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第一篇：数形结合思想概述
一、数形结合思想的含义
数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述.因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义;而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法.简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法.
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围.
二、应用数形结合思想的途径
（1）“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性.
（2）“由数化形”：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征.
（3）“数形转换”：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系.
三、运用数形结合思想分析解决问题时，应把握以下三个原则
（1）等价性原则
数与形的转化，无论是“由数转化为形”还是“由形转化为数”都必须保证是等价的，特别是由数与式向形转化，一定要注意，变量的范围，建立在范围内作图.否则，产生结果与真正的结论会有所差别.
（2）直观性原则
为什么要将数或式转化为形？目的只有一个，就是通过图形的直观产生结论，如果将数与式转化为形之后，不能保证直观，就失去转化的意义，也就没有必须再用数形结合了.
（3）简单化原则
图形的直观性是一目了然的，但图形也有不足之处.首先，它将所有的信息，通过一个图形全部展示在我们面前，有用的、没用的通通出现.其次，一个问题的细微之处是我们无法看清的.于是，转化数就显得很有必要，但如果转化后的数与式非常复杂，欲准确、透彻地分析很困难，那就没有必要了.
四、运用数形结合思想分析解决问题时的常规步骤
（1）通过坐标系的建立，引入变量，化静为动，以动求解.
（2）借助转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等.
（3）构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等.
第二篇：数形结合思想在集合中的应用
在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了.
一、集合的基本运算
例1. 已知集合A={x|x是平行四边形}，B={x|x是矩形}，C={x|x是正方形}，D{x|x是菱形}，则（
一、数形结合思想的含义
数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述.因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义;而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法.简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法.
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围.
二、应用数形结合思想的途径
（1）“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性.
（2）“由数化形”：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征.
（3）“数形转换”：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系.
三、运用数形结合思想分析解决问题时，应把握以下三个原则
（1）等价性原则
数与形的转化，无论是“由数转化为形”还是“由形转化为数”都必须保证是等价的，特别是由数与式向形转化，一定要注意，变量的范围，建立在范围内作图.否则，产生结果与真正的结论会有所差别.
（2）直观性原则
为什么要将数或式转化为形？目的只有一个，就是通过图形的直观产生结论，如果将数与式转化为形之后，不能保证直观，就失去转化的意义，也就没有必须再用数形结合了.
（3）简单化原则
图形的直观性是一目了然的，但图形也有不足之处.首先，它将所有的信息，通过一个图形全部展示在我们面前，有用的、没用的通通出现.其次，一个问题的细微之处是我们无法看清的.于是，转化数就显得很有必要，但如果转化后的数与式非常复杂，欲准确、透彻地分析很困难，那就没有必要了.
四、运用数形结合思想分析解决问题时的常规步骤
（1）通过坐标系的建立，引入变量，化静为动，以动求解.
（2）借助转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等.
（3）构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等.
第二篇：数形结合思想在集合中的应用
在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了.
一、集合的基本运算
例1. 已知集合A={x|x是平行四边形}，B={x|x是矩形}，C={x|x是正方形}，D{x|x是菱形}，则（