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数学课堂教学的有效性，是以发展性教学目标为引领，遵循学生学习数学的认知规律和心理规律，充分发挥学生学习数学的主体作用，通过预设与动态生成的课堂教学活动，让学生在认知上，从不懂到懂，从少知到多知，从不会到会；在情感上，从不感兴趣到感兴趣，从不喜欢到喜欢。使学生在知识技能、思维能力和情感态度等方面得到进步和发展。提升数学课堂教学的有效性要做到“四个统一”。
一、用发展引领目标，促进“三维目标”的和谐统一
当前，一些教师在实施新课程中由于认识上的偏差，在教学中出现了将“三维目标”割裂的现象。主要表现为：一是“游离”于知识与技能之外的过程与方法，为活动而活动；二是进行“贴标签”的情感态度和价值观的教育；三是只关注知识的讲授和技能的训练，而忽视了学习过程中情感态度的培养。这样的教学背离了新课程“三维目标”的内涵，其教学是低效的，在一定程度上阻碍了学生的发展。
教学目标是教学的出发点，也是教学的归宿。教学目标三个维度的关系如同立方体长、宽、高三个维度的关系一样，是一个事物的三个方面，而不是独立的三个目标。三维目标是知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的有机整合。因此，深刻领会“三维目标”的内涵，促进“三维目标”的和谐统一，这是提升课堂教学有效性的前提。一方面，教师在设计教学方案时，要用引领性教学目标，在认真分析学生和客观分析教材的基础上，制订出切实可行的教学目标；另一方面，要将制订的教学目标落实到课堂教学中。例如，教学“平行四边形的面积计算”一课，其内容包括平行四边形面积计算公式的推导及其应用，教师在钻研教材、设计教学时，不仅要关注教学内容的知识技能目标，更要关注教材中蕴涵着丰富的发展性教学目标，即要让学生在现实情境中比较长方形和平行四边形两块花圃的面积大小，提出数学问题，产生解决问题的需要；在推导面积计算公式时，要让学生在教师的引导下经历知识的“再发现”、“再创造”过程，感受“转化”的数学思想方法，并获得探索成功的情感体验。因此，“平行四边形的面积计算”一课的教学目标可确定为：1.使学生通过探索，理解和掌握平行四边形的面积计算公式，会计算平行四边形的面积；2.通过操作、观察、比较活动，初步认识转化的方法，培养学生的观察、分析、概括、推理能力，发展学生的空间观念；3.通过学习活动，使学生感受数学思想方法，获得学习成功的体验，增强学好数学的自信心。这样的教学目标体现了三维目标的整合。那么又如何将教学目标落实到课堂教学中呢？教师应该根据三维目标去组织教学内容，选择教学方法，设计教学过程，使一切教学活动紧紧围绕教学目标的实现去展开：
（1）猜一猜，长方形和平行四边形两块花圃，哪块面积大？
（2）数一数，方格纸上的长方形和平行四边形的面积各是多少？
（3）想一想，不数方格，如何计算平行四边形的面积？
（4）剪一剪，拼一拼。让学生通过剪、移、拼等操作活动，将平行四边形转化为长方形，同时明确“沿高剪”的必要性、重要性。
（5）分析比较，推导公式。比较、分析剪拼前后“底”、“高”、“面积”的变化，让学生感悟平移和转化的数学思想方法，推导出平行四边形面积的计算公式。
（6）巩固应用，发展能力。设计形式多样的练习，让学生自主解决问题，感受、体验学习成功的愉悦。
这一教学过程诠释了《数学课程标准（实验稿）》提出的“数学思考、解决问题、情感态度的发展离不开知识与技能的学习，同时，知识与技能的学习必须以有利于其他目标的实现为前提”这一和谐统一的整体目标理念。这样的课堂教学不仅有效，而且达到了高效。
二、用动态演绎精彩，促进预设与生成的和谐统一
目前，一些数学课堂教学出现了两种不和谐的现象：一是预设过度，挤占生成的时空。从表面上看，这些课堂教学有条不紊、井然有序，实质上还是传统的以教为中心、以知识为本位的教学观的体现，这种教学由于缺乏学生的独立思考、积极互动和个性化学习，学生获得的知识总是缺乏活性，很难转化、内化为学生的智慧和思维品质。因而这种预设过度的教学也是低效的教学。二是生成过多，使教学失控。一些课堂教学由于生成过多，使教学失去了中心、失去了方向，影响了预设目标的实现，导致课堂教学效率低下，背离了生成的目的。
预设和生成是课堂教学中的矛盾统一体，预设体现教学的计划性，生成体现教学的动态性，两者具有互补性。课堂教学既需要预设，也需要生成。没有预设的课堂是不负责任的课堂，而没有生成的课堂是不精彩的课堂。一个高效而灵动的课堂，必然是预设与生成的和谐统一，预设中孕育着生成，生成丰富着预设。因此，在教学中既要注重高水平的预设，又要注重有价值的动态生成，从而实现预设与生成的和谐统一。例如，一位教师在教学“9的乘法口诀”时，教案设计的流程是：创设“几个9是多少”的问题情境——想想“几个9连加”——写出“9的乘法算式”——编写“9的乘法口诀”。没有想到课刚开始，一个学生就站起来说：“老师，9的乘法口诀我会背了。”许多学生都附和着说自己也会背了。教师先是一愣，继而立马做出了决定，抛弃原来精心准备的教案，从学生的这一实际情况出发，重新调整教学流程。于是，教师用激励性的语言说：“你们真厉害，9的乘法口诀还没有教就会背了，还有不会背的吗？”果然，有几只小手怯生生地举了起来，教师继续启发学生：“还有一些小朋友不会，你们愿意帮帮他们吗？你打算用什么方法让他们把9的乘法口诀记得又快又牢呢？”课堂顿时沸腾起来。有的指着课本上的口诀教着，有的用笔在练习本上一边写算式一边编口诀教着，还有的干脆你一句我一句教着背口诀……学生会背口诀不一定就理解了口诀的来源和含义，于是教师又将9的乘法口诀有序地板书在黑板上，让学生说说每句口诀是怎么得来的，每句口诀中的每个数字表示什么，引导学生理解口诀的含义。这一教学过程，遵循学生的认知起点，真心呵护学情，因动态生成而演绎精彩，学生的学习热情高涨。试想，假如教师在那位学生说出实话时不予理睬，或加以呵斥；假如教师的教学流程没有因此而“改变”，这一精彩的“动态生成”又如何捕捉得到呢？课堂上又怎么会有如此收获呢？由此可以得出，把握预设与生成的和谐统一是提升课堂教学有效性的重要举措。
三、用体验造就建构，促进感性与理性的和谐统一
眼下，诸如“有活动无体验，有经验无感悟，活动了身体而休息了大脑”的数学课堂教学并不少见。一些教师将数学课程标准中“数学教学是数学活动的教学”片面理解成“数学教学是活动的教学”，甚至认为数学课上的活动越多越好，将数学活动等同于一般的活动，片面追求课堂教学的“活动化”，导致学生在课堂上缺少数学思考，缺少认知建构，缺乏理性提升，最终导致课堂教学低效化，甚至毫无效益。
常言道：“数学是思维的体操。”数学思维是数学活动的灵魂，数学课堂所追求的活跃必然是数学思维的活跃，而非肢体的简单活动。因此，学习数学要以“感性活动、体验”为必要手段，以“理性思考、建构”为终极目标。在数学教学中，教师应设法拓宽“感性”通道，丰富“体验”过程，适时构筑“理性”空间，促进“建构”内化，实现感性与理性的和谐统一。例如，一位教师在教学“长方形周长的计算”时，先让学生测量出课前准备好的长方形卡片的长和宽，再让学生探索长方形周长的计算方法，最后让学生比较三种计算长方形周长的方法中哪种最简便？乍看这一教学过程是以学生实践活动为载体，学生通过测量、实践等方式探索长方形周长的计算方法，充分体现了“数学教学是数学活动的教学”的理念，似乎无懈可击。殊不知，这一过程学生只是为推导长方形周长计算公式而进行的，对于“为什么要学习长方形周长的计算”，“为什么要测量长方形的长与宽”这些需要学生思考的问题，却不知其所以然，忽略了将实际问题提炼成数学问题的数学化过程，失去了数学问题“再发现”、“再创造”的机会，在学生的脑海里缺乏理性提升。为了让学生感受数学问题的生成，经历将实际问题抽象成数学模型的过程，体验从感性认识上升到理性认识，实现知识建构，可将上述教学过程作如下改进设计：（1）猜一猜，现在教师提供了三种长度不同的彩带（分别标出长度），如果给一个长方形贺卡镶上花边，应该选择哪种长度的彩带最节省？（2）议一议，要准确确定、选择彩带的长度，要研究哪些问题？要收集哪些数据？（3）想一想，怎样计算长方形贺卡的周长？（4）做一做，计算长方形贺卡的周长有哪些方法？这样，不仅为学生提供了现实生活素材，体现了数学来源于生活，而且让学生经历了数学知识的发生、发展和形成过程，同时还渗透了数学学习与研究的思想方法，突出学生的数学思考，实现了由感性认识到理性认识的提升，达到了较好的教学效果。
四、用引导助推探究，促进主导与主体的和谐统一
时下，教师们都比较重视让学生自主探究学习，但一些教师在认识上和教学行为上却出现了偏差。如自主探究变
成了放任自流，课堂上学生充当的是表面的、甚至是虚假的主体性，教师失去了应有的针对性引导、点拨和具体帮助。再如自主探究有形式无实质，学生往往只是机械地、按部就班地经历探究过程的程序和步骤，缺乏好奇心的驱使和思维的探求以及批判性的质疑，从而导致探究的形式化和机械化。这样的探究性学习，其效果不言而喻。
教师和学生是有情感、有思维的教与学的统一体。主导和主体是课堂教学中的矛盾统一体。只有充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，才能促进主导和主体的和谐统一，才能达到教与学的和谐统一。因此，在教学中教师要让学生真正成为学习的主人，充分调动学生学习的积极性和主动性，善于在知识的疑难之处给予启发、点拨，在思维受阻之时给予疏通、开导，用引导助推探究，促进主导和主体的和谐统一。例如，一位教师在教学“三角形的内角和”时，先让学生用量角的方法算出三角形的内角和，学生发现计算的结果不一样。这时教师继续启发学生进一步探究：“那么，三角形的内角和到底是多少度呢？现在就发挥大家的聪明才智，利用手中的长方形、三角形纸片，自主探究三角形的内角和是多少度。”同学们个个情绪高涨，跃跃欲试。有的继续用量角的方法来验证，用量角器分别测量出三角形三个内角的度数，然后把它们加起来，得到的内角和有些是180°，有些接近180°；有的学生用长方形来证明，因为长方形的四个角都是直角，它的内角和是360°，将长方形沿对角线剪开，就得到两个完全一样的三角形，所以三角形的内角和是360°÷2=180°；还有的学生把三角形的三个角剪下，拼成一个平角，得到三角形的内角和是180°；还有的学生直接把三角形的三个角折成一个平角，同样得到三角形的内角和是180°。在此基础上，教师引导学生归纳，得出：“三角形的内角和是180°。”为了巩固所学知识，进一步拓展学生的思维，教师又深入挖掘，提出富有挑战性的问题：“如果把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和又是多少度呢？”“如果将四个完全一样的小三角形拼成一个大三角形，这个大三角形的内角和又是多少度呢？”再一次打破学生的认知平衡，激活学生的思维，通过引导学生动手操作、验证，最后总结概括出：“无论三角形的大小、形状、位置如何变化，其内角和总是180°。”也就是说，“任何三角形的内角和都是180°”。在这一过程中，由于教师巧妙运用了点拨、启发，用引导助推学生主动探究，促使每一个学生积极主动地不断寻求解决问题的策略，不断经历数学知识的“再发现”、“再创造”过程，进行创造性学习，实现了主导和主体的和谐统一，达到了课堂教学的高效、优质。
作者单位
福建省上杭县教师进修学校
◇责任编辑：曹文◇
一、用发展引领目标，促进“三维目标”的和谐统一
当前，一些教师在实施新课程中由于认识上的偏差，在教学中出现了将“三维目标”割裂的现象。主要表现为：一是“游离”于知识与技能之外的过程与方法，为活动而活动；二是进行“贴标签”的情感态度和价值观的教育；三是只关注知识的讲授和技能的训练，而忽视了学习过程中情感态度的培养。这样的教学背离了新课程“三维目标”的内涵，其教学是低效的，在一定程度上阻碍了学生的发展。
教学目标是教学的出发点，也是教学的归宿。教学目标三个维度的关系如同立方体长、宽、高三个维度的关系一样，是一个事物的三个方面，而不是独立的三个目标。三维目标是知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的有机整合。因此，深刻领会“三维目标”的内涵，促进“三维目标”的和谐统一，这是提升课堂教学有效性的前提。一方面，教师在设计教学方案时，要用引领性教学目标，在认真分析学生和客观分析教材的基础上，制订出切实可行的教学目标；另一方面，要将制订的教学目标落实到课堂教学中。例如，教学“平行四边形的面积计算”一课，其内容包括平行四边形面积计算公式的推导及其应用，教师在钻研教材、设计教学时，不仅要关注教学内容的知识技能目标，更要关注教材中蕴涵着丰富的发展性教学目标，即要让学生在现实情境中比较长方形和平行四边形两块花圃的面积大小，提出数学问题，产生解决问题的需要；在推导面积计算公式时，要让学生在教师的引导下经历知识的“再发现”、“再创造”过程，感受“转化”的数学思想方法，并获得探索成功的情感体验。因此，“平行四边形的面积计算”一课的教学目标可确定为：1.使学生通过探索，理解和掌握平行四边形的面积计算公式，会计算平行四边形的面积；2.通过操作、观察、比较活动，初步认识转化的方法，培养学生的观察、分析、概括、推理能力，发展学生的空间观念；3.通过学习活动，使学生感受数学思想方法，获得学习成功的体验，增强学好数学的自信心。这样的教学目标体现了三维目标的整合。那么又如何将教学目标落实到课堂教学中呢？教师应该根据三维目标去组织教学内容，选择教学方法，设计教学过程，使一切教学活动紧紧围绕教学目标的实现去展开：
（1）猜一猜，长方形和平行四边形两块花圃，哪块面积大？
（2）数一数，方格纸上的长方形和平行四边形的面积各是多少？
（3）想一想，不数方格，如何计算平行四边形的面积？
（4）剪一剪，拼一拼。让学生通过剪、移、拼等操作活动，将平行四边形转化为长方形，同时明确“沿高剪”的必要性、重要性。
（5）分析比较，推导公式。比较、分析剪拼前后“底”、“高”、“面积”的变化，让学生感悟平移和转化的数学思想方法，推导出平行四边形面积的计算公式。
（6）巩固应用，发展能力。设计形式多样的练习，让学生自主解决问题，感受、体验学习成功的愉悦。
这一教学过程诠释了《数学课程标准（实验稿）》提出的“数学思考、解决问题、情感态度的发展离不开知识与技能的学习，同时，知识与技能的学习必须以有利于其他目标的实现为前提”这一和谐统一的整体目标理念。这样的课堂教学不仅有效，而且达到了高效。
二、用动态演绎精彩，促进预设与生成的和谐统一
目前，一些数学课堂教学出现了两种不和谐的现象：一是预设过度，挤占生成的时空。从表面上看，这些课堂教学有条不紊、井然有序，实质上还是传统的以教为中心、以知识为本位的教学观的体现，这种教学由于缺乏学生的独立思考、积极互动和个性化学习，学生获得的知识总是缺乏活性，很难转化、内化为学生的智慧和思维品质。因而这种预设过度的教学也是低效的教学。二是生成过多，使教学失控。一些课堂教学由于生成过多，使教学失去了中心、失去了方向，影响了预设目标的实现，导致课堂教学效率低下，背离了生成的目的。
预设和生成是课堂教学中的矛盾统一体，预设体现教学的计划性，生成体现教学的动态性，两者具有互补性。课堂教学既需要预设，也需要生成。没有预设的课堂是不负责任的课堂，而没有生成的课堂是不精彩的课堂。一个高效而灵动的课堂，必然是预设与生成的和谐统一，预设中孕育着生成，生成丰富着预设。因此，在教学中既要注重高水平的预设，又要注重有价值的动态生成，从而实现预设与生成的和谐统一。例如，一位教师在教学“9的乘法口诀”时，教案设计的流程是：创设“几个9是多少”的问题情境——想想“几个9连加”——写出“9的乘法算式”——编写“9的乘法口诀”。没有想到课刚开始，一个学生就站起来说：“老师，9的乘法口诀我会背了。”许多学生都附和着说自己也会背了。教师先是一愣，继而立马做出了决定，抛弃原来精心准备的教案，从学生的这一实际情况出发，重新调整教学流程。于是，教师用激励性的语言说：“你们真厉害，9的乘法口诀还没有教就会背了，还有不会背的吗？”果然，有几只小手怯生生地举了起来，教师继续启发学生：“还有一些小朋友不会，你们愿意帮帮他们吗？你打算用什么方法让他们把9的乘法口诀记得又快又牢呢？”课堂顿时沸腾起来。有的指着课本上的口诀教着，有的用笔在练习本上一边写算式一边编口诀教着，还有的干脆你一句我一句教着背口诀……学生会背口诀不一定就理解了口诀的来源和含义，于是教师又将9的乘法口诀有序地板书在黑板上，让学生说说每句口诀是怎么得来的，每句口诀中的每个数字表示什么，引导学生理解口诀的含义。这一教学过程，遵循学生的认知起点，真心呵护学情，因动态生成而演绎精彩，学生的学习热情高涨。试想，假如教师在那位学生说出实话时不予理睬，或加以呵斥；假如教师的教学流程没有因此而“改变”，这一精彩的“动态生成”又如何捕捉得到呢？课堂上又怎么会有如此收获呢？由此可以得出，把握预设与生成的和谐统一是提升课堂教学有效性的重要举措。
三、用体验造就建构，促进感性与理性的和谐统一
眼下，诸如“有活动无体验，有经验无感悟，活动了身体而休息了大脑”的数学课堂教学并不少见。一些教师将数学课程标准中“数学教学是数学活动的教学”片面理解成“数学教学是活动的教学”，甚至认为数学课上的活动越多越好，将数学活动等同于一般的活动，片面追求课堂教学的“活动化”，导致学生在课堂上缺少数学思考，缺少认知建构，缺乏理性提升，最终导致课堂教学低效化，甚至毫无效益。
常言道：“数学是思维的体操。”数学思维是数学活动的灵魂，数学课堂所追求的活跃必然是数学思维的活跃，而非肢体的简单活动。因此，学习数学要以“感性活动、体验”为必要手段，以“理性思考、建构”为终极目标。在数学教学中，教师应设法拓宽“感性”通道，丰富“体验”过程，适时构筑“理性”空间，促进“建构”内化，实现感性与理性的和谐统一。例如，一位教师在教学“长方形周长的计算”时，先让学生测量出课前准备好的长方形卡片的长和宽，再让学生探索长方形周长的计算方法，最后让学生比较三种计算长方形周长的方法中哪种最简便？乍看这一教学过程是以学生实践活动为载体，学生通过测量、实践等方式探索长方形周长的计算方法，充分体现了“数学教学是数学活动的教学”的理念，似乎无懈可击。殊不知，这一过程学生只是为推导长方形周长计算公式而进行的，对于“为什么要学习长方形周长的计算”，“为什么要测量长方形的长与宽”这些需要学生思考的问题，却不知其所以然，忽略了将实际问题提炼成数学问题的数学化过程，失去了数学问题“再发现”、“再创造”的机会，在学生的脑海里缺乏理性提升。为了让学生感受数学问题的生成，经历将实际问题抽象成数学模型的过程，体验从感性认识上升到理性认识，实现知识建构，可将上述教学过程作如下改进设计：（1）猜一猜，现在教师提供了三种长度不同的彩带（分别标出长度），如果给一个长方形贺卡镶上花边，应该选择哪种长度的彩带最节省？（2）议一议，要准确确定、选择彩带的长度，要研究哪些问题？要收集哪些数据？（3）想一想，怎样计算长方形贺卡的周长？（4）做一做，计算长方形贺卡的周长有哪些方法？这样，不仅为学生提供了现实生活素材，体现了数学来源于生活，而且让学生经历了数学知识的发生、发展和形成过程，同时还渗透了数学学习与研究的思想方法，突出学生的数学思考，实现了由感性认识到理性认识的提升，达到了较好的教学效果。
四、用引导助推探究，促进主导与主体的和谐统一
时下，教师们都比较重视让学生自主探究学习，但一些教师在认识上和教学行为上却出现了偏差。如自主探究变
成了放任自流，课堂上学生充当的是表面的、甚至是虚假的主体性，教师失去了应有的针对性引导、点拨和具体帮助。再如自主探究有形式无实质，学生往往只是机械地、按部就班地经历探究过程的程序和步骤，缺乏好奇心的驱使和思维的探求以及批判性的质疑，从而导致探究的形式化和机械化。这样的探究性学习，其效果不言而喻。
教师和学生是有情感、有思维的教与学的统一体。主导和主体是课堂教学中的矛盾统一体。只有充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，才能促进主导和主体的和谐统一，才能达到教与学的和谐统一。因此，在教学中教师要让学生真正成为学习的主人，充分调动学生学习的积极性和主动性，善于在知识的疑难之处给予启发、点拨，在思维受阻之时给予疏通、开导，用引导助推探究，促进主导和主体的和谐统一。例如，一位教师在教学“三角形的内角和”时，先让学生用量角的方法算出三角形的内角和，学生发现计算的结果不一样。这时教师继续启发学生进一步探究：“那么，三角形的内角和到底是多少度呢？现在就发挥大家的聪明才智，利用手中的长方形、三角形纸片，自主探究三角形的内角和是多少度。”同学们个个情绪高涨，跃跃欲试。有的继续用量角的方法来验证，用量角器分别测量出三角形三个内角的度数，然后把它们加起来，得到的内角和有些是180°，有些接近180°；有的学生用长方形来证明，因为长方形的四个角都是直角，它的内角和是360°，将长方形沿对角线剪开，就得到两个完全一样的三角形，所以三角形的内角和是360°÷2=180°；还有的学生把三角形的三个角剪下，拼成一个平角，得到三角形的内角和是180°；还有的学生直接把三角形的三个角折成一个平角，同样得到三角形的内角和是180°。在此基础上，教师引导学生归纳，得出：“三角形的内角和是180°。”为了巩固所学知识，进一步拓展学生的思维，教师又深入挖掘，提出富有挑战性的问题：“如果把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和又是多少度呢？”“如果将四个完全一样的小三角形拼成一个大三角形，这个大三角形的内角和又是多少度呢？”再一次打破学生的认知平衡，激活学生的思维，通过引导学生动手操作、验证，最后总结概括出：“无论三角形的大小、形状、位置如何变化，其内角和总是180°。”也就是说，“任何三角形的内角和都是180°”。在这一过程中，由于教师巧妙运用了点拨、启发，用引导助推学生主动探究，促使每一个学生积极主动地不断寻求解决问题的策略，不断经历数学知识的“再发现”、“再创造”过程，进行创造性学习，实现了主导和主体的和谐统一，达到了课堂教学的高效、优质。
作者单位
福建省上杭县教师进修学校
◇责任编辑：曹文◇