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题目:(2007年高考数学陕西卷理科第16题)安排3名支教老师去6所学校任教,每校至多2人,则不同的分配方案共有________。(用数字作答)
讲解:据了解,学生普遍使用分类计数的方法(见解法1)。我们的体会是知识经验能引导出更多、更接近问题深层结构的解法。
解法1:(加法)依题意,分配方案有两种情况:
(1)3名教师分到3所学校,每校1人。这相当于从6所学校取3所作为接收单位,得A36=120种分法。
(2)3名教师分到2所学校,有一所学校2人。从3名教师中取2人有C23种取法,再从6所学校取2所作为接收单位,得CC23A26=90种分法。
由加法原理得不同的分配方案共有
N=A36 C23A26=6×5×4 3×6×5=6×5×7=210种。
评析1:思路打开之后,“结论也是已知信息”,多了这一个信息,情况就大不相同了(下面是由“初步解法”导出的解题反思)。由N=210的改写,
N=210=7×6×5=6×(6 1)(6—1)=63—6。
可知,只要能给这个数据以组合解释,便可以得出新的解法。63—6立即刺激我们的数学知识与解题经验:6就是3个教师每人都有到“6所学校”的6种去法的方法数,减6就是减掉“3个教师都到1所学校”的6种去法(见解法2)。
解法2:(减法)3个教师每人都有到“6所学校”的6种去法,得6种去法,但3个教师都到1所学校与“每校至多2人”矛盾,故得不同的分配方案共有N=63-6=210种。
评析2:对N=210的改写,
N=210=7×6×5=A37,能给出排列或组合解释吗?
解法3:(对应解法)假想除了原来的六所学校A,B,C,D,E,F外,还有一所学校G,把3人分到七所学校,每校分1人,则得N=A37=210种。若G中无人,就对应解法1的第(1)种情况。若G中分1人甲,再将其余2人分到六所学校中的两所,这时,乙在那里就将甲配对给他;若G中分1人乙,再将其余2人分到六所学校中的两所,这时,丙在那里就将乙配对给他;若G中分1人丙,再将其余2人分到六所学校中的两所,这时,甲在那里就将丙配对给他。后三种情况合起来对应解法1的第(2)种情况。故不同的分配方案共有210种。
解法4:(对应解法)假想除了原来的六所学校A,B,C,D,E,F外,还有一所学校G,把3人分到七所学校每校分1人,则得N=A37=210种。若G中无人,就对应解法l的第(1)种情况。若G中分1人甲,再将其余2人分到六所学校中的两所,这时,甲既可配对给乙又可配对给丙;若G中分1人丙,再将其余2人分到六所学校中的两所,这时,丙配对给甲又可配对给乙。因每种情形重复一次,故若G中分1人对应3×6×5×22=90种情况,对应解法1的第(2)种情况。故不同的分配方案共有210种。
说明:在这个例子里,排列组合的知识不是一个个彼此孤立的单点,相互勾连的知识链能帮助我们由运算式找出它的组合解释。
评析3:总会有人的理解出现偏差,我们能帮助其分析错因吗?
解法4:先将2名教师分到6所学校中的2所,有A26种,再把余下的1名教师分到6所学校中的任意一所,共有A16种方法,所以,共有不同的分配方案是A26A16=180种。
少了,问题在哪里?
先将2名教师分到6所学校的2所,有A26=30种不够!(因仅考虑了这两人分开的情形,少了这两人在一起的6种情形)正确的应是A26A16 6×5=180 30=210种。
解法5:从3名教师中取2人有C23种取法,把这2名教师分到6所学校的2所,有A26种,再把余下的1名教师分到6所学校中的任意一所,共有A16种方法,所以,共有不同的分配方案是C23A26A16=540种。
多了,问题在哪里?
解法6:先将2名教师分到6所学校的2所,共有36种可能,将其分为两类:这两人分开;这两人在一起。再把余下的1名教师分到6所学校中的一所也需针对上述两类分别考虑。
讲解:据了解,学生普遍使用分类计数的方法(见解法1)。我们的体会是知识经验能引导出更多、更接近问题深层结构的解法。
解法1:(加法)依题意,分配方案有两种情况:
(1)3名教师分到3所学校,每校1人。这相当于从6所学校取3所作为接收单位,得A36=120种分法。
(2)3名教师分到2所学校,有一所学校2人。从3名教师中取2人有C23种取法,再从6所学校取2所作为接收单位,得CC23A26=90种分法。
由加法原理得不同的分配方案共有
N=A36 C23A26=6×5×4 3×6×5=6×5×7=210种。
评析1:思路打开之后,“结论也是已知信息”,多了这一个信息,情况就大不相同了(下面是由“初步解法”导出的解题反思)。由N=210的改写,
N=210=7×6×5=6×(6 1)(6—1)=63—6。
可知,只要能给这个数据以组合解释,便可以得出新的解法。63—6立即刺激我们的数学知识与解题经验:6就是3个教师每人都有到“6所学校”的6种去法的方法数,减6就是减掉“3个教师都到1所学校”的6种去法(见解法2)。
解法2:(减法)3个教师每人都有到“6所学校”的6种去法,得6种去法,但3个教师都到1所学校与“每校至多2人”矛盾,故得不同的分配方案共有N=63-6=210种。
评析2:对N=210的改写,
N=210=7×6×5=A37,能给出排列或组合解释吗?
解法3:(对应解法)假想除了原来的六所学校A,B,C,D,E,F外,还有一所学校G,把3人分到七所学校,每校分1人,则得N=A37=210种。若G中无人,就对应解法1的第(1)种情况。若G中分1人甲,再将其余2人分到六所学校中的两所,这时,乙在那里就将甲配对给他;若G中分1人乙,再将其余2人分到六所学校中的两所,这时,丙在那里就将乙配对给他;若G中分1人丙,再将其余2人分到六所学校中的两所,这时,甲在那里就将丙配对给他。后三种情况合起来对应解法1的第(2)种情况。故不同的分配方案共有210种。
解法4:(对应解法)假想除了原来的六所学校A,B,C,D,E,F外,还有一所学校G,把3人分到七所学校每校分1人,则得N=A37=210种。若G中无人,就对应解法l的第(1)种情况。若G中分1人甲,再将其余2人分到六所学校中的两所,这时,甲既可配对给乙又可配对给丙;若G中分1人丙,再将其余2人分到六所学校中的两所,这时,丙配对给甲又可配对给乙。因每种情形重复一次,故若G中分1人对应3×6×5×22=90种情况,对应解法1的第(2)种情况。故不同的分配方案共有210种。
说明:在这个例子里,排列组合的知识不是一个个彼此孤立的单点,相互勾连的知识链能帮助我们由运算式找出它的组合解释。
评析3:总会有人的理解出现偏差,我们能帮助其分析错因吗?
解法4:先将2名教师分到6所学校中的2所,有A26种,再把余下的1名教师分到6所学校中的任意一所,共有A16种方法,所以,共有不同的分配方案是A26A16=180种。
少了,问题在哪里?
先将2名教师分到6所学校的2所,有A26=30种不够!(因仅考虑了这两人分开的情形,少了这两人在一起的6种情形)正确的应是A26A16 6×5=180 30=210种。
解法5:从3名教师中取2人有C23种取法,把这2名教师分到6所学校的2所,有A26种,再把余下的1名教师分到6所学校中的任意一所,共有A16种方法,所以,共有不同的分配方案是C23A26A16=540种。
多了,问题在哪里?
解法6:先将2名教师分到6所学校的2所,共有36种可能,将其分为两类:这两人分开;这两人在一起。再把余下的1名教师分到6所学校中的一所也需针对上述两类分别考虑。