述学习过程对学生的主动建构和思维发展并没有多大的促进作用。其原因在于：一是学生被教师牵着走，学习与思考被动。教师步步为营，为学生提供构建圆柱侧面积计算公式的一切铺垫，学生只是顺着教师提供的思路亦步亦趋地探究，浅尝辄止，进行低效的“被动”建构。二是教师以抽象解释抽象，感知模糊、肤浅。在沟通展开长方形的长、宽与圆柱的联系时，学生的操作、观察等学习活动，是以抽象来解释抽象，缺少具体、有针对性的刺激，感知不够深刻、体验不够丰厚、理解不够透彻。这不利于发展学生思维的主动性、深刻性。
改进教学
师：既然把圆柱形罐头侧面的商标纸剪开，最后总能得到长方形（同上），现在要求圆柱形罐头的侧面积就是要求谁的面积？
生：求长方形的面积。
师：长方形的面积大家都会算，如果现在给你两个数据会求它的面积吗？
生（以为是告诉长和宽）：会！（齐答）
师（在圆柱图上标出圆柱的底面周长是3.14cm，高是2 cm）：这个长方形的面积（手指展开图）是多少？
（大部分学生楞了一下，开始思索，个别已发现解答方法并开始举手。）
生：6.28 cm2
师：你是怎么算的？
生：3.14×2=6.28cm2
师（故作惊讶）：我不太明白，长方形的面积应该用“长×宽”来计算，怎么可以用这两个条件来算呢？（手指底面周长和高）能解释清楚吗？
生（有点高兴、激动）：我发现长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高（边说边演示）。所以长方形的面积就等于底面周长乘高，也就是圆柱的侧面积等于底面周长乘高。
师：大家听清楚、看明白了吗？谁也能和那位同学一样来解释一遍？
生：（略）
师：用剪开的商标纸围一围，看是不是这回事？
（学生操作验证）……
上述教学中，修改的关键之处在于直接给出了圆柱底面周长和高的两个数据，却得到惊喜的教学变化：一是引发冲突，激发求知欲。表面看两个数据似乎与长方形面积的计算没有直接联系，却已将“沟通展开长方形长、宽与圆柱的联系”包含进去，承载了一定的思维容量。给学生造成强烈的刺激，引发认知冲突，诱使学生主动去探究、发现两者的联系。二是依托探究媒介，以具体解释抽象。小学生的思维还处于形象向抽象过渡阶段，精选的两个数据为学生观察、思考、表述两者间的抽象联系提供了媒介。三是深刻感知，自主建构。在出示数据初，一些学生遇到了认知困难，教师在及时介入时以装糊涂的形式陪着学生走，让学生自主探索，自己想出办法让别人看懂、听明白，促使他们在深刻感知后水到渠成地构建圆柱侧面积计算公式。
课后反思
两个精心设计的数据缘何能引发学生的学习由“被动”向“主动”嬗变？阿基米德所说“给我一个支点，我将撬动整个地球”的名言能给予我们启发：在教学中，只要找到一个支点，也能四两拨千斤，推动数学学习由“被动”变“主动”，走向高效。这个支点就是新知识逻辑发展和学生思维发展的契合处。找到它的前提是把握数学知识与学生思维的本质，用好它的关键是在此支点上巧妙地创设体验活动。
一、 让“支点”植根于数学知识本质
让“支点” 植根于数学知识本质需要教师透彻理解数学知识的本质，这是教学中促进学生学习由“被动”变“主动”的前提。只有理解透彻了，才能用学生最易理解的语言、最有效的方式来描述数学知识，设计学习活动。实践中，关键要准确把握知识的“源”与“流”。“源”就是知识的源头，这个知识从哪里来，现在处在什么位置。把握“源”才能依据教学目标来还原新知识“再创造”的最佳路径。“流”就是新知识要“流向”哪里，它有哪些后续价值。把握“流”才能掌握好难度来恰到好处地凸显新知识的价值。这样，才能准确地引导学生去主动探求新知识的本质及相关知识间的内在联系，构建合理的认知结构。改进的教学中，“3.14与2”这两个数据就是在“沟通展开长方形的长、宽与圆柱的联系”的本质上应运而生的。
二、 让“支点”扣准学生思维本质
影响学生主动学习的一个重要原因是教师把握不准学生的思维本质，习惯以自己的经验、理解这一定势来想当然地替代学生的经验、思维过程。让“支点”扣准学生思维的本质，关键是教师应站在与“学生思维相似”的视角来分析问题，能清楚地了解学生学习新知时的已有知识与经验，精确地判断他们在学习中会遇到的困难及面对困难可能有的种种想法，从而准确定位并创设促进学生思维、情感发展的学习路径，使学生的已有认知与所学新知、当前思维水平与可能达到的思维水平产生交融共鸣，这是学生积极、主动建构的保证。改进的教学中，以“3.14和2”这两个与圆柱相关的数据来计算展开长方形的面积，恰好符合小学生以具体解释抽象的思维过渡性特点，有一定思维容量的计算探究又激发了学生的求知欲。
三、 在“支点”上创设体验活动
教学中，对新知识本质的理解和掌握，教师常常不自觉地寄希望于苦口婆心的强调，殊不知，这在小学生心中或许是“随便问问”，在心里也就感觉平平，没有留下痕迹。只有通过一定的体验活动才能加深学生的感知，对新知识的本质留下深刻的印象。因此，要引导学生主动学习、主动建构，就应小心翼翼地确立新知识本质与学生思维本质契合的支点，并在此支点上创设丰富、有效的体验活动，让新知识在本质的支点上生根发芽，切入学生思维的最近发展区，以加长对新知本质的感知过程，增强思维进程的“曲折感”和“冲击力”，使得新知识的本质属性在体验中不断反刍，从而牢记于心，并促使学生思维向纵深发展。改进的教学就是立足于“以计算来沟通联系”这一支点，通过“算一算、议一议、围一围”等体验活动来帮助学生自主建构圆柱侧面积计算公式的。
【责任编辑：陈国庆】
首次施教
师：既然把圆柱形罐头侧面的商标纸剪开后，总能得到长方形（趁机贴出圆柱图及展开的长方形图），现在要求圆柱形罐头的侧面积就是要求谁的面积？
生：求长方形的面积。
师：那这个长方形的长和宽与圆柱有什么联系？怎样计算圆柱的侧面积呢？快拿出剪开的商标纸和圆柱来围一围，以帮助我们思考。（学生操作、思考。）
学生交流：长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，圆柱的侧面积等于底面周长乘高。（教师随学生回答点击课件，出示结论。）
......
整个课堂沉闷、乏味，缺失数学课堂应有的思维波澜和张力。在课后访谈中，教师问学生：你们是怎么发现长方形长、宽与圆柱的联系的？大多数学生说：“书上有的，我们在预习时就知道了。”教师愕然，原来学生的“发现”是建立在“预习”的基础之上，而非理解的基础之上。可见，上述学习过程对学生的主动建构和思维发展并没有多大的促进作用。其原因在于：一是学生被教师牵着走，学习与思考被动。教师步步为营，为学生提供构建圆柱侧面积计算公式的一切铺垫，学生只是顺着教师提供的思路亦步亦趋地探究，浅尝辄止，进行低效的“被动”建构。二是教师以抽象解释抽象，感知模糊、肤浅。在沟通展开长方形的长、宽与圆柱的联系时，学生的操作、观察等学习活动，是以抽象来解释抽象，缺少具体、有针对性的刺激，感知不够深刻、体验不够丰厚、理解不够透彻。这不利于发展学生思维的主动性、深刻性。
改进教学
师：既然把圆柱形罐头侧面的商标纸剪开，最后总能得到长方形（同上），现在要求圆柱形罐头的侧面积就是要求谁的面积？
生：求长方形的面积。
师：长方形的面积大家都会算，如果现在给你两个数据会求它的面积吗？
生（以为是告诉长和宽）：会！（齐答）
师（在圆柱图上标出圆柱的底面周长是3.14cm，高是2 cm）：这个长方形的面积（手指展开图）是多少？
（大部分学生楞了一下，开始思索，个别已发现解答方法并开始举手。）
生：6.28 cm2
师：你是怎么算的？
生：3.14×2=6.28cm2
师（故作惊讶）：我不太明白，长方形的面积应该用“长×宽”来计算，怎么可以用这两个条件来算呢？（手指底面周长和高）能解释清楚吗？
生（有点高兴、激动）：我发现长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高（边说边演示）。所以长方形的面积就等于底面周长乘高，也就是圆柱的侧面积等于底面周长乘高。
师：大家听清楚、看明白了吗？谁也能和那位同学一样来解释一遍？
生：（略）
师：用剪开的商标纸围一围，看是不是这回事？
（学生操作验证）……
上述教学中，修改的关键之处在于直接给出了圆柱底面周长和高的两个数据，却得到惊喜的教学变化：一是引发冲突，激发求知欲。表面看两个数据似乎与长方形面积的计算没有直接联系，却已将“沟通展开长方形长、宽与圆柱的联系”包含进去，承载了一定的思维容量。给学生造成强烈的刺激，引发认知冲突，诱使学生主动去探究、发现两者的联系。二是依托探究媒介，以具体解释抽象。小学生的思维还处于形象向抽象过渡阶段，精选的两个数据为学生观察、思考、表述两者间的抽象联系提供了媒介。三是深刻感知，自主建构。在出示数据初，一些学生遇到了认知困难，教师在及时介入时以装糊涂的形式陪着学生走，让学生自主探索，自己想出办法让别人看懂、听明白，促使他们在深刻感知后水到渠成地构建圆柱侧面积计算公式。
课后反思
两个精心设计的数据缘何能引发学生的学习由“被动”向“主动”嬗变？阿基米德所说“给我一个支点，我将撬动整个地球”的名言能给予我们启发：在教学中，只要找到一个支点，也能四两拨千斤，推动数学学习由“被动”变“主动”，走向高效。这个支点就是新知识逻辑发展和学生思维发展的契合处。找到它的前提是把握数学知识与学生思维的本质，用好它的关键是在此支点上巧妙地创设体验活动。
一、 让“支点”植根于数学知识本质
让“支点” 植根于数学知识本质需要教师透彻理解数学知识的本质，这是教学中促进学生学习由“被动”变“主动”的前提。只有理解透彻了，才能用学生最易理解的语言、最有效的方式来描述数学知识，设计学习活动。实践中，关键要准确把握知识的“源”与“流”。“源”就是知识的源头，这个知识从哪里来，现在处在什么位置。把握“源”才能依据教学目标来还原新知识“再创造”的最佳路径。“流”就是新知识要“流向”哪里，它有哪些后续价值。把握“流”才能掌握好难度来恰到好处地凸显新知识的价值。这样，才能准确地引导学生去主动探求新知识的本质及相关知识间的内在联系，构建合理的认知结构。改进的教学中，“3.14与2”这两个数据就是在“沟通展开长方形的长、宽与圆柱的联系”的本质上应运而生的。
二、 让“支点”扣准学生思维本质
影响学生主动学习的一个重要原因是教师把握不准学生的思维本质，习惯以自己的经验、理解这一定势来想当然地替代学生的经验、思维过程。让“支点”扣准学生思维的本质，关键是教师应站在与“学生思维相似”的视角来分析问题，能清楚地了解学生学习新知时的已有知识与经验，精确地判断他们在学习中会遇到的困难及面对困难可能有的种种想法，从而准确定位并创设促进学生思维、情感发展的学习路径，使学生的已有认知与所学新知、当前思维水平与可能达到的思维水平产生交融共鸣，这是学生积极、主动建构的保证。改进的教学中，以“3.14和2”这两个与圆柱相关的数据来计算展开长方形的面积，恰好符合小学生以具体解释抽象的思维过渡性特点，有一定思维容量的计算探究又激发了学生的求知欲。
三、 在“支点”上创设体验活动
教学中，对新知识本质的理解和掌握，教师常常不自觉地寄希望于苦口婆心的强调，殊不知，这在小学生心中或许是“随便问问”，在心里也就感觉平平，没有留下痕迹。只有通过一定的体验活动才能加深学生的感知，对新知识的本质留下深刻的印象。因此，要引导学生主动学习、主动建构，就应小心翼翼地确立新知识本质与学生思维本质契合的支点，并在此支点上创设丰富、有效的体验活动，让新知识在本质的支点上生根发芽，切入学生思维的最近发展区，以加长对新知本质的感知过程，增强思维进程的“曲折感”和“冲击力”，使得新知识的本质属性在体验中不断反刍，从而牢记于心，并促使学生思维向纵深发展。改进的教学就是立足于“以计算来沟通联系”这一支点，通过“算一算、议一议、围一围”等体验活动来帮助学生自主建构圆柱侧面积计算公式的。
【责任编辑：陈国庆】