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摘 要：针对Love方程的求解问题，采取三种不同的复化数值积分的方法将Love方程离散并给出求解的矩阵格式。数值实验表明，用复化方法求解Love方程的数值解是可行的，同时对其误差进行了分析。
关键词：Love方程；复化积分；数值解
四、 数值实验
基于式（3）（4）（5），运用MATLAB分别实现Love方程的复化方法。取区间等分数n=5，不同复化方法的Love方程数值解如图2所示，可以看出复化法求解Love方程是可行的，且解具有对称性，如图2（1）在区间[-1，1]内，复化梯形、复化Simpson、复化Cotes分别取得6、11、21个点上的值。不失一般性，若将积分区间n等分，复化梯形法、复化Simpson法、复化Cotes法得到的离散值的个数分别是n 1、2n 1、4n 1，因此复化Cotes法得到的数值解更光滑。为了区分复化Simpson和复化Cotes的数值解，如图2（2）所示取局部区间[-0.5，0.5]。
对于区间等分数，由于复化Cotes是复化Simpson的2倍，是复化梯形的4倍，为了使节点个数保持一致，因此设置如表1所示的区间等分数，其中n（C，S，T）依次表示复化Cotes、复化Simpson、复化梯形的区间等分数，err_T_S、err_T_C、err_S_C 分别表示复化梯形与复化Simpson、复化梯形与复化Cotes、复化Simpson与复化Cotes近似解的最大误差。显然，复化梯形求解Love方程的性能较低。圖3是对应于表1第3行中复化Simpson与复化Cotes的数据近似解的误差图。一般地，增加区间段数可以减小误差，但计算耗时长、代价大，图4给出了n值变化时，不同方法的耗时图，显然随着n的增大，时间是递增的。
参考文献：
[1]E. R. Love. The electrostatics filed of two equal circular coaxial conducting disks[J]. Quart. J. Mech. Appl. Math，1949，2（4）：428-451.
[2]S. E. EIGendi， Chebyshev solution of differential.integral and integrodifferential equation[J]. Comput，1969：12（3）：282-287.
[3]David EIGendi， A Chebyshev series method for the numerical solution of Fredholm integral equations[J]. Comput. J，1963，6（1）：102-112.
[4]S. S. Sastry. Numerical solution of nonsingular Fredholm integral equations of the second kind[J]. Indian J. Pure. Appl. Math，1975，6（7）：773-783.
[5]Pietro Pastore. The numerical treatment of loves integral equation having very small parameter[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics，2011，236（6）：1267-1281.
[6]FuRong Lin， YongJie Shi. Preconditioned conjugate gradient methods for the solution of Love’s integral equation with very small parameter[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics，2018：295-305.
作者简介：
张镭，张艳霞，重庆市，重庆第二师范学院。
关键词：Love方程；复化积分；数值解
四、 数值实验
基于式（3）（4）（5），运用MATLAB分别实现Love方程的复化方法。取区间等分数n=5，不同复化方法的Love方程数值解如图2所示，可以看出复化法求解Love方程是可行的，且解具有对称性，如图2（1）在区间[-1，1]内，复化梯形、复化Simpson、复化Cotes分别取得6、11、21个点上的值。不失一般性，若将积分区间n等分，复化梯形法、复化Simpson法、复化Cotes法得到的离散值的个数分别是n 1、2n 1、4n 1，因此复化Cotes法得到的数值解更光滑。为了区分复化Simpson和复化Cotes的数值解，如图2（2）所示取局部区间[-0.5，0.5]。
对于区间等分数，由于复化Cotes是复化Simpson的2倍，是复化梯形的4倍，为了使节点个数保持一致，因此设置如表1所示的区间等分数，其中n（C，S，T）依次表示复化Cotes、复化Simpson、复化梯形的区间等分数，err_T_S、err_T_C、err_S_C 分别表示复化梯形与复化Simpson、复化梯形与复化Cotes、复化Simpson与复化Cotes近似解的最大误差。显然，复化梯形求解Love方程的性能较低。圖3是对应于表1第3行中复化Simpson与复化Cotes的数据近似解的误差图。一般地，增加区间段数可以减小误差，但计算耗时长、代价大，图4给出了n值变化时，不同方法的耗时图，显然随着n的增大，时间是递增的。
参考文献：
[1]E. R. Love. The electrostatics filed of two equal circular coaxial conducting disks[J]. Quart. J. Mech. Appl. Math，1949，2（4）：428-451.
[2]S. E. EIGendi， Chebyshev solution of differential.integral and integrodifferential equation[J]. Comput，1969：12（3）：282-287.
[3]David EIGendi， A Chebyshev series method for the numerical solution of Fredholm integral equations[J]. Comput. J，1963，6（1）：102-112.
[4]S. S. Sastry. Numerical solution of nonsingular Fredholm integral equations of the second kind[J]. Indian J. Pure. Appl. Math，1975，6（7）：773-783.
[5]Pietro Pastore. The numerical treatment of loves integral equation having very small parameter[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics，2011，236（6）：1267-1281.
[6]FuRong Lin， YongJie Shi. Preconditioned conjugate gradient methods for the solution of Love’s integral equation with very small parameter[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics，2018：295-305.
作者简介：
张镭，张艳霞，重庆市，重庆第二师范学院。