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摘 要：本文针对由假定边界所产生的虚假边界反射这一问题，提出了采用黏弹性
边界来吸收反射波。文中主要是基于Kelvin-Voigt模型，介绍了二维黏弹性边界，在二维黏弹性人工边界的理论基础上，引入了黏弹性边界的弹性系数和阻尼系数，然后利用大型通用有限元计算软件ANSYS，实现了对该边界吸收情况的有限元模拟，并且得到了较好的吸收效果。
关键词：Kelvin-Voigt模型 黏弹性边界 有限元
引 言
正演问题是地球物理理论计算中存在的基本问题之一，所谓正演问题就是给定场源的分布，求解场值的大小。从应用角度来讲，地震学问题主要是求解反演问题，但是为了求解反演问题，往往首先要解正演问题，两者是相互关联的，正演是反演的基础，因此研究正演问题是非常必要的，地球物理正演在石油勘探中占据十分重要的地位。通常求解正演问题有三类方法，分别是解析法、模型实验法和数值模拟法，其中数值模拟法的应用最为广泛，正演的数值计算方法很多，最常用的方法有两种，分别是有限差分法和有限单元法。
在无限域介质的瞬态波动问题模拟中，一种广泛采用的数值模拟技术是引入虚拟的人工边界，从无限介质中切取出有限尺寸的进场计算区，然后对计算区采用有限元技术完成运动微分方程和物理边界条件的时空离散化，使对波动的模拟归结为代数和算术运算，从而实现对真实波动的直接模拟。因此，在波场数值模拟中，必须选用合理的有边界限制的有限空间域，以使实际模拟是可行的，并保证计算量在计算机可承受的范围内，但在引入假定的边界的同時，往往会产生虚假的边界反射。针对该问题，在采用有限元进行模拟时，通常采用时间域的黏弹性边界来处理虚假的边界反射波，从而使得从边界反射的能量最小。本文主要介绍了基于柱面波动方程建立的二维黏弹性边界模型，并利用大型通用有限元计算软件ANSYS，针对该边界对于纵、横波的吸收情况进行了模拟实现。
一、二维黏弹性人工边界
1.二维黏弹性人工边界理论
黏弹性边界是Deeks在研究黏性边界的基础上提出来的，该边界采用物理元件构成人工边界，具有良好的低频稳定性。黏弹性人工边界的推导过程同黏性边界相类似，在假设边界上不存在能量反射的前提下，基于二维散射波为柱面波的情形推导出任一半径处，以为外法线的微元面上应力同该处速度和位移的关系，具体推导过程如下：
极坐标中柱面波运动方程为：
（1.1）
式中：为介质的平面位移，t为时间变量；r为到中心的距离变量；为剪切波速，，G为剪切模量，为质量密度。
对于从坐标原点发射出的柱面波可以得出下式：
（1.2）
由式（1.2）和剪应力计算公式，可推导出任意半径r处以矢径为外法线的微元面上，应力同该处速度和位移的关系：
（1.3）
令 （1.4）
由上可以看出，如果在半径处截断介质，同时在截断的边界上施加相应分布的物理元件—黏性阻尼器和线性弹簧后，就可以在很大程度上消除散射波在人工边界上的反射，即可较为精确地模拟波由有限域向无限域的传播。
2.二维黏弹性人工边界参数
黏弹性人工边界上的应力条件，是一种连续分布的人工边界条件，当采用有限元方法将计算模型离散化以后，黏弹性人工边界也将被离散化。然后，采用集中处理的方法可以得到集中黏弹性人工边界，即在一定面积范围内，只设置一组黏弹性边界物理元件，此时，黏弹性人工边界可以等效为：在人工截断边界的单元结点上，设置法向和切向的并联弹簧阻尼器单元，即Kelvin-Voigt模型。法向和切向的弹簧系数和阻尼器的阻尼系数按照公式（1.5）、（1.6）取值：
式中：、分别为法向和切向弹簧的弹性系数；、分别为法向和切向阻尼器的阻尼系数；R为波源至人工边界点的距离；A为人工边界结点在边界上的等效面积；、为介质的P波和S波波速；、为法向与切向黏弹性人工边界修正系数。
二、黏弹性人工边界在有限元模拟中的实现
ANSYS是一种实用性非常强的大型通用有限元计算软件，该软件的应用范围非常广，遍及工业的各个领域，具有较好的实际应用效果。现在我们将该软件用于模拟黏弹性人工边界，进而观察该边界对纵、横波的吸
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收效果。
在ANSYS软件中，选用Combine14单元来做黏弹性边界，图1为Combine14单元的示意图，I、J为节点，k为弹性系数，c为阻尼系数。图2是弹簧在ANSYS数值模拟计算中的黏弹性人工边界模型，在节点B处的切向弹性系数和阻尼系数由式（1.6）计算得到，法向弹性系数和阻尼系数由式（1.5）计算得到。
三、算例分析
该算例为一个二维均匀弹性空间问题，该模型的四周边界都是黏弹性人工边界。力学模型如图3所示，在模型中心位置A处，按照箭头方向施加主频15kHz的正弦波力源。
介质参数：剪切模量和密度分别取为，，泊松比，剪切波速度，纵波速度。
采用ANSYS参数画建模型，计算区范围取宽2m，深2m，用四边形单元剖分，单元类型为PLANE42，单元尺寸为10mm。介质截断边界处设置切向和法向的弹簧阻尼单元，单元类型采用Combin14，弹簧阻尼器单元一端与边界结点耦合，另一端固定。计算时间取1500us，时间步长为3us。
根据模拟效果可得出：运用模拟的黏弹性人工边界来同时吸收纵、横波时，具有很好的吸收效果，即没有纵、横波反射回来；运用模拟的该边界来只吸收纵波时，纵波被很好地吸收了，同时还有反射回来的横波；运用模拟的该边界来只吸收横波时，纵波反射了回来，但由于部分反射回来的纵波和部分横波相遇发生叠加，使得该边界对横波的吸收效果不是很好，有待于进一步解决。总体来讲，黏弹性边界可以很好地吸收边界反射的纵、横波。
四、结论
本文基于Kelvin-Voigt模型，在二维黏弹性人工边界的理论基础上，引入了黏弹性边界的弹性系数和阻尼系数，并利用大型通用有限元计算软件ANSYS，实现了对该边界吸收情况的模拟。在ANSYS中，经算例分析表明，采用上述方法可以很好地吸收边界反射的纵、横波，从而避免了由假定边界所导致的虚假边界反射。
参考文献：
[1] 刘晶波，王振宇，杜修力等. 波动问题中的三维时域粘弹性人工边界.工程力学，2005，22（6）：46-51.
[2] 刘晶波，谷音，杜义欣. 一致黏弹性人工边界及粘弹性边界单元.岩土工程学报，2006，28（9）：1070-1075.
[3] 蒋伟. 粘弹性人工边界应用中的几个关键问题及其在ANSYS中的实现.中国科技论文在线，2007，20（5）：32-38.
[4] 杜兴华，高扬. 粘弹性人工边界在有限元分析中的应用.低温建筑技术，2012，18（2）：76-78.
边界来吸收反射波。文中主要是基于Kelvin-Voigt模型，介绍了二维黏弹性边界，在二维黏弹性人工边界的理论基础上，引入了黏弹性边界的弹性系数和阻尼系数，然后利用大型通用有限元计算软件ANSYS，实现了对该边界吸收情况的有限元模拟，并且得到了较好的吸收效果。
关键词：Kelvin-Voigt模型 黏弹性边界 有限元
引 言
正演问题是地球物理理论计算中存在的基本问题之一，所谓正演问题就是给定场源的分布，求解场值的大小。从应用角度来讲，地震学问题主要是求解反演问题，但是为了求解反演问题，往往首先要解正演问题，两者是相互关联的，正演是反演的基础，因此研究正演问题是非常必要的，地球物理正演在石油勘探中占据十分重要的地位。通常求解正演问题有三类方法，分别是解析法、模型实验法和数值模拟法，其中数值模拟法的应用最为广泛，正演的数值计算方法很多，最常用的方法有两种，分别是有限差分法和有限单元法。
在无限域介质的瞬态波动问题模拟中，一种广泛采用的数值模拟技术是引入虚拟的人工边界，从无限介质中切取出有限尺寸的进场计算区，然后对计算区采用有限元技术完成运动微分方程和物理边界条件的时空离散化，使对波动的模拟归结为代数和算术运算，从而实现对真实波动的直接模拟。因此，在波场数值模拟中，必须选用合理的有边界限制的有限空间域，以使实际模拟是可行的，并保证计算量在计算机可承受的范围内，但在引入假定的边界的同時，往往会产生虚假的边界反射。针对该问题，在采用有限元进行模拟时，通常采用时间域的黏弹性边界来处理虚假的边界反射波，从而使得从边界反射的能量最小。本文主要介绍了基于柱面波动方程建立的二维黏弹性边界模型，并利用大型通用有限元计算软件ANSYS，针对该边界对于纵、横波的吸收情况进行了模拟实现。
一、二维黏弹性人工边界
1.二维黏弹性人工边界理论
黏弹性边界是Deeks在研究黏性边界的基础上提出来的，该边界采用物理元件构成人工边界，具有良好的低频稳定性。黏弹性人工边界的推导过程同黏性边界相类似，在假设边界上不存在能量反射的前提下，基于二维散射波为柱面波的情形推导出任一半径处，以为外法线的微元面上应力同该处速度和位移的关系，具体推导过程如下：
极坐标中柱面波运动方程为：
（1.1）
式中：为介质的平面位移，t为时间变量；r为到中心的距离变量；为剪切波速，，G为剪切模量，为质量密度。
对于从坐标原点发射出的柱面波可以得出下式：
（1.2）
由式（1.2）和剪应力计算公式，可推导出任意半径r处以矢径为外法线的微元面上，应力同该处速度和位移的关系：
（1.3）
令 （1.4）
由上可以看出，如果在半径处截断介质，同时在截断的边界上施加相应分布的物理元件—黏性阻尼器和线性弹簧后，就可以在很大程度上消除散射波在人工边界上的反射，即可较为精确地模拟波由有限域向无限域的传播。
2.二维黏弹性人工边界参数
黏弹性人工边界上的应力条件，是一种连续分布的人工边界条件，当采用有限元方法将计算模型离散化以后，黏弹性人工边界也将被离散化。然后，采用集中处理的方法可以得到集中黏弹性人工边界，即在一定面积范围内，只设置一组黏弹性边界物理元件，此时，黏弹性人工边界可以等效为：在人工截断边界的单元结点上，设置法向和切向的并联弹簧阻尼器单元，即Kelvin-Voigt模型。法向和切向的弹簧系数和阻尼器的阻尼系数按照公式（1.5）、（1.6）取值：
式中：、分别为法向和切向弹簧的弹性系数；、分别为法向和切向阻尼器的阻尼系数；R为波源至人工边界点的距离；A为人工边界结点在边界上的等效面积；、为介质的P波和S波波速；、为法向与切向黏弹性人工边界修正系数。
二、黏弹性人工边界在有限元模拟中的实现
ANSYS是一种实用性非常强的大型通用有限元计算软件，该软件的应用范围非常广，遍及工业的各个领域，具有较好的实际应用效果。现在我们将该软件用于模拟黏弹性人工边界，进而观察该边界对纵、横波的吸
（下转第页）
（上接第页）
收效果。
在ANSYS软件中，选用Combine14单元来做黏弹性边界，图1为Combine14单元的示意图，I、J为节点，k为弹性系数，c为阻尼系数。图2是弹簧在ANSYS数值模拟计算中的黏弹性人工边界模型，在节点B处的切向弹性系数和阻尼系数由式（1.6）计算得到，法向弹性系数和阻尼系数由式（1.5）计算得到。
三、算例分析
该算例为一个二维均匀弹性空间问题，该模型的四周边界都是黏弹性人工边界。力学模型如图3所示，在模型中心位置A处，按照箭头方向施加主频15kHz的正弦波力源。
介质参数：剪切模量和密度分别取为，，泊松比，剪切波速度，纵波速度。
采用ANSYS参数画建模型，计算区范围取宽2m，深2m，用四边形单元剖分，单元类型为PLANE42，单元尺寸为10mm。介质截断边界处设置切向和法向的弹簧阻尼单元，单元类型采用Combin14，弹簧阻尼器单元一端与边界结点耦合，另一端固定。计算时间取1500us，时间步长为3us。
根据模拟效果可得出：运用模拟的黏弹性人工边界来同时吸收纵、横波时，具有很好的吸收效果，即没有纵、横波反射回来；运用模拟的该边界来只吸收纵波时，纵波被很好地吸收了，同时还有反射回来的横波；运用模拟的该边界来只吸收横波时，纵波反射了回来，但由于部分反射回来的纵波和部分横波相遇发生叠加，使得该边界对横波的吸收效果不是很好，有待于进一步解决。总体来讲，黏弹性边界可以很好地吸收边界反射的纵、横波。
四、结论
本文基于Kelvin-Voigt模型，在二维黏弹性人工边界的理论基础上，引入了黏弹性边界的弹性系数和阻尼系数，并利用大型通用有限元计算软件ANSYS，实现了对该边界吸收情况的模拟。在ANSYS中，经算例分析表明，采用上述方法可以很好地吸收边界反射的纵、横波，从而避免了由假定边界所导致的虚假边界反射。
参考文献：
[1] 刘晶波，王振宇，杜修力等. 波动问题中的三维时域粘弹性人工边界.工程力学，2005，22（6）：46-51.
[2] 刘晶波，谷音，杜义欣. 一致黏弹性人工边界及粘弹性边界单元.岩土工程学报，2006，28（9）：1070-1075.
[3] 蒋伟. 粘弹性人工边界应用中的几个关键问题及其在ANSYS中的实现.中国科技论文在线，2007，20（5）：32-38.
[4] 杜兴华，高扬. 粘弹性人工边界在有限元分析中的应用.低温建筑技术，2012，18（2）：76-78.