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摘 要：数学文化进入高中数学课堂是当前的研究重点，数学文化的有效渗透在于隐性与显性两种方式的结合. 隐性的数学文化借助于数学史或数学故事来呈现，可以激活学生的思维、吸引学生的注意力；隐性的数学文化呈现，可以让学生带着数学文化的视角，借助于数学思想及数学方法去解决问题. 两种方式的并行，可以让数学文化真正成为数学课堂上的有效因素.
关键词：数学文化；高中数学；数学教学；有效渗透
数学文化已经成为近年来数学教育界的一个热词，在数学教学中渗透数学文化已经成为当下教学的一种时尚，尤其是在高中数学教学中，由于应试压力的顽强存在，故带有数学文化的课堂常常成为应试氛围中的一道亮丽的风景线. 从教学思路来看，数学文化的渗透常常有显性和隐性两种，前者在课堂上引入诸多数学文化事例或者故事，从而让学生能够沐浴在一种文化氛围当中，而后者常常将数学文化发展的历史主线隐性地作为课堂上学生思维的主要思路，从而可以让学生在数学文化的隐性影响中获得数学素养的提升. 而从教学实际来看，高中数学课堂上的文化因素呈现并不令人乐观，一个重要原因就在于过于重视显性的所谓文化存在，而忽视了隐性的数学文化的精髓. 因此，数学文化的有效渗透就成为一个重要的研究课题，对此笔者也进行了不懈的研究.
[?] 数学文化的显性依附
根据一般认识，中学数学课堂上的文化都是依附于数学史或者数学故事而存在的，因此数学史与数学故事常常是数学文化的显性依附，在课堂上提供这一类素材，既可以吸引学生的学习注意力，也可以提高学生对数学知识的理解程度. 以“数列”（人教版高中数学，必修5）的教学为例，笔者搜集了相关的素材，并结合教材所给出的史料，进行教学设计：
首先，创设数学文化的情境：向学生介绍毕达哥拉斯学派的“形数理论”. 此情境创设的重点在于激发学生的认知冲突：一方面，用小石子来表示数是一种“轻而易举”的事情；另一方面，该学派这种表示数的方法当中又蕴涵着重要的数学思想. 有学生在学习中会质疑：用石子表示数是小孩子都会的事情，需要跟我们这种高级知识分子炫耀吗？在笔者看来，学生戏语背后恰恰是笔者所需要的认知冲突. 而这种起点较低但目标较高的数学教学模式，也常常受到学生的喜欢，其最大的益处就是能够在数学学习之初让所有的学生参与进来，这对于关注学生全体是非常有帮助的，尤其是对于高中数学而言，通常都需要通过这种方式来降低教学的起点.
其次，教授“等差数列前n项和”的内容中，向学生介绍高斯计算1 2 3 … 100的故事，这个故事学生耳熟能详，教师需要强调的是其中巧妙的数学转换思想，即将1与100、2与99……联系起来，以让学生看到高斯分析思路的巧妙转换. 事实上，在具体的教学过程中，学生也常常容易为这一故事所吸引，但是对于高中数学教学而言，更需要教师做出努力的是引导学生发现其中的数学思想，并进而引导学生感受数学文化.
再次，在上述两个显性数学史知识呈现的基础上，教师引导学生比较这两种方法，并尝试用“形数”去解决“等差数列前n项和”的问题. 这个时候学生就会发现原来的“简单”认识此时变得不太简单！而当笔者向学生阐明毕达哥拉斯学派就是用形数知识解决了等差数列的前n项和的问题时，学生更是感觉到有一点不可思议，于是他们的思维也就会向前延伸：古人是怎么解决这个问题的呢？
这个问题意识的产生，将本课带入了有效课堂的大门，学生的思维由此活跃了起来. 而数学文化的渗透也从表面走向了实质！
[?] 数学文化的隐性存在
数学文化显然不只是数学故事，数学文化是隐藏在数学史或数学故事背后的数学思想、数学思维与数学视角.因此在上述基础上，教师应当从深层次文化的角度去实施教学，笔者的实践是这样的：
第一步：基于“形数”去寻找求解等差数列前n项和的方法. 在这一步当中，实际上需要一个数形转换，即将高斯思路的纯数学思考，转换成基于表示数的小石子的形的思考，笔者借鉴同行的经验，利用如图1所示的形状来表示等差数列，然后在此基础上对此图进行了引导.
经过引导，学生迅速发现“三角形数”就是一个等差数列，而补上另一个倒置的三角形之后就形成了一个平行四边形，学生就会发现其实这是一个有着n行、（n 1）列的“平行四边形数”，显然总的点数（实际上也就是前n项和）就是n（n 1），那么等差数列的前n项和就呼之欲出了.
在笔者的课堂上，这一发现是由学生自主完成的，学生在完成之后，对于“形数”产生了十分浓厚的兴趣，而数学教学所强调的“数形结合”思想也在此得到了汗畅淋漓的体现.更重要的是，基于数学文化的渗透的教学，到此还没有结束.
第二步：引导学生继续思考，这种数形结合思想的运用，这种“三角形数”与“平行四边形数”在数列知识的求和当中有没有更巧妙的应用？也就是说面对着“等差数列前n项和”的问题解决需要，“形数”能否从另一个角度发挥作用？这一问题实际上是数学文化驱动下的深入思考，而学生在体验了刚才的快乐之后，自然有进一步研究的动力.
实际教学中，笔者跟学生一起研究探讨，而当图2出现在学生的面前时，学生的眼前又是一亮：原来一个形数换用不同的视角去看时，还会有另一个思路出来：如图，总的小石子数是16，而当教师用线隔出小石子之后，学生发现其又可以看做1 3 5 7，很显然，这也是一个等差数列，那么如果是n个小石子组成的正方形矩阵，那总的石子个数与此规律的等差数列就满足1 3 5 7 … 2n-1=n2的关系.
这种关系的自主发现，显然是数学思想驱动的结果，而数学思想从哪里来，就是从基于数学史演变过来的数学事例的分析得来的，笔者以为这是数学文化驱动的结果.
在教学中曾经出现一个细节：当笔者向学生呈现左图时，学生感受到的就是一个由十六个点组成的正方形，而当笔者最后向学生呈现右图时，学生忽然发现原来同样的十六个点却有着不同的理解方式. 而不同的理解方式却意味着不同的数学结果！这是怎么一回事？而当学生在小组讨论中提出这个问题，并经过笔者统一提出后为全班学生所共同感兴趣的话题之后，笔者告诉学生，这一现象某种程度上讲也是数学文化的一部分，因为文化不仅仅是文化故事，更指文化当中蕴涵的思维. 数学家用点、线、面、体来描述这个世界时，就已经意识到了简单的形的变化之后隐含着数的变化，这样的讲解有助于学生在数与形之间建立起恰当的联系.
需要强调的是，“形数”这一概念的背后还包含着更深层次的数学思想，这也是需要向学生传递的. 笔者以为，形数作为一个数学概念，需要让学生认识到的是形与数两个基本概念，形是人类认知世界最基本的载体，数是人类在认识过程中的高度抽象，而这恰恰吻合了数学发展的轨迹. 这种认识是需要向学生传递的，常常被数学符号所困扰的高中学生最容易形成的误区就是：高中数学只是抽象的图形与符号的集合，而事实上数学却是在以至简的语言描述着事物发展的至繁规律，这也应当是高中数学文化中的一个重要理解.
[?] 数学文化的呈现方式
反思上述教学尝试可以发现，高中数学课堂上数学文化要想发挥驱动学生积极思维的作用，就必须坚持数学文化显性与隐性渗透相结合的教学方式，通过显性的数学文化呈现来激活学生的思维，吸引学生的注意力，而隐性的数学文化作用则在于让学生的思维沿着数学史中的数学思路去解决问题，这就相当于给学生提供了一个泳池，可以让学生带着数学方法去游泳，从而形成必需的数学技能与数学素养.
数学文化的呈现方式还影响着学生对数学的理解结果，实践表明，即使是对于高中数学而言，必要的显性教学也是应当的，因为高中阶段的学生的逻辑思维能力固然较强，但对数学文化的理解还处于比较稚嫩的水平，文化并没有真正成为学生数学学习的思维主线，因此显性的文化教学方式，可以让学生以更为明确的态度去感受数学文化的存在. 相比较而言，隐性的文化更多的时候只适用于对学生产生一种潜移默化的作用.
某种程度上讲，对于教学这一特定行为而言，数学文化的呈现方式直接影响着数学文化的效果，高中数学教学中可行的措施就是显性与隐性相结合，以使数学文化可以在两种方式相得益彰的作用下发挥更大效用.
关键词：数学文化；高中数学；数学教学；有效渗透
数学文化已经成为近年来数学教育界的一个热词，在数学教学中渗透数学文化已经成为当下教学的一种时尚，尤其是在高中数学教学中，由于应试压力的顽强存在，故带有数学文化的课堂常常成为应试氛围中的一道亮丽的风景线. 从教学思路来看，数学文化的渗透常常有显性和隐性两种，前者在课堂上引入诸多数学文化事例或者故事，从而让学生能够沐浴在一种文化氛围当中，而后者常常将数学文化发展的历史主线隐性地作为课堂上学生思维的主要思路，从而可以让学生在数学文化的隐性影响中获得数学素养的提升. 而从教学实际来看，高中数学课堂上的文化因素呈现并不令人乐观，一个重要原因就在于过于重视显性的所谓文化存在，而忽视了隐性的数学文化的精髓. 因此，数学文化的有效渗透就成为一个重要的研究课题，对此笔者也进行了不懈的研究.
[?] 数学文化的显性依附
根据一般认识，中学数学课堂上的文化都是依附于数学史或者数学故事而存在的，因此数学史与数学故事常常是数学文化的显性依附，在课堂上提供这一类素材，既可以吸引学生的学习注意力，也可以提高学生对数学知识的理解程度. 以“数列”（人教版高中数学，必修5）的教学为例，笔者搜集了相关的素材，并结合教材所给出的史料，进行教学设计：
首先，创设数学文化的情境：向学生介绍毕达哥拉斯学派的“形数理论”. 此情境创设的重点在于激发学生的认知冲突：一方面，用小石子来表示数是一种“轻而易举”的事情；另一方面，该学派这种表示数的方法当中又蕴涵着重要的数学思想. 有学生在学习中会质疑：用石子表示数是小孩子都会的事情，需要跟我们这种高级知识分子炫耀吗？在笔者看来，学生戏语背后恰恰是笔者所需要的认知冲突. 而这种起点较低但目标较高的数学教学模式，也常常受到学生的喜欢，其最大的益处就是能够在数学学习之初让所有的学生参与进来，这对于关注学生全体是非常有帮助的，尤其是对于高中数学而言，通常都需要通过这种方式来降低教学的起点.
其次，教授“等差数列前n项和”的内容中，向学生介绍高斯计算1 2 3 … 100的故事，这个故事学生耳熟能详，教师需要强调的是其中巧妙的数学转换思想，即将1与100、2与99……联系起来，以让学生看到高斯分析思路的巧妙转换. 事实上，在具体的教学过程中，学生也常常容易为这一故事所吸引，但是对于高中数学教学而言，更需要教师做出努力的是引导学生发现其中的数学思想，并进而引导学生感受数学文化.
再次，在上述两个显性数学史知识呈现的基础上，教师引导学生比较这两种方法，并尝试用“形数”去解决“等差数列前n项和”的问题. 这个时候学生就会发现原来的“简单”认识此时变得不太简单！而当笔者向学生阐明毕达哥拉斯学派就是用形数知识解决了等差数列的前n项和的问题时，学生更是感觉到有一点不可思议，于是他们的思维也就会向前延伸：古人是怎么解决这个问题的呢？
这个问题意识的产生，将本课带入了有效课堂的大门，学生的思维由此活跃了起来. 而数学文化的渗透也从表面走向了实质！
[?] 数学文化的隐性存在
数学文化显然不只是数学故事，数学文化是隐藏在数学史或数学故事背后的数学思想、数学思维与数学视角.因此在上述基础上，教师应当从深层次文化的角度去实施教学，笔者的实践是这样的：
第一步：基于“形数”去寻找求解等差数列前n项和的方法. 在这一步当中，实际上需要一个数形转换，即将高斯思路的纯数学思考，转换成基于表示数的小石子的形的思考，笔者借鉴同行的经验，利用如图1所示的形状来表示等差数列，然后在此基础上对此图进行了引导.
经过引导，学生迅速发现“三角形数”就是一个等差数列，而补上另一个倒置的三角形之后就形成了一个平行四边形，学生就会发现其实这是一个有着n行、（n 1）列的“平行四边形数”，显然总的点数（实际上也就是前n项和）就是n（n 1），那么等差数列的前n项和就呼之欲出了.
在笔者的课堂上，这一发现是由学生自主完成的，学生在完成之后，对于“形数”产生了十分浓厚的兴趣，而数学教学所强调的“数形结合”思想也在此得到了汗畅淋漓的体现.更重要的是，基于数学文化的渗透的教学，到此还没有结束.
第二步：引导学生继续思考，这种数形结合思想的运用，这种“三角形数”与“平行四边形数”在数列知识的求和当中有没有更巧妙的应用？也就是说面对着“等差数列前n项和”的问题解决需要，“形数”能否从另一个角度发挥作用？这一问题实际上是数学文化驱动下的深入思考，而学生在体验了刚才的快乐之后，自然有进一步研究的动力.
实际教学中，笔者跟学生一起研究探讨，而当图2出现在学生的面前时，学生的眼前又是一亮：原来一个形数换用不同的视角去看时，还会有另一个思路出来：如图，总的小石子数是16，而当教师用线隔出小石子之后，学生发现其又可以看做1 3 5 7，很显然，这也是一个等差数列，那么如果是n个小石子组成的正方形矩阵，那总的石子个数与此规律的等差数列就满足1 3 5 7 … 2n-1=n2的关系.
这种关系的自主发现，显然是数学思想驱动的结果，而数学思想从哪里来，就是从基于数学史演变过来的数学事例的分析得来的，笔者以为这是数学文化驱动的结果.
在教学中曾经出现一个细节：当笔者向学生呈现左图时，学生感受到的就是一个由十六个点组成的正方形，而当笔者最后向学生呈现右图时，学生忽然发现原来同样的十六个点却有着不同的理解方式. 而不同的理解方式却意味着不同的数学结果！这是怎么一回事？而当学生在小组讨论中提出这个问题，并经过笔者统一提出后为全班学生所共同感兴趣的话题之后，笔者告诉学生，这一现象某种程度上讲也是数学文化的一部分，因为文化不仅仅是文化故事，更指文化当中蕴涵的思维. 数学家用点、线、面、体来描述这个世界时，就已经意识到了简单的形的变化之后隐含着数的变化，这样的讲解有助于学生在数与形之间建立起恰当的联系.
需要强调的是，“形数”这一概念的背后还包含着更深层次的数学思想，这也是需要向学生传递的. 笔者以为，形数作为一个数学概念，需要让学生认识到的是形与数两个基本概念，形是人类认知世界最基本的载体，数是人类在认识过程中的高度抽象，而这恰恰吻合了数学发展的轨迹. 这种认识是需要向学生传递的，常常被数学符号所困扰的高中学生最容易形成的误区就是：高中数学只是抽象的图形与符号的集合，而事实上数学却是在以至简的语言描述着事物发展的至繁规律，这也应当是高中数学文化中的一个重要理解.
[?] 数学文化的呈现方式
反思上述教学尝试可以发现，高中数学课堂上数学文化要想发挥驱动学生积极思维的作用，就必须坚持数学文化显性与隐性渗透相结合的教学方式，通过显性的数学文化呈现来激活学生的思维，吸引学生的注意力，而隐性的数学文化作用则在于让学生的思维沿着数学史中的数学思路去解决问题，这就相当于给学生提供了一个泳池，可以让学生带着数学方法去游泳，从而形成必需的数学技能与数学素养.
数学文化的呈现方式还影响着学生对数学的理解结果，实践表明，即使是对于高中数学而言，必要的显性教学也是应当的，因为高中阶段的学生的逻辑思维能力固然较强，但对数学文化的理解还处于比较稚嫩的水平，文化并没有真正成为学生数学学习的思维主线，因此显性的文化教学方式，可以让学生以更为明确的态度去感受数学文化的存在. 相比较而言，隐性的文化更多的时候只适用于对学生产生一种潜移默化的作用.
某种程度上讲，对于教学这一特定行为而言，数学文化的呈现方式直接影响着数学文化的效果，高中数学教学中可行的措施就是显性与隐性相结合，以使数学文化可以在两种方式相得益彰的作用下发挥更大效用.