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摘要：本文对于网孔分析法和节点分析法在列写电路方程时，两种不同的处理方式进行了探讨。其中，针对直接用自电阻、互电阻、自电导、互电导等列写电路方程时，遇到的正负号的问题，进行了分析，进而可以帮助学生更好的掌握该分析方法的实质内涵。指出另一种处理方式，即在列写网孔方程和节点方程时直接采用基尔霍夫定律的不足之处，是没有对电路分析理论进一步提升，没有展现公式的简洁和优美，每次解决问题时，都从最基础的KCL、KVL方程出发。
关键词：电路分析;网孔分析;节点分析
1绪论
网孔分析法和节点分析法是电路分析基础课程中的教学重点和难点。目前的主要教材中，对于网孔分析法和节点分析法在列寫电路方程时，有两种不同的叙述方式[1-5]。其中，采用最多的一种叙述方式是用公式化的方法直接列写电路方程，即用互电阻、自电阻的方法列写网孔方程，用互电导、自电导的方法列写节点方程。在多年的教学中，对于网孔方程和节点方程部分，我们都是采用这种教学方法。该方法的优点是能快速地列写电路方程，进而求解实际问题。然而，在经历了几年的电路教学之后，我们发现目前各种电路教材中，对于这种叙述方式存在着不足之处。由于部分学生没有掌握列写网孔方程和节点方程的原因，容易造成困惑并且学后容易忘记。另一种叙述方式是在列写网孔方程和节点方程时不采用第一种公式化的直观方法，而是直接采用基尔霍夫电压定律（KVL）和基尔霍夫电流定律（KCL）。虽然这种方法还原了网孔分析法和节点分析法的本来面目，但是笔者认为也有不足之处。这主要是因为网孔分析法和节点分析法是基于基尔霍夫定律，经过数学推导得出的结论。每个学科的知识体系就是在一定的概念、公理、定律的基础上，一步步推导发展起来的。由于以上原因，笔者在本文进一步分析和探讨电路类教材中网孔分析和节点分析教学方法，希望能够帮助学生更好地掌握这两种电路分析方法，提高灵活处理问题的能力。
2 两种不同叙述方式的分析和探讨
2.1 第一种叙述方式
2.1.1网孔分析法
各种教材中[1-4]，首先引入假想的沿着各网孔循环流动的网孔电流，如图1中的箭头所示。由于网孔电流iA， iB， iC是已知的， 可以求出任一支路的电流，网孔电流是完备的变量。另外，已知其中任意两个求不出第三个，即网孔电流是相互独立的变量。接着直接给出以网孔电流表示的沿各个网孔的KVL方程。
归纳总结得到具有3个网孔电路的方程通式，进而推出对于有m 个网孔的电路，可以列写其网孔方程的通式。在这个过程中，引入了恒为正的第i个网孔的自电阻，为第i个网孔中所有电阻之和;可正可负的互电阻，当该两个网孔电流在公共电阻上的方向一致时，互电阻为正，反之，互电阻为负;等式右边为网孔中电压源电压升的代数和。此外，若支路中含有电流源，如果电流源所在的支路只有一个网孔电流经过，则电流源的电流尽量选为网孔电流;如果电流源所在的支路有两个网孔电流经过，通常设电流源的电压后，把按电流源独立电压源处理，增加一个该电流源电流与网孔电流的关系方程。电路有受控源时，把受控源作为独立源，补充控制量用网孔电流表示的方程。
对于网孔分析法，教材这种处理方式中，在列写网孔电流沿各个网孔的KVL方程时，默认的是在任意时刻，沿着该网孔的所有支路电压降的代数和为零;而实际上在任意时刻，沿着该网孔的所有支路电压升的代数和也为零。若采用后一种形式列写网孔电流沿各个网孔的KVL方程，则对应的3个网孔电路的方程通式为：
在这种情况下，进而也可以推出有m 个网孔的电路，列写其网孔方程的通式。引入第i个网孔的自电阻恒为负;引入的互电阻同样是可正可负的，不过当该两个网孔电流在公共电阻上的方向一致时，互电阻是负的，反之，互电阻为正;等式右边则为网孔中电压源电压降的代数和。我们通过对比方程（2）和（3），发现两个方程组实质上是一样的。由于方程两边都相差一个（-1）的乘数，引入的自电阻和互电阻的值也相差一个（-1）的乘数，以及等式右边由网孔中电压源电压升的代数和转变为等式右边网孔中电压源电压降的代数和。因此，在网络分析法的教学中，学生容易犯错误的正负号问题，可以让同学们对比分析基于KVL方程两种表达方式推出网孔方程的情况，进而更好的掌握网络分析方法的实质内涵，提高灵活处理问题的能力。
2.1.2节点分析法
首先教材中引入节点的节点电压，即指定电路中某一个节点为参考节点后[1-4]，其它的节点相对于这个参考节点的电压降。如图2中所示电路，选节点4作参考点，则其余节点1，2，3对参考点的节点电压分别为 un1， un2， un3。节点电压也是完备并且相互独立的变量。各种教材中设流出节点和流入节点的电流分别取正号和负号，可得节点1，2，3的KCL方程如下：
归纳总结得到应用节点法分析具有3个独立节点电路的方程通式，如果电路有n 个独立节点，我们也可以列写出n 个独立节点的节点方程通式。引入自电导，即连接在节点i上的所有支路电导之和，恒为正;互电导或者，即连接在节点i与节点j之间的公共电导，恒为负;各方程的右边是流入这个节点电流源电流的代数和。此外，当支路为一个纯理想电压源支路时，可选择合适的参考点，使该理想电压源成为一个已知节点电压，而对其他独立节点列写节点电压方程;或者假设一个理想电压源中的电流，并将此电流暂当作电流源的电流，列写节点电压方程，然后再利用理想电压源与相应节点电压之间的关系列出补充方程，从而求解。电路有受控源时，把受控源作为独立源，补充控制量用节点电压表示的方程。
对于节点分析法，教材这种处理方式中，在列写KCL方程时，选择的是在任意时刻，流出节点和流入节点的电流分别取正号和负号;而实际上在任意时刻，选择流出节点和流入节点的电流分别取负号和正号，KCL方程同样成立。若采用后一种形式列写节点电压方程，则对应的3个独立节点电路的方程通式为： 在这种情况下，进而推出有n 个独立节点的电路，列写其节点电压方程的通式。通过对比方程组（6）和（7），我们发现两个方程组实质上也是一样的。由于方程两边都相差一个（-1）的乘数，引入的自导和互导的值也相差一个（-1）的乘数，以及等式右边由流入节点电流源电流的代数和就转换为流出节点电流源电流的代数和。因此，在节点分析法的教学中，可以让同学们对比分析基于KCL方程两种表达方式推出节点方程的情况，进而更好的掌握节点分析方法的实质内涵，在实际求解问题时，能够准确的列写节点电压方程。
2.2 第二种叙述方式
2.2.1网孔分析法
对于如图1所示的电路，部分教材[5]仍然先引入网孔电流，选定网孔电流及其绕向，顺着网孔电流绕向，直接用网孔电流表示电阻上的电压，列写各网孔的KVL方程，列写时选择各元件电压降的代数和，如公式（1）所示。解得网孔电流后，再根据网孔电流和各支路电流的关系得到各支路的电流。在这种方式中，没有引入互电阻、自电阻等概念，等式右边可以认为始终等于零，因此在列写各网孔的KVL方程时，选择各元件的电压降的代数和或者各元件的电压升的代数和，效果是一样的。这种处理方式，学生虽然不容易写错正负号，但是没有对问题进一步提升，每次解决问题时，都是从最基础的KVL方程出发。
2.2.2节点分析法
对于如图2所示的电路，部分教材[5]也是先选择参考节点，标明其余各独立节点的电位，各支路电流用节点电压来表示，列写各独立节点的KCL方程，列写时选择流入节点和流出节点的电流分别取负号和正号，如公式（5）所示。解得节点电压后，再根据节点电压和各支路电压的关系得到各支路的电压。在这种方式中，没有引入互电导、自电导等概念，等式右边可以认为始终等于零，因此在列写各独立节点的KCL方程时，选择流出节点的电流取正号或者流出節点的电流取负号，效果也都是一样的。这种处理方式，同样没有对问题进一步提升，没有展现公式的简洁和优美，每次解决问题时，也都是从最基础的KCL方程出发。
3 总结
本文对于网孔分析法和节点分析法在列写电路方程时，两种不同的叙述方式进行了分析和探讨。其中，对于直接列写电路方程的公式化的方法的优点是能快速地列写电路方程，不足之处是学生通常处理不好正负号的问题。通过对于正负号问题的进一步探讨，可以使学生深入理解该方法。另一种叙述方式是在列写网孔方程和节点方程时直接采用基尔霍夫定律。在这种方式中，没有引入互电阻、自电阻、互电导、自电导等概念，等式右边可以认为始终等于零，因此在列写各KCL、KVL方程时，不会出现正负号的混淆问题。虽然这种方法还原了网孔分析法和节点分析法的本来面目，但是这种处理方式，没有对电路分析理论进一步提升，没有展现公式的简洁和优美，每次解决问题时，都是从最基础的KCL、KVL方程出发。
参考文献：
[1] 李瀚荪.电路分析基础[M].北京：高等教育出版社，2016.
[2] 钱建平.电路分析[M].北京：北京理工大学出版社，2016.
[3] 刘英霞.电路分析基础[M].成都：电子科技大学出版社，2010.
[4] 邱关源.电路[M].北京：高等教育出版社，1999.
[5] 颜秋容.电路理论——基础篇[M].北京： 高等教育出版社， 2017.
基金项目：凯里学院校级“一流大学”建设项目（编号：TDYL1805）; 凯里学院“电路分析课程教学内容和考核方式改革的探索”校级教学改革项目;凯里学院博士学位教师专项课题（编号：BS201301）
作者简介：尹海峰（1982— ），男，河南汝南人，教授，研究方向：电路理论、纳米材料的光电性质。
关键词：电路分析;网孔分析;节点分析
1绪论
网孔分析法和节点分析法是电路分析基础课程中的教学重点和难点。目前的主要教材中，对于网孔分析法和节点分析法在列寫电路方程时，有两种不同的叙述方式[1-5]。其中，采用最多的一种叙述方式是用公式化的方法直接列写电路方程，即用互电阻、自电阻的方法列写网孔方程，用互电导、自电导的方法列写节点方程。在多年的教学中，对于网孔方程和节点方程部分，我们都是采用这种教学方法。该方法的优点是能快速地列写电路方程，进而求解实际问题。然而，在经历了几年的电路教学之后，我们发现目前各种电路教材中，对于这种叙述方式存在着不足之处。由于部分学生没有掌握列写网孔方程和节点方程的原因，容易造成困惑并且学后容易忘记。另一种叙述方式是在列写网孔方程和节点方程时不采用第一种公式化的直观方法，而是直接采用基尔霍夫电压定律（KVL）和基尔霍夫电流定律（KCL）。虽然这种方法还原了网孔分析法和节点分析法的本来面目，但是笔者认为也有不足之处。这主要是因为网孔分析法和节点分析法是基于基尔霍夫定律，经过数学推导得出的结论。每个学科的知识体系就是在一定的概念、公理、定律的基础上，一步步推导发展起来的。由于以上原因，笔者在本文进一步分析和探讨电路类教材中网孔分析和节点分析教学方法，希望能够帮助学生更好地掌握这两种电路分析方法，提高灵活处理问题的能力。
2 两种不同叙述方式的分析和探讨
2.1 第一种叙述方式
2.1.1网孔分析法
各种教材中[1-4]，首先引入假想的沿着各网孔循环流动的网孔电流，如图1中的箭头所示。由于网孔电流iA， iB， iC是已知的， 可以求出任一支路的电流，网孔电流是完备的变量。另外，已知其中任意两个求不出第三个，即网孔电流是相互独立的变量。接着直接给出以网孔电流表示的沿各个网孔的KVL方程。
归纳总结得到具有3个网孔电路的方程通式，进而推出对于有m 个网孔的电路，可以列写其网孔方程的通式。在这个过程中，引入了恒为正的第i个网孔的自电阻，为第i个网孔中所有电阻之和;可正可负的互电阻，当该两个网孔电流在公共电阻上的方向一致时，互电阻为正，反之，互电阻为负;等式右边为网孔中电压源电压升的代数和。此外，若支路中含有电流源，如果电流源所在的支路只有一个网孔电流经过，则电流源的电流尽量选为网孔电流;如果电流源所在的支路有两个网孔电流经过，通常设电流源的电压后，把按电流源独立电压源处理，增加一个该电流源电流与网孔电流的关系方程。电路有受控源时，把受控源作为独立源，补充控制量用网孔电流表示的方程。
对于网孔分析法，教材这种处理方式中，在列写网孔电流沿各个网孔的KVL方程时，默认的是在任意时刻，沿着该网孔的所有支路电压降的代数和为零;而实际上在任意时刻，沿着该网孔的所有支路电压升的代数和也为零。若采用后一种形式列写网孔电流沿各个网孔的KVL方程，则对应的3个网孔电路的方程通式为：
在这种情况下，进而也可以推出有m 个网孔的电路，列写其网孔方程的通式。引入第i个网孔的自电阻恒为负;引入的互电阻同样是可正可负的，不过当该两个网孔电流在公共电阻上的方向一致时，互电阻是负的，反之，互电阻为正;等式右边则为网孔中电压源电压降的代数和。我们通过对比方程（2）和（3），发现两个方程组实质上是一样的。由于方程两边都相差一个（-1）的乘数，引入的自电阻和互电阻的值也相差一个（-1）的乘数，以及等式右边由网孔中电压源电压升的代数和转变为等式右边网孔中电压源电压降的代数和。因此，在网络分析法的教学中，学生容易犯错误的正负号问题，可以让同学们对比分析基于KVL方程两种表达方式推出网孔方程的情况，进而更好的掌握网络分析方法的实质内涵，提高灵活处理问题的能力。
2.1.2节点分析法
首先教材中引入节点的节点电压，即指定电路中某一个节点为参考节点后[1-4]，其它的节点相对于这个参考节点的电压降。如图2中所示电路，选节点4作参考点，则其余节点1，2，3对参考点的节点电压分别为 un1， un2， un3。节点电压也是完备并且相互独立的变量。各种教材中设流出节点和流入节点的电流分别取正号和负号，可得节点1，2，3的KCL方程如下：
归纳总结得到应用节点法分析具有3个独立节点电路的方程通式，如果电路有n 个独立节点，我们也可以列写出n 个独立节点的节点方程通式。引入自电导，即连接在节点i上的所有支路电导之和，恒为正;互电导或者，即连接在节点i与节点j之间的公共电导，恒为负;各方程的右边是流入这个节点电流源电流的代数和。此外，当支路为一个纯理想电压源支路时，可选择合适的参考点，使该理想电压源成为一个已知节点电压，而对其他独立节点列写节点电压方程;或者假设一个理想电压源中的电流，并将此电流暂当作电流源的电流，列写节点电压方程，然后再利用理想电压源与相应节点电压之间的关系列出补充方程，从而求解。电路有受控源时，把受控源作为独立源，补充控制量用节点电压表示的方程。
对于节点分析法，教材这种处理方式中，在列写KCL方程时，选择的是在任意时刻，流出节点和流入节点的电流分别取正号和负号;而实际上在任意时刻，选择流出节点和流入节点的电流分别取负号和正号，KCL方程同样成立。若采用后一种形式列写节点电压方程，则对应的3个独立节点电路的方程通式为： 在这种情况下，进而推出有n 个独立节点的电路，列写其节点电压方程的通式。通过对比方程组（6）和（7），我们发现两个方程组实质上也是一样的。由于方程两边都相差一个（-1）的乘数，引入的自导和互导的值也相差一个（-1）的乘数，以及等式右边由流入节点电流源电流的代数和就转换为流出节点电流源电流的代数和。因此，在节点分析法的教学中，可以让同学们对比分析基于KCL方程两种表达方式推出节点方程的情况，进而更好的掌握节点分析方法的实质内涵，在实际求解问题时，能够准确的列写节点电压方程。
2.2 第二种叙述方式
2.2.1网孔分析法
对于如图1所示的电路，部分教材[5]仍然先引入网孔电流，选定网孔电流及其绕向，顺着网孔电流绕向，直接用网孔电流表示电阻上的电压，列写各网孔的KVL方程，列写时选择各元件电压降的代数和，如公式（1）所示。解得网孔电流后，再根据网孔电流和各支路电流的关系得到各支路的电流。在这种方式中，没有引入互电阻、自电阻等概念，等式右边可以认为始终等于零，因此在列写各网孔的KVL方程时，选择各元件的电压降的代数和或者各元件的电压升的代数和，效果是一样的。这种处理方式，学生虽然不容易写错正负号，但是没有对问题进一步提升，每次解决问题时，都是从最基础的KVL方程出发。
2.2.2节点分析法
对于如图2所示的电路，部分教材[5]也是先选择参考节点，标明其余各独立节点的电位，各支路电流用节点电压来表示，列写各独立节点的KCL方程，列写时选择流入节点和流出节点的电流分别取负号和正号，如公式（5）所示。解得节点电压后，再根据节点电压和各支路电压的关系得到各支路的电压。在这种方式中，没有引入互电导、自电导等概念，等式右边可以认为始终等于零，因此在列写各独立节点的KCL方程时，选择流出节点的电流取正号或者流出節点的电流取负号，效果也都是一样的。这种处理方式，同样没有对问题进一步提升，没有展现公式的简洁和优美，每次解决问题时，也都是从最基础的KCL方程出发。
3 总结
本文对于网孔分析法和节点分析法在列写电路方程时，两种不同的叙述方式进行了分析和探讨。其中，对于直接列写电路方程的公式化的方法的优点是能快速地列写电路方程，不足之处是学生通常处理不好正负号的问题。通过对于正负号问题的进一步探讨，可以使学生深入理解该方法。另一种叙述方式是在列写网孔方程和节点方程时直接采用基尔霍夫定律。在这种方式中，没有引入互电阻、自电阻、互电导、自电导等概念，等式右边可以认为始终等于零，因此在列写各KCL、KVL方程时，不会出现正负号的混淆问题。虽然这种方法还原了网孔分析法和节点分析法的本来面目，但是这种处理方式，没有对电路分析理论进一步提升，没有展现公式的简洁和优美，每次解决问题时，都是从最基础的KCL、KVL方程出发。
参考文献：
[1] 李瀚荪.电路分析基础[M].北京：高等教育出版社，2016.
[2] 钱建平.电路分析[M].北京：北京理工大学出版社，2016.
[3] 刘英霞.电路分析基础[M].成都：电子科技大学出版社，2010.
[4] 邱关源.电路[M].北京：高等教育出版社，1999.
[5] 颜秋容.电路理论——基础篇[M].北京： 高等教育出版社， 2017.
基金项目：凯里学院校级“一流大学”建设项目（编号：TDYL1805）; 凯里学院“电路分析课程教学内容和考核方式改革的探索”校级教学改革项目;凯里学院博士学位教师专项课题（编号：BS201301）
作者简介：尹海峰（1982— ），男，河南汝南人，教授，研究方向：电路理论、纳米材料的光电性质。