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在小学数学应用问题中，“比较关系”是一类典型的应用问题。所谓比较，是基于兩个或两个以上对象而产生。而比较关系应用问题，则指以某个对象为比较标准，利用其余比较对象与比较标准之间的关系来解决问题的应用问题，研究这类典型应用问题对小学数学教学有一定的指导作用。
一、小学比较关系应用问题知识体系简析
小学阶段比较关系应用问题有两类，利用对象之间的相差数解决的“相差关系”应用问题和利用对象之间的倍或率解决的“倍比关系”应用问题，分别集中在不同阶段学习：二年级学习相差关系，三年级学习倍数关系，六年级学习分率关系，分率关系应用问题是倍数关系应用问题的扩展，倍数关系和分率关系应用问题合称为倍比关系应用问题。
相差关系应用问题，如：红花6朵，黄花比红花多3朵，黄花有几朵？题中“黄花比红花多3朵”是反映红花与黄花数量的关系句，根据已知红花数量、关
系句求解黄花数量。题中三要素可互为已知条件、要求问题，形成题组，如：
题1：红花6朵，黄花比红花多3朵，黄花几朵？
题2：黄花9朵，黄花比红花多3朵，红花几朵？
题3：红花6朵，黄花9朵，红花比黄花多几朵？
倍比关系应用问题，如：红花有6朵，黄花比红花多（或黄花是红花的1.5倍），黄花有几朵？同理，题中三要素互为已知条件、要求问题，亦形成相关题组。
相差关系和倍比关系两类应用问题有共同点：第一，题目结构相同，都有比较量、标准量、比较关系句三要素；第二，两量比较关系因比较标准不同而关系表述的语句相应也不同。在相差关系应用问题中，如当“黄花9朵，红花6朵”时，若以红花数量为比较标准，则表述为“黄花比红花多3朵”；若以黄花数量为比较标准，则应表述为“红花比黄花少3朵”。 在倍比关系应用问题中，“黄花9朵，红花6朵”，若以红花数量为比较标准，则黄花比红花多，若以黄花数量为比较标准，则红花比黄花少（见下图）。
而两类应用问题的不同之处为：相差关系的比较是基于一一对应思想，本质是比较数量多与少，比较结果是绝对值，运用加减法数学模型解决问题；倍比关系的比较是反映两数量比的关系，比较结果是相对值，运用乘除法数学模型解决问题。
二、现存学习情况和学习障碍现状
由于学生在生活中经常接触比较数量大与小、多与少、物品长与短等相差关系，因此学生在解决相差关系应用问题正确率较高。但学生在解决倍比关系应用问题时存在较大困惑，以六年级分率应用问题为例尝试探讨学习中的障碍。
题目1：男生12人，女生8人，男生人数比女生多几分之几？
学生错例1：12-8=4。
学生错例2：12÷8。
学生错例2：（12-8）÷12。
题目1中，访谈能正确列式的学生，其记录如下：
访谈记录1
访谈者：你的列式（12-8）÷8 是正确的，说说你是怎么想的？
学生：因为题目要求男生人数比女生多几分之几，所以用12-8求出男生比女生相差的人数，然后再用相差人数÷单位“1”（女生人数）就行了。
访谈者：求男生人数比女生多几分之几为什么用除法计算？
学生思考片刻：老师教的。
访谈记录2：
访谈者：求男生人数比女生少几分之几为什么用除法计算？
学生：要用“多的人数÷女生人数”就是男生人数比女生人数多几分之几。
访谈者：为什么用除法计算就能解决问题？
学生沉默片刻：就用“相差人数÷单位‘1’”可以解决问题。
题目2：男生人数比女生少1/2，则女生比男生多几分之几？
学生错例：男生人数比女生少1/2，则女生比男生多1/2。
题目2中，访谈回答错误的学生，其记录如下：
访谈者：假设男生有3人，女生有6人。我们怎么算男生人数比女生少几分之几？
学生：（6-3）÷6=3÷6=1/2。
访谈者：那么我们算一算女生人数比男生多几分之几
学生：（6-3）÷6=3÷6=1/2。
访谈者：为什么还是？
学生：男生3人，女生6人，他们相差了3人，所以是。
三、障碍成因分析
（一）相差关系理解容易，倍比关系理解难
题目1反映出：有的学生直接利用求相差数的方法求分率，有的学生不理解“求男生人数比女生多几分之几”就是“求男女生相差人数占女生人数的几分之几”，而仅是套用模型解决问题。为什么学生容易理解相差关系应用问题，而解决分率关系应用问题取不尽如人意？
相差关系的比较结果是“具体量”，是一个绝对值，即便是学龄前儿童，在他们的生活、交往中会积累大量的有关相差关系的活动经验，因此比较容易理解。倍比关系的比较结果是“比率”，是一个相对值，尽管三年级初步接触分率，但都是以具体物品、平面图形、长度单位等形象直观为基础学习分率，学生对分率这个相对值接触少，一直到五年级下学期才正式接触分率，六年级完整学习分率、比的相关知识，在观念上未能完全认同，从而导致学生难以理解分率关系应用问题。
（二）忽视比较标准的重要性
题目2中像这样解答错误的比例较高，从学生的访谈中可知，当求相差分率时，学生解决问题的思维点落在“相差数”上，没有落在“相差数占比较标准的几分之几”上。究其原因，主要是由于学生对比较关系理解不全面而造成的。
两个数量比较，先有比较的标准，然后有比较量、比较结果。相差关系中两量比较关系句“黄花比红花多3朵”，亦可表述为“红花比黄花少3朵”，根据比较标准不同，采用“…比…多”或“…比…少”的不同表述，但由于“相差关系”比较结果是绝对值，所以不论以哪个对象为标准，其比较结果是相同的，而由于认知特点，学生更多地关注“无论不同表述其数值都是相差2朵”的直观表象上，因而把相差关系的理解压缩为：黄花和红花相差2朵。笔者聆听不同年级学生表述两个数量相差关系时，许多学生都表述为：谁和谁相差多少，而教师都没有及时纠正学生的说法，说明教师本身也未意识到比较标准的重要性。当学生在五、六年级初次学习分率关系时，比较容易把“谁和谁相差多少”的旧经验简单地迁移到求相差分率的新知识上，认为两个数量的相差分率都应该是一样的。相差关系的不同表述、倍率关系的不同比较结果都是基于不同比较的标准造成的，而学生从学习“相差关系”的开始就没有得到全面的理解，教师的教学负有不可推卸的责任。 （三）从“倍”到“分率”的学习时间跨度太长
我们前面提到分率关系应用问题是倍数关系应用问题的扩展，以人教版教材为例，我们列表说明倍数应用问题、分率应用问题的学习年段。
从学习倍数关系的应用问题到学习分率关系的应用问题，中间间隔约三年，且四五年级教材例题、练习题极少出现关于倍数关系的应用问题，除五年级下学期学习求一个数是另一个数的几分之几外，到六年级全面学习分率关系的五种类型应用问题，无论是知识学习时间跨度太大，还是知识基础累积上都较少，这些原因使得分率关系更显得抽象，不利于从倍数关系应用问题横向迁移学习分率关系应用问题。
四、教学策略
（一）从“倍数关系”到“分率关系”的类比迁移
倍、分率、百分数、比等概念本质同样是“比率”，在小学阶段，一般当比率大于1时，习惯说比较量是标准量的的几倍（用整数或小数表示），当比率小于1时，习惯说比较量是标准量的的几分之几。由此，教学可以由倍数关系应用问题通过类比、迁移学习分率关系应用问题，其教学策略可如下图：
（二）从几何直观到数学模型的转化
分率是一个抽象概念，借助几何直观能帮助学生理解概念，借助几何直观让学生充分理解分率应用问题数量关系，然后及时帮助学生抽象数学模型，实现几何直观到数学模型的转化。
如：鹅7只，鸭10只，鹅的只数是鸭的几分之几？
通过阅读与理解，让学生认识到“求鹅只数是鸭的几分之几”就是“求7是10的几分之几”，将生活问题抽象為数学问题。然后借助线段图的几何直观理解：以鹅为比较标准，10看做一个整体，平均分成10份，7就是这个整体的■，解答过程是7÷10=■，教师与学生一边分析一边画线段图，过程如下图。
接着，提供“求一个数是另一个数的几分之几”的不同情境的数学问题，充分让学生在画线段图中理解解决此类数学问题的方法，建立数学模型：“求一个数是另一个数的几分之几”与“求一个数是另一个数的几倍”都是用“比较量÷标准量=倍率”求解，实现“几何直观”向“数学模型”的转化。
几何直观既有助于帮助学生理解数学模型，也有利于学生沟通新旧知识之间的联系。在一定的学习时间积累后，有必要通过变式题进一步巩固数学模型。如将上题变式为：鹅7只，鸭10只，鹅的只数比鸭少的几分之几？通过线段图（如下图）理解与分析，让学生认识到“求鹅比鸭少几分之几”就是“求鸭鹅相差只数是鸭的几分之几”，能运用原有的数学模型“比较量÷标准量=分率”解决新的数学问题。
（三）对比相差关系与倍比关系的异同
随着学习的深入，沟通新旧知识之间的联系与区别能促使学生更精细地识别数学模型，建构知识网络。鉴于相差关系和倍比关系的相似性和易混淆的特点，将两类关系进行异同对比显得非常迫切与必要。两类关系可以设计成题组呈现，题组的情境、数据应简洁，目的是透过题组抓住知识本质。
如下面的题组：
（1）5米比3米多几米？
（2）3米比5米少几米？
（3）5米比3米多几分之几
（4）3米比5米少几分之几？
先左右题组对比，设问：都是求5米比3米多（少）的情况，为什么解决方法不同？从而概括：左题是求相差部分的具体数量，右题是求相差部分是比较标准的几分之几；再进行上下题组对比，可以先对比左边两题，设问：算式相同、结果相同，为什么表述不同？从而概括：比较标准不同，表述方式也不同，再对比右边两题，从而突出比较标准的作用。整理如右表。
最后指出：无论是“相差关系”还是“倍比关系”，都是两个数量在比较，其数学问题结构都是相同的，都具有比较量、标准量、比较关系句三要素。
比较关系数学问题是小学阶段应用问题的教学重点之一，学生在“绝对量”上的经验丰富，而 “相对量”学习过程比较抽象，在这样的现状下，我们要抓住问题的本质原因，有针对性地通过新旧知的横向、纵向对比，利用小学生的认知特点，以数形结合为抓手，逐步加深对“相对值”的理解，实现知识上质的飞跃。
（作者单位：广东省广州市越秀区东风西路小学）
（责任编辑：杨强）
一、小学比较关系应用问题知识体系简析
小学阶段比较关系应用问题有两类，利用对象之间的相差数解决的“相差关系”应用问题和利用对象之间的倍或率解决的“倍比关系”应用问题，分别集中在不同阶段学习：二年级学习相差关系，三年级学习倍数关系，六年级学习分率关系，分率关系应用问题是倍数关系应用问题的扩展，倍数关系和分率关系应用问题合称为倍比关系应用问题。
相差关系应用问题，如：红花6朵，黄花比红花多3朵，黄花有几朵？题中“黄花比红花多3朵”是反映红花与黄花数量的关系句，根据已知红花数量、关
系句求解黄花数量。题中三要素可互为已知条件、要求问题，形成题组，如：
题1：红花6朵，黄花比红花多3朵，黄花几朵？
题2：黄花9朵，黄花比红花多3朵，红花几朵？
题3：红花6朵，黄花9朵，红花比黄花多几朵？
倍比关系应用问题，如：红花有6朵，黄花比红花多（或黄花是红花的1.5倍），黄花有几朵？同理，题中三要素互为已知条件、要求问题，亦形成相关题组。
相差关系和倍比关系两类应用问题有共同点：第一，题目结构相同，都有比较量、标准量、比较关系句三要素；第二，两量比较关系因比较标准不同而关系表述的语句相应也不同。在相差关系应用问题中，如当“黄花9朵，红花6朵”时，若以红花数量为比较标准，则表述为“黄花比红花多3朵”；若以黄花数量为比较标准，则应表述为“红花比黄花少3朵”。 在倍比关系应用问题中，“黄花9朵，红花6朵”，若以红花数量为比较标准，则黄花比红花多，若以黄花数量为比较标准，则红花比黄花少（见下图）。
而两类应用问题的不同之处为：相差关系的比较是基于一一对应思想，本质是比较数量多与少，比较结果是绝对值，运用加减法数学模型解决问题；倍比关系的比较是反映两数量比的关系，比较结果是相对值，运用乘除法数学模型解决问题。
二、现存学习情况和学习障碍现状
由于学生在生活中经常接触比较数量大与小、多与少、物品长与短等相差关系，因此学生在解决相差关系应用问题正确率较高。但学生在解决倍比关系应用问题时存在较大困惑，以六年级分率应用问题为例尝试探讨学习中的障碍。
题目1：男生12人，女生8人，男生人数比女生多几分之几？
学生错例1：12-8=4。
学生错例2：12÷8。
学生错例2：（12-8）÷12。
题目1中，访谈能正确列式的学生，其记录如下：
访谈记录1
访谈者：你的列式（12-8）÷8 是正确的，说说你是怎么想的？
学生：因为题目要求男生人数比女生多几分之几，所以用12-8求出男生比女生相差的人数，然后再用相差人数÷单位“1”（女生人数）就行了。
访谈者：求男生人数比女生多几分之几为什么用除法计算？
学生思考片刻：老师教的。
访谈记录2：
访谈者：求男生人数比女生少几分之几为什么用除法计算？
学生：要用“多的人数÷女生人数”就是男生人数比女生人数多几分之几。
访谈者：为什么用除法计算就能解决问题？
学生沉默片刻：就用“相差人数÷单位‘1’”可以解决问题。
题目2：男生人数比女生少1/2，则女生比男生多几分之几？
学生错例：男生人数比女生少1/2，则女生比男生多1/2。
题目2中，访谈回答错误的学生，其记录如下：
访谈者：假设男生有3人，女生有6人。我们怎么算男生人数比女生少几分之几？
学生：（6-3）÷6=3÷6=1/2。
访谈者：那么我们算一算女生人数比男生多几分之几
学生：（6-3）÷6=3÷6=1/2。
访谈者：为什么还是？
学生：男生3人，女生6人，他们相差了3人，所以是。
三、障碍成因分析
（一）相差关系理解容易，倍比关系理解难
题目1反映出：有的学生直接利用求相差数的方法求分率，有的学生不理解“求男生人数比女生多几分之几”就是“求男女生相差人数占女生人数的几分之几”，而仅是套用模型解决问题。为什么学生容易理解相差关系应用问题，而解决分率关系应用问题取不尽如人意？
相差关系的比较结果是“具体量”，是一个绝对值，即便是学龄前儿童，在他们的生活、交往中会积累大量的有关相差关系的活动经验，因此比较容易理解。倍比关系的比较结果是“比率”，是一个相对值，尽管三年级初步接触分率，但都是以具体物品、平面图形、长度单位等形象直观为基础学习分率，学生对分率这个相对值接触少，一直到五年级下学期才正式接触分率，六年级完整学习分率、比的相关知识，在观念上未能完全认同，从而导致学生难以理解分率关系应用问题。
（二）忽视比较标准的重要性
题目2中像这样解答错误的比例较高，从学生的访谈中可知，当求相差分率时，学生解决问题的思维点落在“相差数”上，没有落在“相差数占比较标准的几分之几”上。究其原因，主要是由于学生对比较关系理解不全面而造成的。
两个数量比较，先有比较的标准，然后有比较量、比较结果。相差关系中两量比较关系句“黄花比红花多3朵”，亦可表述为“红花比黄花少3朵”，根据比较标准不同，采用“…比…多”或“…比…少”的不同表述，但由于“相差关系”比较结果是绝对值，所以不论以哪个对象为标准，其比较结果是相同的，而由于认知特点，学生更多地关注“无论不同表述其数值都是相差2朵”的直观表象上，因而把相差关系的理解压缩为：黄花和红花相差2朵。笔者聆听不同年级学生表述两个数量相差关系时，许多学生都表述为：谁和谁相差多少，而教师都没有及时纠正学生的说法，说明教师本身也未意识到比较标准的重要性。当学生在五、六年级初次学习分率关系时，比较容易把“谁和谁相差多少”的旧经验简单地迁移到求相差分率的新知识上，认为两个数量的相差分率都应该是一样的。相差关系的不同表述、倍率关系的不同比较结果都是基于不同比较的标准造成的，而学生从学习“相差关系”的开始就没有得到全面的理解，教师的教学负有不可推卸的责任。 （三）从“倍”到“分率”的学习时间跨度太长
我们前面提到分率关系应用问题是倍数关系应用问题的扩展，以人教版教材为例，我们列表说明倍数应用问题、分率应用问题的学习年段。
从学习倍数关系的应用问题到学习分率关系的应用问题，中间间隔约三年，且四五年级教材例题、练习题极少出现关于倍数关系的应用问题，除五年级下学期学习求一个数是另一个数的几分之几外，到六年级全面学习分率关系的五种类型应用问题，无论是知识学习时间跨度太大，还是知识基础累积上都较少，这些原因使得分率关系更显得抽象，不利于从倍数关系应用问题横向迁移学习分率关系应用问题。
四、教学策略
（一）从“倍数关系”到“分率关系”的类比迁移
倍、分率、百分数、比等概念本质同样是“比率”，在小学阶段，一般当比率大于1时，习惯说比较量是标准量的的几倍（用整数或小数表示），当比率小于1时，习惯说比较量是标准量的的几分之几。由此，教学可以由倍数关系应用问题通过类比、迁移学习分率关系应用问题，其教学策略可如下图：
（二）从几何直观到数学模型的转化
分率是一个抽象概念，借助几何直观能帮助学生理解概念，借助几何直观让学生充分理解分率应用问题数量关系，然后及时帮助学生抽象数学模型，实现几何直观到数学模型的转化。
如：鹅7只，鸭10只，鹅的只数是鸭的几分之几？
通过阅读与理解，让学生认识到“求鹅只数是鸭的几分之几”就是“求7是10的几分之几”，将生活问题抽象為数学问题。然后借助线段图的几何直观理解：以鹅为比较标准，10看做一个整体，平均分成10份，7就是这个整体的■，解答过程是7÷10=■，教师与学生一边分析一边画线段图，过程如下图。
接着，提供“求一个数是另一个数的几分之几”的不同情境的数学问题，充分让学生在画线段图中理解解决此类数学问题的方法，建立数学模型：“求一个数是另一个数的几分之几”与“求一个数是另一个数的几倍”都是用“比较量÷标准量=倍率”求解，实现“几何直观”向“数学模型”的转化。
几何直观既有助于帮助学生理解数学模型，也有利于学生沟通新旧知识之间的联系。在一定的学习时间积累后，有必要通过变式题进一步巩固数学模型。如将上题变式为：鹅7只，鸭10只，鹅的只数比鸭少的几分之几？通过线段图（如下图）理解与分析，让学生认识到“求鹅比鸭少几分之几”就是“求鸭鹅相差只数是鸭的几分之几”，能运用原有的数学模型“比较量÷标准量=分率”解决新的数学问题。
（三）对比相差关系与倍比关系的异同
随着学习的深入，沟通新旧知识之间的联系与区别能促使学生更精细地识别数学模型，建构知识网络。鉴于相差关系和倍比关系的相似性和易混淆的特点，将两类关系进行异同对比显得非常迫切与必要。两类关系可以设计成题组呈现，题组的情境、数据应简洁，目的是透过题组抓住知识本质。
如下面的题组：
（1）5米比3米多几米？
（2）3米比5米少几米？
（3）5米比3米多几分之几
（4）3米比5米少几分之几？
先左右题组对比，设问：都是求5米比3米多（少）的情况，为什么解决方法不同？从而概括：左题是求相差部分的具体数量，右题是求相差部分是比较标准的几分之几；再进行上下题组对比，可以先对比左边两题，设问：算式相同、结果相同，为什么表述不同？从而概括：比较标准不同，表述方式也不同，再对比右边两题，从而突出比较标准的作用。整理如右表。
最后指出：无论是“相差关系”还是“倍比关系”，都是两个数量在比较，其数学问题结构都是相同的，都具有比较量、标准量、比较关系句三要素。
比较关系数学问题是小学阶段应用问题的教学重点之一，学生在“绝对量”上的经验丰富，而 “相对量”学习过程比较抽象，在这样的现状下，我们要抓住问题的本质原因，有针对性地通过新旧知的横向、纵向对比，利用小学生的认知特点，以数形结合为抓手，逐步加深对“相对值”的理解，实现知识上质的飞跃。
（作者单位：广东省广州市越秀区东风西路小学）
（责任编辑：杨强）