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摘要：本文阐述了反比例函数的解析式三种形式，性质，对常见的基本题型加以分析，来理解和巩固反比例函数的性质，以及对一些题型方法的归纳和总结。
關键字：反比例函数，解析式，性质，分析
【中图分类号】G633.6
一般地，形如 （k是常数， ）的函数称为反比例函数。
一、反比例函数解析式
反比例函数解析式的三种表达式： ， ， （ ）。在求反比例函数解析式的时候，可以类比一次函数解析式的求法进行讲解。其步骤为：（1）设：一般设解析式为 （ ），（2）求：根据已知条件求k；（3）写：把k的值代入写出解析式。学生常常忘记第三步，因此在讲题时应强调最后一步必须代入写出解析式才可以。
反比例函数解析式的第二种表达式 （ ）常出现在选择题和填空题当中。不管是哪种表达式，都要求 ，而此种表达式，x的指数是-1。
例【1】已知函数 是反比例函数，求m的值。
分析：条件给出的是反比例函数的第二种表达式，其中x的指数是-1次，反反比例系数不等于0。因此可得： ，解得 。而反比例系数 ，解得 ，所以得 。
反比例函数解析式的第三种表达式 （ ）。如图：反比例函数图象上的点P，过点p作x轴，y轴的垂线，分别交于点E，F，则矩形OEPF的面积 。
△OPE的面积 。只要点P 在反比例函数图象上，面积的值是确定的，与P点位置无关。
例【2】如右上图，点P在反比例函数 的图象上，过点p作x轴，y轴的垂线，分别交于点E，F，若矩形OEPF的面积为4，求这个反比例函数的解析式。
分析：由公式可得： ，解得 ，由于图象位于第一象限，所以k=4，所以其解析式为 。
二. 反比例函数的性质
1. 反比例函数 （k是常数， ）的图象是双曲线；
2. 当k>0时，双曲线的两支分别位于第一，第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；
3. 当k<0时，双曲线的两支分别位于第二，第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。
例题【3】已知反比例函数 ，下列结论不正确是（ ）
A.图象经过点（1，1） B.图象在第一、第三象限
C.当x>1时，0 分析：A选项，由题可知，反比例系数k=1， ，所以点（1，1）在函数图象上。
B选项，k=1>0，由反比例函数性质可知，图象在第一、第三象限，所以B正确。
C选项，用图像法分析。如图，
当x>1时，图象位于直线x=1的右边，
而这部分图象对应的函数值y的范围是0 所以C正确。
D选项，不正确。容易认为错误的原因是没有强调在一个象限内，而真正错误的原因是后半部分，改为y值随x的增大而减小。当x<0时，已经强调了是在第三象限内，同理，当x>0时，y随x的增大而减小，这句话也是对的，它强调了是在第一象限内。由此归纳，反比例函数性质（2）（3）的结论成立的条件，可以有三种描述方法：①在每一个象限内；②当x<0时；③当x>0时。
例题【4】点 在反比例函数 的图象上，比较 的大小关系。
分析：方法一：代入求值。 ，由此可知， 。
此方法适用于知道点的横（或纵）坐标和确切的函数解析式；
方法二：根据反比例函数的性质。由题可知，A，B，C三个点在同一个象限内，即第一象限，由性质可知，y随着x的增大而减小，所以 。此方法适用于所有的点在同一个象限内。
方法三：图象法。由下图可知， ，此方法没有任何条件限制。
变式题（一）：点 在反比例函数 的图象上，其中 ，比较 的大小关系。
分析：此题没有点的具体坐标和确切的解析式，因此不能采用方法一，由于k>0，可知此双曲线的两支分别位于第一、第三象限，而题 ，可知A，B，C三个点都在第三象限内，因此可采用方法二，而方法三是不受条件限制的，因此也可采用方法三。
变式题（二）：点 在反比例函数 的图象上，其中 ，比较 的大小关系。
分析：此题没有点的具体坐标和确切的解析式，因此不能采用方法一，由于k>0，可知此双曲线的两支分别位于第一、第三象限，而题 ，可知A，B，C三个点不同在一个象限内，因此不可采用方法二，而方法三是不受条件限制的，因此这题只能采用方法三图象法来做。
参考文献：1、义务教育课程标准实验教科书数学2011
2、义务教育课程标准实验教科书数学教师教学用书
關键字：反比例函数，解析式，性质，分析
【中图分类号】G633.6
一般地，形如 （k是常数， ）的函数称为反比例函数。
一、反比例函数解析式
反比例函数解析式的三种表达式： ， ， （ ）。在求反比例函数解析式的时候，可以类比一次函数解析式的求法进行讲解。其步骤为：（1）设：一般设解析式为 （ ），（2）求：根据已知条件求k；（3）写：把k的值代入写出解析式。学生常常忘记第三步，因此在讲题时应强调最后一步必须代入写出解析式才可以。
反比例函数解析式的第二种表达式 （ ）常出现在选择题和填空题当中。不管是哪种表达式，都要求 ，而此种表达式，x的指数是-1。
例【1】已知函数 是反比例函数，求m的值。
分析：条件给出的是反比例函数的第二种表达式，其中x的指数是-1次，反反比例系数不等于0。因此可得： ，解得 。而反比例系数 ，解得 ，所以得 。
反比例函数解析式的第三种表达式 （ ）。如图：反比例函数图象上的点P，过点p作x轴，y轴的垂线，分别交于点E，F，则矩形OEPF的面积 。
△OPE的面积 。只要点P 在反比例函数图象上，面积的值是确定的，与P点位置无关。
例【2】如右上图，点P在反比例函数 的图象上，过点p作x轴，y轴的垂线，分别交于点E，F，若矩形OEPF的面积为4，求这个反比例函数的解析式。
分析：由公式可得： ，解得 ，由于图象位于第一象限，所以k=4，所以其解析式为 。
二. 反比例函数的性质
1. 反比例函数 （k是常数， ）的图象是双曲线；
2. 当k>0时，双曲线的两支分别位于第一，第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；
3. 当k<0时，双曲线的两支分别位于第二，第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。
例题【3】已知反比例函数 ，下列结论不正确是（ ）
A.图象经过点（1，1） B.图象在第一、第三象限
C.当x>1时，0
B选项，k=1>0，由反比例函数性质可知，图象在第一、第三象限，所以B正确。
C选项，用图像法分析。如图，
当x>1时，图象位于直线x=1的右边，
而这部分图象对应的函数值y的范围是0
D选项，不正确。容易认为错误的原因是没有强调在一个象限内，而真正错误的原因是后半部分，改为y值随x的增大而减小。当x<0时，已经强调了是在第三象限内，同理，当x>0时，y随x的增大而减小，这句话也是对的，它强调了是在第一象限内。由此归纳，反比例函数性质（2）（3）的结论成立的条件，可以有三种描述方法：①在每一个象限内；②当x<0时；③当x>0时。
例题【4】点 在反比例函数 的图象上，比较 的大小关系。
分析：方法一：代入求值。 ，由此可知， 。
此方法适用于知道点的横（或纵）坐标和确切的函数解析式；
方法二：根据反比例函数的性质。由题可知，A，B，C三个点在同一个象限内，即第一象限，由性质可知，y随着x的增大而减小，所以 。此方法适用于所有的点在同一个象限内。
方法三：图象法。由下图可知， ，此方法没有任何条件限制。
变式题（一）：点 在反比例函数 的图象上，其中 ，比较 的大小关系。
分析：此题没有点的具体坐标和确切的解析式，因此不能采用方法一，由于k>0，可知此双曲线的两支分别位于第一、第三象限，而题 ，可知A，B，C三个点都在第三象限内，因此可采用方法二，而方法三是不受条件限制的，因此也可采用方法三。
变式题（二）：点 在反比例函数 的图象上，其中 ，比较 的大小关系。
分析：此题没有点的具体坐标和确切的解析式，因此不能采用方法一，由于k>0，可知此双曲线的两支分别位于第一、第三象限，而题 ，可知A，B，C三个点不同在一个象限内，因此不可采用方法二，而方法三是不受条件限制的，因此这题只能采用方法三图象法来做。
参考文献：1、义务教育课程标准实验教科书数学2011
2、义务教育课程标准实验教科书数学教师教学用书