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现实生活中数学无处不在,人们都要面对一系列的诸如购物、储蓄、乘车、运输、方案设计等实际问题,新教材在这方面的要求更加突出了,目的就是让学生通过数学知识来解决在日常生活中遇到的一些问题,用所学知识和方法寻求解决问题的策略。
教学过程中,教师对实际问题可采用“问题情境——建立模型——应用与拓展”的过程来进行,让学生去研究和探索,去经历数学建模的全过程,把实际问题转化为数学问题,用数学方法去解决实际问题。下面通过对几道具体例题的赏析,熟悉一下这一操作过程。
例1.某工厂现有甲种原料360千克,乙种原料290千克,计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件。已知生产一件A产品,需要甲种原料9千克,乙种原料3千克,可获利润700元;生产一件B产品,需要甲种原料4千克,乙种原料10千克,可获利润1200元。
(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数,有哪几种方案?请你设计出来。
(2)设生产A、B两种产品所获总利润为Y(元),其中一种产品的件数为X,试写出Y与X之间的函数关系式,并利用函数性质说明(1)中哪种生产方案获所总利润最大?最大利润是多少?
分析:(1)设A种产品生产X件,则B种产品生产(50-X)件,由题意得
9X+4(50-X)≤3603X+10(50-X)≤290
解得30≤X≤32
X可取整数30、31、32。有三种设计方案:A ∶30件,B ∶20件;A ∶31件,B ∶19件,A ∶32件,B ∶18件;
(2)设A种产品生产X件,则Y=700X+(50-X)1200,Y=-500X+60000
由函数性质可知,因为k<0,Y随x的增大而减小,当A为30件,B为20件时,最大利润为45000元。
例2.甲乙两人两次在同一粮店购买粮食(设两次单价不相同),甲每次购粮100千克,乙每次用100元购粮,设甲乙两人第一次购买粮食的单价为每千克X元,第二次购买粮食的单价为每千克Y元。
(1)用含X、Y的代数式表示∶甲两次购买共付粮款元;乙两次共购买千克粮食;若甲乙两次购粮的平均单价分别为每千克Q1元、Q2元,则Q1=,Q2=。
(2)若规定,谁两次购粮的平均单价低,谁的购粮方式就合算,请你判断甲乙两人的购粮方式哪一个合算,并说明理由。
分析:(1)中就是要求出甲第一次购买粮食付粮款100X元,第二次购买粮食付粮款100Y元
因而,甲两次购买粮食共付粮款(100X+100Y)元,乙第一次购买粮食100/x千克
第二次购买粮食100y千克
甲两次购粮的平均单价分别为每千克x+y2元
乙两次购粮的平均单价分别为每千克2xyx+y元
(2)Q1-Q2=x+y2-2xyx+y=(x-y)22(x+y)>0
所以Q1>Q2,所以乙种方法更合算。
现实生活中存在诸多类似的问题,利用数学知识来解决是一种重要的手段,教师要培养学生“学数学,做数学”的能力,充分调动学生学习的积极性,让他们知道数学无处不在,从而增强教学效果。
教学过程中,教师对实际问题可采用“问题情境——建立模型——应用与拓展”的过程来进行,让学生去研究和探索,去经历数学建模的全过程,把实际问题转化为数学问题,用数学方法去解决实际问题。下面通过对几道具体例题的赏析,熟悉一下这一操作过程。
例1.某工厂现有甲种原料360千克,乙种原料290千克,计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件。已知生产一件A产品,需要甲种原料9千克,乙种原料3千克,可获利润700元;生产一件B产品,需要甲种原料4千克,乙种原料10千克,可获利润1200元。
(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数,有哪几种方案?请你设计出来。
(2)设生产A、B两种产品所获总利润为Y(元),其中一种产品的件数为X,试写出Y与X之间的函数关系式,并利用函数性质说明(1)中哪种生产方案获所总利润最大?最大利润是多少?
分析:(1)设A种产品生产X件,则B种产品生产(50-X)件,由题意得
9X+4(50-X)≤3603X+10(50-X)≤290
解得30≤X≤32
X可取整数30、31、32。有三种设计方案:A ∶30件,B ∶20件;A ∶31件,B ∶19件,A ∶32件,B ∶18件;
(2)设A种产品生产X件,则Y=700X+(50-X)1200,Y=-500X+60000
由函数性质可知,因为k<0,Y随x的增大而减小,当A为30件,B为20件时,最大利润为45000元。
例2.甲乙两人两次在同一粮店购买粮食(设两次单价不相同),甲每次购粮100千克,乙每次用100元购粮,设甲乙两人第一次购买粮食的单价为每千克X元,第二次购买粮食的单价为每千克Y元。
(1)用含X、Y的代数式表示∶甲两次购买共付粮款元;乙两次共购买千克粮食;若甲乙两次购粮的平均单价分别为每千克Q1元、Q2元,则Q1=,Q2=。
(2)若规定,谁两次购粮的平均单价低,谁的购粮方式就合算,请你判断甲乙两人的购粮方式哪一个合算,并说明理由。
分析:(1)中就是要求出甲第一次购买粮食付粮款100X元,第二次购买粮食付粮款100Y元
因而,甲两次购买粮食共付粮款(100X+100Y)元,乙第一次购买粮食100/x千克
第二次购买粮食100y千克
甲两次购粮的平均单价分别为每千克x+y2元
乙两次购粮的平均单价分别为每千克2xyx+y元
(2)Q1-Q2=x+y2-2xyx+y=(x-y)22(x+y)>0
所以Q1>Q2,所以乙种方法更合算。
现实生活中存在诸多类似的问题,利用数学知识来解决是一种重要的手段,教师要培养学生“学数学,做数学”的能力,充分调动学生学习的积极性,让他们知道数学无处不在,从而增强教学效果。