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摘 要：数学是研究在现实世界中空间形式和数量关系的一门学科。数形结合是数学中一种重要的思想方法。其中数与形是矛盾但又统一的两个方面。数是形的抽象和概括；形是数最直观的体现方式。利用数形结合的思想可以深刻揭示数学问题的本质。本文在概述了数形结合定义的基础上，通过实例分析了数形结合在解题中的应用，体现出数形结合在数学中的重要性。
关键词：数形结合；解题；应用
一、数形结合
数形结合是数学解题中常用的思想方法，指的是根据数与形的对应关系，通過数与形的相互转化关系来解决数学问题。利用数形结合的思想，将抽象的数学语言与直观的图形相结合，可以使复杂的数学问题变得直观化、生动化，大大简化了解题的过程。
数形结合主要包括两种情况。第一种情况是“以数解形”，指的就是有些图形比较简单，直接观察时并不能看出其中的规律，这个时候就需要给予图形相应的比值，比如边长等；第二种情况是“以形助数”，指的就是把“数”相对应的形找出来，然后利用形象直观的图形来解答问题，比如利用函数的图像来直观地说明函数的性质。
二、数形结合在解题中的应用
数形结合的思想方法在数学的各个分支中的应用是非常广泛的。接下来我们通过具体的实例来说明数形结合在解题中的应用。
（一）数形结合在解方程方面的应用
数形结合在应用解方程时，首先要根据所给的方程构造出相应的函数；其次根据数的结构特点绘制出相应的函数图像；最后观察图像，利用图像的特点对方程进行解答。数形结合在解方程方面的应用主要体现在以下两种情况。
1.判断方程解的个数
如果给出的方程等号两边是可以作出图像的函数，包括三角函数、指数函数和对数函数等，这时利用数形结合，观察在同一坐标系中两个函数图像的交点个数和交点的情况就可以判断方程解的个数。
例1：解x的方程[x-2=logxa]，其中a>0且a≠1。
一次函数[y=x-2]与对数函数[y=logxa]直接求解其个数难度是比较大的，但是利用数形结合就可以直观地解出答案。先在同一个坐标系内画出两个函数对应的图像，然后根据a的取值情况来确定解的个数。
当0 当a>1时，由图2可以看出两个函数有两个交点，所以原方程有两个解。
2.解方程中参数的取值范围
如果已经知道含有参数方程解的个数，利用数形结合，画出对应的函数图像，之后由形思数，与不等式或者是不等式组相结合，就可以求出参数的取值范围。
例2：关于x的方程x2+2mx+2m=0的两个解都在-1和3之间，求参数m的取值范围。
设f（x）=x2+2mx+2m，如图3所示，其图像与x轴交点的横坐标就是方程的解。由y=f（x）的图像可以知道，想要使x的方程x2+2mx+2m=0的两个解都在-1和3之间，只需要f（-1）>0，f（3）>0，f（-m）<0同时成立，可以求出-1 （二）数形结合在求最值问题方面的应用
最值问题是数学中的一项重要内容，在实际应用中也是十分广泛的。求最值问题的方法很多，有均值不等式、三角函数法和换元法等，但利用数形结合法是很直观的。利用数形结合对最值问题进行求解，就可以将代数中的计算与几何图形的直观描述相互结合，使复杂问题简单化。数形结合在求最值问题中的应用主要包括两个方面。
1.形如m=ax+by函数的最值问题，我们就可以借助直线的截距来求解
例3：假设实数x、y满足x2+y2+8x-6y+16=0，求x+y的最小值。
通过已知条件x2+y2+8x-6y+16=0，可以得到（x+4）2+（y-3）2=9，于是x+y的最小值变成通过圆（x+4）2+（y-3）2=9上的点。令x+y=m，那么y=-x-m，作斜率为-1的平行直线系，那么x+y的最小值就是这些平行直线中纵截距的最小值。
例4：已知x、y满足[x216+y225=1]，求y-3x的最大值与最小值。
令y-3x=m，那么y=3x+m，于是原题就成为在椭圆[x216+y225=1]上求一点，通过这个点的直线斜率是3，并且在y轴上的截距最大或最小。如图4所示，当直线y=3x+m与椭圆[x216+y225=1]相切时，存在最大截距和最小截距。所以由直线y=3x+m与椭圆[x216+y225=1]相结合得出169x2+96mx+16m2-400=0，又有λ=0，得出m=±13，所以y-3x的最大值是13，最小值是-13。
2.形如[y=fx+ag（x）+b]函数的最值问题
我们就可以将最值问题转化为两个点{g（x），f（x）}，（-b，-a）连线斜率的最值来求解。
（三）数形结合在不等式方面的应用
利用数形结合解不等式主要是要根据题设的条件和解题的目的，构造合适的图形，用图形与图形之间的关系来说明数与数之间的关系。有些题型是具有很明显的特征，具有这种特征的不等式用数形结合是较简便的。
第一种是不等式两边的表达式不能转化成熟悉的形式，一般是结合指数和对数的形式，然后与一次函数或者是二次函数做比较。遇到这类题型，首先要确定做哪些函数的图像，再写出这些函数的表达式，将等式两边的函数，左边部分写成y=f（x），右边部分写成y=g（x）；接着做出y=f（x）与y=g（x）的图像；最后根据给出的条件判断不等式的解集。总的要求就是f（x）的图像在g（x）上方时x的取值范围。
例5：解不等式[x+2>x]。
设y=f（x）=[x+2]，y=g（x）=x，那么不等式[x+2>x]的解集就是使y=f（x）=[x+2]的图像在y=g（x）=x上方的那段对应的横坐标，如图5所示，不等式的解集是{xIxA≤x≤xB}，xB从[x+2]=x得到xB=2，xA=-2，所以不等式[x+2>x]的解集是{xI-2≤x≤2}。
第二种是通过不等式组就可以求出x和y的取值范围。遇到这类题型，首先是由已知的不等式求出x和y所在的区域；其次是要把要求的表达式转化成y=f（x）的形式，将所求的量看成一个参数，在这个区域内做出y=f（x）的图像；最后是求出这个参数的最值。
三、总结
利用数形结合可以解决方程方面、最值问题和不等式方面等问题，因此数形结合的思想方法在数学中有着举足轻重的地位。数形结合将抽象的数学问题变得直观、具体，让人们更容易发现解题的途径，所以灵活掌握和运用数形结合是非常必要的。
参考文献
[1]黄兆嵩，张蕴禄.数形结合解题[J].中学生数学，2011（01）.
[2]杨云显，梦艳双.直线和椭圆相交状态下的一个通用性质[J].中国数学教育，2012（6）：21-22.
关键词：数形结合；解题；应用
一、数形结合
数形结合是数学解题中常用的思想方法，指的是根据数与形的对应关系，通過数与形的相互转化关系来解决数学问题。利用数形结合的思想，将抽象的数学语言与直观的图形相结合，可以使复杂的数学问题变得直观化、生动化，大大简化了解题的过程。
数形结合主要包括两种情况。第一种情况是“以数解形”，指的就是有些图形比较简单，直接观察时并不能看出其中的规律，这个时候就需要给予图形相应的比值，比如边长等；第二种情况是“以形助数”，指的就是把“数”相对应的形找出来，然后利用形象直观的图形来解答问题，比如利用函数的图像来直观地说明函数的性质。
二、数形结合在解题中的应用
数形结合的思想方法在数学的各个分支中的应用是非常广泛的。接下来我们通过具体的实例来说明数形结合在解题中的应用。
（一）数形结合在解方程方面的应用
数形结合在应用解方程时，首先要根据所给的方程构造出相应的函数；其次根据数的结构特点绘制出相应的函数图像；最后观察图像，利用图像的特点对方程进行解答。数形结合在解方程方面的应用主要体现在以下两种情况。
1.判断方程解的个数
如果给出的方程等号两边是可以作出图像的函数，包括三角函数、指数函数和对数函数等，这时利用数形结合，观察在同一坐标系中两个函数图像的交点个数和交点的情况就可以判断方程解的个数。
例1：解x的方程[x-2=logxa]，其中a>0且a≠1。
一次函数[y=x-2]与对数函数[y=logxa]直接求解其个数难度是比较大的，但是利用数形结合就可以直观地解出答案。先在同一个坐标系内画出两个函数对应的图像，然后根据a的取值情况来确定解的个数。
当0
2.解方程中参数的取值范围
如果已经知道含有参数方程解的个数，利用数形结合，画出对应的函数图像，之后由形思数，与不等式或者是不等式组相结合，就可以求出参数的取值范围。
例2：关于x的方程x2+2mx+2m=0的两个解都在-1和3之间，求参数m的取值范围。
设f（x）=x2+2mx+2m，如图3所示，其图像与x轴交点的横坐标就是方程的解。由y=f（x）的图像可以知道，想要使x的方程x2+2mx+2m=0的两个解都在-1和3之间，只需要f（-1）>0，f（3）>0，f（-m）<0同时成立，可以求出-1
最值问题是数学中的一项重要内容，在实际应用中也是十分广泛的。求最值问题的方法很多，有均值不等式、三角函数法和换元法等，但利用数形结合法是很直观的。利用数形结合对最值问题进行求解，就可以将代数中的计算与几何图形的直观描述相互结合，使复杂问题简单化。数形结合在求最值问题中的应用主要包括两个方面。
1.形如m=ax+by函数的最值问题，我们就可以借助直线的截距来求解
例3：假设实数x、y满足x2+y2+8x-6y+16=0，求x+y的最小值。
通过已知条件x2+y2+8x-6y+16=0，可以得到（x+4）2+（y-3）2=9，于是x+y的最小值变成通过圆（x+4）2+（y-3）2=9上的点。令x+y=m，那么y=-x-m，作斜率为-1的平行直线系，那么x+y的最小值就是这些平行直线中纵截距的最小值。
例4：已知x、y满足[x216+y225=1]，求y-3x的最大值与最小值。
令y-3x=m，那么y=3x+m，于是原题就成为在椭圆[x216+y225=1]上求一点，通过这个点的直线斜率是3，并且在y轴上的截距最大或最小。如图4所示，当直线y=3x+m与椭圆[x216+y225=1]相切时，存在最大截距和最小截距。所以由直线y=3x+m与椭圆[x216+y225=1]相结合得出169x2+96mx+16m2-400=0，又有λ=0，得出m=±13，所以y-3x的最大值是13，最小值是-13。
2.形如[y=fx+ag（x）+b]函数的最值问题
我们就可以将最值问题转化为两个点{g（x），f（x）}，（-b，-a）连线斜率的最值来求解。
（三）数形结合在不等式方面的应用
利用数形结合解不等式主要是要根据题设的条件和解题的目的，构造合适的图形，用图形与图形之间的关系来说明数与数之间的关系。有些题型是具有很明显的特征，具有这种特征的不等式用数形结合是较简便的。
第一种是不等式两边的表达式不能转化成熟悉的形式，一般是结合指数和对数的形式，然后与一次函数或者是二次函数做比较。遇到这类题型，首先要确定做哪些函数的图像，再写出这些函数的表达式，将等式两边的函数，左边部分写成y=f（x），右边部分写成y=g（x）；接着做出y=f（x）与y=g（x）的图像；最后根据给出的条件判断不等式的解集。总的要求就是f（x）的图像在g（x）上方时x的取值范围。
例5：解不等式[x+2>x]。
设y=f（x）=[x+2]，y=g（x）=x，那么不等式[x+2>x]的解集就是使y=f（x）=[x+2]的图像在y=g（x）=x上方的那段对应的横坐标，如图5所示，不等式的解集是{xIxA≤x≤xB}，xB从[x+2]=x得到xB=2，xA=-2，所以不等式[x+2>x]的解集是{xI-2≤x≤2}。
第二种是通过不等式组就可以求出x和y的取值范围。遇到这类题型，首先是由已知的不等式求出x和y所在的区域；其次是要把要求的表达式转化成y=f（x）的形式，将所求的量看成一个参数，在这个区域内做出y=f（x）的图像；最后是求出这个参数的最值。
三、总结
利用数形结合可以解决方程方面、最值问题和不等式方面等问题，因此数形结合的思想方法在数学中有着举足轻重的地位。数形结合将抽象的数学问题变得直观、具体，让人们更容易发现解题的途径，所以灵活掌握和运用数形结合是非常必要的。
参考文献
[1]黄兆嵩，张蕴禄.数形结合解题[J].中学生数学，2011（01）.
[2]杨云显，梦艳双.直线和椭圆相交状态下的一个通用性质[J].中国数学教育，2012（6）：21-22.