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【摘要】本文主要阐述了人民教育出版社七年级下学期数学教材在第八章“二元一次方程组”第三小节“再谈实际问题与二元一次方程组”第一课时教学设计思考，以及在教、学过程中如何实施等问题。主要内容包括：一、新课引入的设计；二、讲授新知的设计；三、课堂练习的设计；四、课堂小结的设计；五、布置作业、教学评价、板书的设计。
【关键词】二元一次方程组；估算；教学评价；数学思想；教学方法
人民教育出版社七年级下学期数学教材在第八章“二元一次方程组”第三小节中，又特别安排了“再探实际问题与二元一次方程组”的内容，选择了三个具有一定综合性的问题：“牛饲料问题”、 “种植计划问题”、 “成本与产出问题”。
；提供给学生利用方程组为工具进行具有一定深度的思考，增加运用方程组解决实际问题的实践，将全章所强调的以方程组为工具，把实际问题模型化的思想提到了新的高度。
这一小节内容的问题形式包括：估算与精确计算的比较，如探究1；开放地寻求设计方案，如探究2；根据图表所表示的实际问题的数据信息列方程组，如探究3。
安排这节的目的在于：一方面，通过实际生活中的问题，进一步突出方程组这种数学模型应有的广泛性和有效性；另一方面，使学生能在解决实际问题的情境下运用所学知识，进一步提高分析问题和解决问题的综合能力。
下面就这一小节的第一课时，即探究1的教学过程设计谈一点自己粗浅的想法。
1.关于新课引入的设计 建议播放反映新疆美丽自然风光和介绍新疆畜牧业发展较好的短片或照片，并配上巴哈尔古丽的演唱的歌曲《新疆好》。其目的有三：一是激发和增强学生学习数学的兴趣；二是教师借机可对学生进行热爱祖国、热爱家乡的德育教育；三是为本节课的引入、探究活动中问题的展示，做了一个很好的引子。
2.关于讲授新知的设计 探究1：养牛场原有30只母牛和15只小牛，1天约需饲料675kg，一周后又购进12只母牛和5只小牛，这时一天需用饲料940kg，饲养员李大叔估计平均每只母牛一天需要饲料18～20kg，每只小牛一天约需用饲料7～8kg，你能否通过计算检验他的估计？
2.1 先给学生充足的时间（大约5分钟～8分钟）进行独立思考、小组讨论，探索分析解决这个问题的方法。
2.2 请学生汇报各小组讨论的结果。
教材编排本节课的目的之一在于，使学生最终认识到判断李大叔的估计是否正确的方法有两种：
方法一：先假设李大叔的估计正确，再根据问题中给定的数量关系来检验；
方法二：根据问题中给定的数量关系求出平均每只母牛和每只小牛一天各约需用饲料量，再来判断李大叔的估计是否正确。
学生小组讨论的汇报结果，可能会出现与教材编排预期不一致的情况，建议教师，在面对学生汇报结果时，一要做好对个体或部分个体的评价；二要因势利导，顺着学生发现解决这个问题的方法实施教学。
其一，学生可能会说出方法二，即利用二元一次方程组这个有效的教学模型来求解。在这种情况下教师就顺其自然。
首先及时把利用二元一次方程组这个有效的数学模型来解决实际问题的步骤框图复习一遍 ，如图1所示：
其次，教师引导学生陈述题目中蕴含的两个相等关系，并且强调指出这也是列方程组解决实际问题的难点和关键点。
建议教师在这时注意关注个体差异，注意照顾学习困难学生，注意对不同个体及时作出不同的评价。
30只母牛1天需用饲料千克数 + 15只小牛1天需用饲料千克数 675kg
42 只母牛1天需用饲料千克数 + 20只小牛1天需用饲料千克数 940kg
或者
30只母牛1天需用饲料千克数+15只小牛1天需用饲料千克数 675kg
12 只母牛1天需用饲料千克数+5只小牛1天需用饲料千克数 940kg-675kg
能说出第二种关系式的同学，教师要给予赞赏，能说出这种方法说明学生洞察力强，因为这给我们下一步解方程组提供了一种较为简便的方法。
再次，请同学上黑板，规范解题步骤，解、设、根据题中的相等关系列出对应的方程组。
解：设平均每只母牛1天约需饲料x kg,平均每只小牛1天约需饲料y kg。
由题意可列方程组：
30x+15y675
42x+20y940
或者
解：设平均每只母牛1天约需饲料x kg,平均每只小牛1天约需饲料y kg.
由题意可列方程组：
30x+15y675
12x+5y940-675
最后，请同学们探究上述两个方程组的最简解法，即或直接求解，或约去系数的最大公约数再求解，，确定好最佳方案后，请一位同学上黑板板演，而后教师通过幻灯加以规范，并且由此给出探究1完整的解答过程。
其二、学生可能会采用方法一，即估算的方法，也可能根本不会想到使用估算的方法对李大叔的估计做出一个评判。
若学生的独立思考、合作交流的结论中未提及估算的方法，教师要做适当引导，让学生学会这种数学方法，感受这种数学思想。
2.3 这里存在以下问题：
2.3.1 学生缺乏估算的经验和估算的方法怎么进行？因为李大叔的估计是一个范围，母牛每天约需饲料18～20kg，小牛每天约需饲料7～8kg，代哪一个确定的值进行检验呢？
教师引导学生分别代入18～20和7～8之间任意数检验均可。
2.3.2 学生的意见不会统一。
a）学生会代入增加奶牛头数之前进行检验（片面性）
b）学生会代入新增加奶牛头数和新增饲料量进行检验；
c）学生会代入增加奶牛头数之后，总奶牛头数与总需饲料量中进行检验。
2.3.3 而作为教师，这节课这部分内容追求的就是这个教学效果，即：
a）用估算的方法，达到学生纷纭，意见不一的现象；
b）教师在学生对本题已有认识的基础上，给出较为规范的估算方法；
c）体现出估算这种方法的特点：使解题途径较为清晰，代入检验即可，具有一定的实用价值，但多了一些数据计算和数据比较的过程，另外估算会产生误差；
d）教师在这里应该是加强学生估算方法的教学，而不是忽略。
2.4 请学生在探究和教师评议以后，对估算和精确计算两种方法做出比较。学生可以称述个人的真实意见和感受。
3.关于课堂练习的设计 教师可在这里编排一道古代数学名题，如：大约1800年前，我国有一本世界著名的算术书，名叫《孙子算经》，书中有一道留传久远的名题，原题是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；曲绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩1尺，问长木长多少尺？
3.1 请学生先独立思考，而后相互交流，试着给出此问题的解答过程；
3.2 教师在学生思考、解答的基础上，给出规范准确的解答过程。
教师编排这道题在此的主要目的有三：
其一，是对本节课教学效果的一次检验，使学生进一步熟练构建二元一次方程组模型解决实际问题的方法。
其二，是让学生感受到数学文化的熏陶，进行民族自豪感、数学历史知识的教育。
其三，是激发和培养学生学习和继续学习的兴趣。学生们现在很容易解决的古代有名数学问题，古人之所以当时难以解答，就是因为当时数学领域还没有构建起方程组这些积极有效的数学模型，所以使许多在当今用方程思想很容易解答的问题，在古代人们用算术方法来解，就显然极其困难或解答不上，所以古今中外数学史上遗留下不少的古代数学“名”题。
4.关于课堂小结的设计
4.1 要给学生尽量多的时间谈他们自己在本节课的收获。
4.2 教师在学生较为充分地陈述各自感受和认知的基础上，给予归纳性的概括。
建议主要从以下几个方面进行本节课的小节：
4.2.1 认识了“估算”的这种数学方法，了解了这种方法的特点。
4.2.2 进一步熟练了构建二元一次方程组这个数学模型解决实际问题的方法与步骤，再次强调检验的必要性。
4.2.3 学生要对“估算”的算术方法和“精确计算”的代数方法做出比较。
5.关于布置作业的设计和教学评价的设计 我们数学教学是面向全体学生的，而学生之间存在着明显的个体差异，所以在教学活动中和布置作业时应对不同层次的学生给予不同的训练，真正体现对每位学生的学习过程、学习效果进行适时的、及时的不同层次的评价，使每位学生都学到有用的数学，使每位学生的数学学习都得到不同的发展以及学生现在掌握的数学知识对学生将来的生活和参加生产劳动起到积极的指导和服务作用。
6.关于本节课的板书设计
表1 板书设计
以上关于“再探实际问题与二元一次方程组”的课堂教学设计，是本人的一些粗浅认识。如有不妥之处，恳请诸位专家、同仁给予批评指正﹗
参考文献
［1]义务教育课程课程标准实验教科书《数学》（七年级下册）,人民教育出版社,2004年6月第一版
［2]义务教育课程标准实验教科书《数学教师数学用书》（七年级下册），人民教育出版社，2004年11月第一版
［3]新课程教案《数学》（七年级下册），人民教育出版社，2006年12月第二版
收稿日期：2011-08-20
【关键词】二元一次方程组；估算；教学评价；数学思想；教学方法
人民教育出版社七年级下学期数学教材在第八章“二元一次方程组”第三小节中，又特别安排了“再探实际问题与二元一次方程组”的内容，选择了三个具有一定综合性的问题：“牛饲料问题”、 “种植计划问题”、 “成本与产出问题”。
；提供给学生利用方程组为工具进行具有一定深度的思考，增加运用方程组解决实际问题的实践，将全章所强调的以方程组为工具，把实际问题模型化的思想提到了新的高度。
这一小节内容的问题形式包括：估算与精确计算的比较，如探究1；开放地寻求设计方案，如探究2；根据图表所表示的实际问题的数据信息列方程组，如探究3。
安排这节的目的在于：一方面，通过实际生活中的问题，进一步突出方程组这种数学模型应有的广泛性和有效性；另一方面，使学生能在解决实际问题的情境下运用所学知识，进一步提高分析问题和解决问题的综合能力。
下面就这一小节的第一课时，即探究1的教学过程设计谈一点自己粗浅的想法。
1.关于新课引入的设计 建议播放反映新疆美丽自然风光和介绍新疆畜牧业发展较好的短片或照片，并配上巴哈尔古丽的演唱的歌曲《新疆好》。其目的有三：一是激发和增强学生学习数学的兴趣；二是教师借机可对学生进行热爱祖国、热爱家乡的德育教育；三是为本节课的引入、探究活动中问题的展示，做了一个很好的引子。
2.关于讲授新知的设计 探究1：养牛场原有30只母牛和15只小牛，1天约需饲料675kg，一周后又购进12只母牛和5只小牛，这时一天需用饲料940kg，饲养员李大叔估计平均每只母牛一天需要饲料18～20kg，每只小牛一天约需用饲料7～8kg，你能否通过计算检验他的估计？
2.1 先给学生充足的时间（大约5分钟～8分钟）进行独立思考、小组讨论，探索分析解决这个问题的方法。
2.2 请学生汇报各小组讨论的结果。
教材编排本节课的目的之一在于，使学生最终认识到判断李大叔的估计是否正确的方法有两种：
方法一：先假设李大叔的估计正确，再根据问题中给定的数量关系来检验；
方法二：根据问题中给定的数量关系求出平均每只母牛和每只小牛一天各约需用饲料量，再来判断李大叔的估计是否正确。
学生小组讨论的汇报结果，可能会出现与教材编排预期不一致的情况，建议教师，在面对学生汇报结果时，一要做好对个体或部分个体的评价；二要因势利导，顺着学生发现解决这个问题的方法实施教学。
其一，学生可能会说出方法二，即利用二元一次方程组这个有效的教学模型来求解。在这种情况下教师就顺其自然。
首先及时把利用二元一次方程组这个有效的数学模型来解决实际问题的步骤框图复习一遍 ，如图1所示：
其次，教师引导学生陈述题目中蕴含的两个相等关系，并且强调指出这也是列方程组解决实际问题的难点和关键点。
建议教师在这时注意关注个体差异，注意照顾学习困难学生，注意对不同个体及时作出不同的评价。
30只母牛1天需用饲料千克数 + 15只小牛1天需用饲料千克数 675kg
42 只母牛1天需用饲料千克数 + 20只小牛1天需用饲料千克数 940kg
或者
30只母牛1天需用饲料千克数+15只小牛1天需用饲料千克数 675kg
12 只母牛1天需用饲料千克数+5只小牛1天需用饲料千克数 940kg-675kg
能说出第二种关系式的同学，教师要给予赞赏，能说出这种方法说明学生洞察力强，因为这给我们下一步解方程组提供了一种较为简便的方法。
再次，请同学上黑板，规范解题步骤，解、设、根据题中的相等关系列出对应的方程组。
解：设平均每只母牛1天约需饲料x kg,平均每只小牛1天约需饲料y kg。
由题意可列方程组：
30x+15y675
42x+20y940
或者
解：设平均每只母牛1天约需饲料x kg,平均每只小牛1天约需饲料y kg.
由题意可列方程组：
30x+15y675
12x+5y940-675
最后，请同学们探究上述两个方程组的最简解法，即或直接求解，或约去系数的最大公约数再求解，，确定好最佳方案后，请一位同学上黑板板演，而后教师通过幻灯加以规范，并且由此给出探究1完整的解答过程。
其二、学生可能会采用方法一，即估算的方法，也可能根本不会想到使用估算的方法对李大叔的估计做出一个评判。
若学生的独立思考、合作交流的结论中未提及估算的方法，教师要做适当引导，让学生学会这种数学方法，感受这种数学思想。
2.3 这里存在以下问题：
2.3.1 学生缺乏估算的经验和估算的方法怎么进行？因为李大叔的估计是一个范围，母牛每天约需饲料18～20kg，小牛每天约需饲料7～8kg，代哪一个确定的值进行检验呢？
教师引导学生分别代入18～20和7～8之间任意数检验均可。
2.3.2 学生的意见不会统一。
a）学生会代入增加奶牛头数之前进行检验（片面性）
b）学生会代入新增加奶牛头数和新增饲料量进行检验；
c）学生会代入增加奶牛头数之后，总奶牛头数与总需饲料量中进行检验。
2.3.3 而作为教师，这节课这部分内容追求的就是这个教学效果，即：
a）用估算的方法，达到学生纷纭，意见不一的现象；
b）教师在学生对本题已有认识的基础上，给出较为规范的估算方法；
c）体现出估算这种方法的特点：使解题途径较为清晰，代入检验即可，具有一定的实用价值，但多了一些数据计算和数据比较的过程，另外估算会产生误差；
d）教师在这里应该是加强学生估算方法的教学，而不是忽略。
2.4 请学生在探究和教师评议以后，对估算和精确计算两种方法做出比较。学生可以称述个人的真实意见和感受。
3.关于课堂练习的设计 教师可在这里编排一道古代数学名题，如：大约1800年前，我国有一本世界著名的算术书，名叫《孙子算经》，书中有一道留传久远的名题，原题是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；曲绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩1尺，问长木长多少尺？
3.1 请学生先独立思考，而后相互交流，试着给出此问题的解答过程；
3.2 教师在学生思考、解答的基础上，给出规范准确的解答过程。
教师编排这道题在此的主要目的有三：
其一，是对本节课教学效果的一次检验，使学生进一步熟练构建二元一次方程组模型解决实际问题的方法。
其二，是让学生感受到数学文化的熏陶，进行民族自豪感、数学历史知识的教育。
其三，是激发和培养学生学习和继续学习的兴趣。学生们现在很容易解决的古代有名数学问题，古人之所以当时难以解答，就是因为当时数学领域还没有构建起方程组这些积极有效的数学模型，所以使许多在当今用方程思想很容易解答的问题，在古代人们用算术方法来解，就显然极其困难或解答不上，所以古今中外数学史上遗留下不少的古代数学“名”题。
4.关于课堂小结的设计
4.1 要给学生尽量多的时间谈他们自己在本节课的收获。
4.2 教师在学生较为充分地陈述各自感受和认知的基础上，给予归纳性的概括。
建议主要从以下几个方面进行本节课的小节：
4.2.1 认识了“估算”的这种数学方法，了解了这种方法的特点。
4.2.2 进一步熟练了构建二元一次方程组这个数学模型解决实际问题的方法与步骤，再次强调检验的必要性。
4.2.3 学生要对“估算”的算术方法和“精确计算”的代数方法做出比较。
5.关于布置作业的设计和教学评价的设计 我们数学教学是面向全体学生的，而学生之间存在着明显的个体差异，所以在教学活动中和布置作业时应对不同层次的学生给予不同的训练，真正体现对每位学生的学习过程、学习效果进行适时的、及时的不同层次的评价，使每位学生都学到有用的数学，使每位学生的数学学习都得到不同的发展以及学生现在掌握的数学知识对学生将来的生活和参加生产劳动起到积极的指导和服务作用。
6.关于本节课的板书设计
表1 板书设计
以上关于“再探实际问题与二元一次方程组”的课堂教学设计，是本人的一些粗浅认识。如有不妥之处，恳请诸位专家、同仁给予批评指正﹗
参考文献
［1]义务教育课程课程标准实验教科书《数学》（七年级下册）,人民教育出版社,2004年6月第一版
［2]义务教育课程标准实验教科书《数学教师数学用书》（七年级下册），人民教育出版社，2004年11月第一版
［3]新课程教案《数学》（七年级下册），人民教育出版社，2006年12月第二版
收稿日期：2011-08-20