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【摘要】以一元二次方程章节复习的设计为例，介绍“点线式”复习课教学.“点线式”教学即抓住某个知识要点，设计出典型的问题线，把分散在各处的点状知识，按某一知识线，将其整合成一个关联的有机面，让知识“内熔”化、结构化、系统化.通过系列问题的解决，重在重新建构知识体系，做到在教学中“提供情境，提出问题，提取方法，提炼思想，从而达到提升能力”这一要求.
【关键词】点线教学；体系重构
近期，与几位专家参与了一次江苏省教研室举办的“教学新时空·名师课堂”的教学研讨活动，对复习课的课堂教学模式进行深入的研讨，研讨中笔者针对一元二次方程章节复习（第一课时）交流了自己的教学流程与设计思路，现整理后与同仁们分享.
一、教学目标
1.通过系列问题的解决，复习一元二次方程的定义、解法、根的判别式及根与系数关系等相关知识.
2.在问题解决中，引导学生重构知识体系，培养学生分析问题、解决问题的能力.
二、教学重点、难点
重点：通过k值的不同位置的变化，引导学生重新构建一元二次方程的知识体系.
难点：针对k值的位置变化，学习分类讨论解决问题的方法.
三、教学过程
环节1：复习一元二次方程的解法
问题1：当k为何值时，方程x2-kx 4=0有两个相等的实数根？
生1：要使一元二次方程有两个相等的实数根，必须满足根的判别式Δ=0，即k2-4×1×4=0，解得k=±4.
师：求k值的过程中，你是采用什么方法求k的值？
生1：采用直接开平方法解一元二次方程.
变式：当k为何值时，方程x2-（k-1）x 4=0有两个相等的实数根？
生2：Δ=0，即（k-1）2-16=0，解得k1=5，k2=-3.
师：采用什么方法求k的值？
生2：采用直接开平方法.
师：你还能使用什么方法解这个方程？
生2：我还可以换个角度思考问题，用因式分解法解这个方程，利用平方差公式解之.
师：方程（k-1）2-16=0的一般形式是什么？
生3：方程的一般形式为k2-2k-15=0.
师：对于一元二次方程k2-2k-15=0，你们还可以用什么方法来解？
生3：还可以用配方法和公式法来解这个方程.
师：下面请两位同学分别在黑板上用配方法和公式法来解这个方程，其他同学在座位上完成.
【设计意图】通过“当k为何值时，方程x2-kx 4=0有两个相等的实数根？”引出研究话题，入口浅，起步低，此时字母k在一次项系数的位置上.以（k-1）2-16=0为例复习一元二次方程的四种不同的解法，在复习中让学生体验到四种解法既有区别又有联系，根据方程的特征灵活选用适当的方法，可以使求解过程更加简便.明确解一元二次方程的基本思路是把它转化为解一元一次方程，转化的实质是“降次”.
环节2：复习根的判别式，方程的解及根与系数的关系
问题2：当k为何值时，方程x2-4x k=0.
（1）有两个相等的实数根；
（2）有两个不相等的实数根；
（3）有一个根为3；
（4）有一个根为2 3；
（5）两根之比为1：2.
生4：有两个相等的实数根，须满足Δ=0，即42-4×1×k=0，解得k=4.
生5：有两个不相等的实数根，须满足Δ>0，即42-4×1×k>0，解得k<4.
生6：有一根为3，说明x=3是方程的解，只需把x=3代入原方程即可，解得k=3.
生7：有一根为2 3，可以将x=2 3代入原方程，解得k=1.
师：将x=2 3代入原方程，比较麻烦.你们还有没有其他的解法？
生8：可以利用根与系数的关系求解.设方程的另一个根为x2，因为二次项的系数为1，则有2 3 x2=4，x2=2-3，k=（2 3）（2-3）=1.
生9：对于两根之比为1：2，不妨设这两根分别为m、2m，因为二次项的系数为1，利用根与系数的关系，则有m 2m=4，m=4[]3，k=4[]3×8[]3=32[]9.
【設计意图】在这组问题中，字母k的位置由一次项移到常数项上，通过这组问题的复习，将与方程的根有关的知识进行整合，引导学生学会从不同的角度、不同的形式来研究方程的根.其中（4）采用两种不同的解法，让学生体验到利用根与系数关系求解较为简捷.
环节3：复习方程解的个数
问题3：当k为何值时，方程kx2-4x 1=0.
（1）有两个相等的实数根；
（2）有两个不相等的实数根；
（3）有实数根.
生10：有两个相等的实数根，须满足Δ=0，即42-4×k×1=0，解得k=4.
生11：有两个不相等的实数根，须满足Δ>0，即42-4×k×1>0，解得k<4.
师：其他同学有没有不同意见？
生12：这道题目中字母k移为二次项系数，必须注意二次项系数不能为0，否则它是一元一次方程，只有一个实数根.正确答案应为k<4且k≠0.
生13：方程有实数根时，k应为k≤4且k≠0.
师：有实数根与有两个实数根是同一概念吗？
生13：噢，不一样，当k=0时，它是一元一次方程，也是有实数根，故答案应为k≤4.
【设计意图】仍然以“当k为何值时，方程有两个相等的实数根”为话题，但此时字母k由常数项移至二次项系数，通过辨析，要注意二次项的系数是否为0的情况，同样，“有实数根”与“有两个实数根”也不是同一种情况，“有实数根”中的根可以有两个也可以只有一个，即方程可以为一元二次方程，也可以为一元一次方程，这是学生容易出错的地方. 环节4：讨论方程根的情况
问题4：讨论：一元二次方程xk-4x 2=0的根的情况.
生14：因为方程为一元二次方程，所以k的值只能为2，当k=2时，Δ=42-4×1×2=8>0，方程有两个不相等的实数根.
变式1：讨论：一元二次方程xk-4x 2k=0的根的情况.
生15：因为方程为一元二次方程，所以k的值只能为2，当k=2时，原方程为x2-4x 4=0，Δ=42-4×1×2×2=0，方程有两个相等的实数根.
变式2：讨论：一元二次方程xk-2x 4k=0的根的情况.
生16：因为方程为一元二次方程，所以k的值只能为2，当k=2时，原方程为x2-2x 8=0，Δ=22-4×1×4×2=-28<0，方程没有实数根.
【设计意图】在这组问题中，通过字母k的位置先是移到指数上，再添加到常数项上，同时数字系数的不同变化，增加了问题的难度，由简单变复杂，由浅入深，思维量逐步加强，思考问题的维度越来越多.
五、设计说明
1.问题提出
一般情况下，章节复习通常是先简单梳理一下本章的知识点，如本章主要学习了一元二次方程的定义、解法、根的判别式、根与系数的关系及一元二次方程的应用，然后通过一些典型例题的讲解，引导学生回顾旧知，查漏补缺.多数学生认为都是自己学过的知识，学得缺乏激情，没有挑战性，像是“吃剩饭”，枯躁无味，流于应付.学生学得很烦，老师上得也累，效果往往不理想.究其原因，我们想主要是多数教师把复习课定位在“巩固知识、提高技能”上，很少关注学生对知识的理解及内在联系的梳理，更不存在更新和重组.这样定位体现不出数学教育的人文性和价值性，不利于学生整体能力的发展.
2.问题解决
我们提倡“点线”教学方式来实践数学复习课教学，以达到“辞旧迎新”的效果.即一节复习课可以抓住某个知识要点，设计出典型的问题线，把分散在各处的点状知识，按某一知识线，将其整合成一个关联的有机面，让知识“内熔”化、结构化、系统化.这里的“点”不仅是数学教学中的知识点，也是引出问题的源点，展开问题的切入点，通过点的变化与延伸，让学生自主发现问题，解决问题，在活动中将知识点串成线，构造成线状的问题链，其中以知识点的变化为教学中明线，数学思想方法的提炼为暗线，这里的“线”就是某一知识线、方法线、思想线，按照这样的线索，将零散在各处的知识点，通过“线”的延伸变化，重新整合，引导学生从中发现数学问题及数学本质，对数学的认识丰满起来.通过“点线”教学使学生明白了知识之间的联系，横向的，纵向的，学生所看到的不再是孤立的知识点，在新授课中看到只是一棵棵小树苗，通过章节复习后则看到是一片片森林.“点线”教学通过系列问题的解决，重在重新建构知识体系，做到在教学中“提供情境，提出问题，提取方法，提炼思想，从而达到提升能力”这一要求.
例如，在这节复习课的教学设计中，就是以“当k为何值时？方程有两个相等的实数根”为问题的切入点，知识的生长点，通过问题串的设计，将字母k分别置于一次项，常数项，二次项，指数等不同位置，再由一个k值到两个k值的变化，将一元二次方程这一章的教学内容打乱重整，以k的位置与数量的变化为明线，以复习一元二次方程知识，提炼数学思想方法为暗线，重新梳理知识，重新建构知识板块，问题设计也是由简单到复杂，思维量由少到多，以点代面，复习一元二次方程相关知识，在解题过程，注重数学方法总结提取，数学思想的提炼，分析问题，解决问题的能力得以提升.
通过这种教学方法，复习课以某一个问题、一道题目、一个图形为切入点，在此基础上引伸、拓展，首先要求教师要能深入研究教材，整体把控初中数学内容，對教材内容进行重新梳理，重新整合，学会从不同的视角把握教材.而学生不再把复习课当作“烫剩饭”，不再是一个个知识点的回顾，一道道例题的讲解，而是从一个新的话题谈起，以全新的角度重新审视学习内容，对所学的数学学习内容形成新的知识建构，极大地丰富了数学知识，形成了枝繁叶茂、姹紫嫣红的知识树，学会了从不同的角度思考问题，不同的方法解决问题，课堂不再枯躁无味，像新授课一样充满新鲜感，充满好奇心，充满探究的欲望.
【关键词】点线教学；体系重构
近期，与几位专家参与了一次江苏省教研室举办的“教学新时空·名师课堂”的教学研讨活动，对复习课的课堂教学模式进行深入的研讨，研讨中笔者针对一元二次方程章节复习（第一课时）交流了自己的教学流程与设计思路，现整理后与同仁们分享.
一、教学目标
1.通过系列问题的解决，复习一元二次方程的定义、解法、根的判别式及根与系数关系等相关知识.
2.在问题解决中，引导学生重构知识体系，培养学生分析问题、解决问题的能力.
二、教学重点、难点
重点：通过k值的不同位置的变化，引导学生重新构建一元二次方程的知识体系.
难点：针对k值的位置变化，学习分类讨论解决问题的方法.
三、教学过程
环节1：复习一元二次方程的解法
问题1：当k为何值时，方程x2-kx 4=0有两个相等的实数根？
生1：要使一元二次方程有两个相等的实数根，必须满足根的判别式Δ=0，即k2-4×1×4=0，解得k=±4.
师：求k值的过程中，你是采用什么方法求k的值？
生1：采用直接开平方法解一元二次方程.
变式：当k为何值时，方程x2-（k-1）x 4=0有两个相等的实数根？
生2：Δ=0，即（k-1）2-16=0，解得k1=5，k2=-3.
师：采用什么方法求k的值？
生2：采用直接开平方法.
师：你还能使用什么方法解这个方程？
生2：我还可以换个角度思考问题，用因式分解法解这个方程，利用平方差公式解之.
师：方程（k-1）2-16=0的一般形式是什么？
生3：方程的一般形式为k2-2k-15=0.
师：对于一元二次方程k2-2k-15=0，你们还可以用什么方法来解？
生3：还可以用配方法和公式法来解这个方程.
师：下面请两位同学分别在黑板上用配方法和公式法来解这个方程，其他同学在座位上完成.
【设计意图】通过“当k为何值时，方程x2-kx 4=0有两个相等的实数根？”引出研究话题，入口浅，起步低，此时字母k在一次项系数的位置上.以（k-1）2-16=0为例复习一元二次方程的四种不同的解法，在复习中让学生体验到四种解法既有区别又有联系，根据方程的特征灵活选用适当的方法，可以使求解过程更加简便.明确解一元二次方程的基本思路是把它转化为解一元一次方程，转化的实质是“降次”.
环节2：复习根的判别式，方程的解及根与系数的关系
问题2：当k为何值时，方程x2-4x k=0.
（1）有两个相等的实数根；
（2）有两个不相等的实数根；
（3）有一个根为3；
（4）有一个根为2 3；
（5）两根之比为1：2.
生4：有两个相等的实数根，须满足Δ=0，即42-4×1×k=0，解得k=4.
生5：有两个不相等的实数根，须满足Δ>0，即42-4×1×k>0，解得k<4.
生6：有一根为3，说明x=3是方程的解，只需把x=3代入原方程即可，解得k=3.
生7：有一根为2 3，可以将x=2 3代入原方程，解得k=1.
师：将x=2 3代入原方程，比较麻烦.你们还有没有其他的解法？
生8：可以利用根与系数的关系求解.设方程的另一个根为x2，因为二次项的系数为1，则有2 3 x2=4，x2=2-3，k=（2 3）（2-3）=1.
生9：对于两根之比为1：2，不妨设这两根分别为m、2m，因为二次项的系数为1，利用根与系数的关系，则有m 2m=4，m=4[]3，k=4[]3×8[]3=32[]9.
【設计意图】在这组问题中，字母k的位置由一次项移到常数项上，通过这组问题的复习，将与方程的根有关的知识进行整合，引导学生学会从不同的角度、不同的形式来研究方程的根.其中（4）采用两种不同的解法，让学生体验到利用根与系数关系求解较为简捷.
环节3：复习方程解的个数
问题3：当k为何值时，方程kx2-4x 1=0.
（1）有两个相等的实数根；
（2）有两个不相等的实数根；
（3）有实数根.
生10：有两个相等的实数根，须满足Δ=0，即42-4×k×1=0，解得k=4.
生11：有两个不相等的实数根，须满足Δ>0，即42-4×k×1>0，解得k<4.
师：其他同学有没有不同意见？
生12：这道题目中字母k移为二次项系数，必须注意二次项系数不能为0，否则它是一元一次方程，只有一个实数根.正确答案应为k<4且k≠0.
生13：方程有实数根时，k应为k≤4且k≠0.
师：有实数根与有两个实数根是同一概念吗？
生13：噢，不一样，当k=0时，它是一元一次方程，也是有实数根，故答案应为k≤4.
【设计意图】仍然以“当k为何值时，方程有两个相等的实数根”为话题，但此时字母k由常数项移至二次项系数，通过辨析，要注意二次项的系数是否为0的情况，同样，“有实数根”与“有两个实数根”也不是同一种情况，“有实数根”中的根可以有两个也可以只有一个，即方程可以为一元二次方程，也可以为一元一次方程，这是学生容易出错的地方. 环节4：讨论方程根的情况
问题4：讨论：一元二次方程xk-4x 2=0的根的情况.
生14：因为方程为一元二次方程，所以k的值只能为2，当k=2时，Δ=42-4×1×2=8>0，方程有两个不相等的实数根.
变式1：讨论：一元二次方程xk-4x 2k=0的根的情况.
生15：因为方程为一元二次方程，所以k的值只能为2，当k=2时，原方程为x2-4x 4=0，Δ=42-4×1×2×2=0，方程有两个相等的实数根.
变式2：讨论：一元二次方程xk-2x 4k=0的根的情况.
生16：因为方程为一元二次方程，所以k的值只能为2，当k=2时，原方程为x2-2x 8=0，Δ=22-4×1×4×2=-28<0，方程没有实数根.
【设计意图】在这组问题中，通过字母k的位置先是移到指数上，再添加到常数项上，同时数字系数的不同变化，增加了问题的难度，由简单变复杂，由浅入深，思维量逐步加强，思考问题的维度越来越多.
五、设计说明
1.问题提出
一般情况下，章节复习通常是先简单梳理一下本章的知识点，如本章主要学习了一元二次方程的定义、解法、根的判别式、根与系数的关系及一元二次方程的应用，然后通过一些典型例题的讲解，引导学生回顾旧知，查漏补缺.多数学生认为都是自己学过的知识，学得缺乏激情，没有挑战性，像是“吃剩饭”，枯躁无味，流于应付.学生学得很烦，老师上得也累，效果往往不理想.究其原因，我们想主要是多数教师把复习课定位在“巩固知识、提高技能”上，很少关注学生对知识的理解及内在联系的梳理，更不存在更新和重组.这样定位体现不出数学教育的人文性和价值性，不利于学生整体能力的发展.
2.问题解决
我们提倡“点线”教学方式来实践数学复习课教学，以达到“辞旧迎新”的效果.即一节复习课可以抓住某个知识要点，设计出典型的问题线，把分散在各处的点状知识，按某一知识线，将其整合成一个关联的有机面，让知识“内熔”化、结构化、系统化.这里的“点”不仅是数学教学中的知识点，也是引出问题的源点，展开问题的切入点，通过点的变化与延伸，让学生自主发现问题，解决问题，在活动中将知识点串成线，构造成线状的问题链，其中以知识点的变化为教学中明线，数学思想方法的提炼为暗线，这里的“线”就是某一知识线、方法线、思想线，按照这样的线索，将零散在各处的知识点，通过“线”的延伸变化，重新整合，引导学生从中发现数学问题及数学本质，对数学的认识丰满起来.通过“点线”教学使学生明白了知识之间的联系，横向的，纵向的，学生所看到的不再是孤立的知识点，在新授课中看到只是一棵棵小树苗，通过章节复习后则看到是一片片森林.“点线”教学通过系列问题的解决，重在重新建构知识体系，做到在教学中“提供情境，提出问题，提取方法，提炼思想，从而达到提升能力”这一要求.
例如，在这节复习课的教学设计中，就是以“当k为何值时？方程有两个相等的实数根”为问题的切入点，知识的生长点，通过问题串的设计，将字母k分别置于一次项，常数项，二次项，指数等不同位置，再由一个k值到两个k值的变化，将一元二次方程这一章的教学内容打乱重整，以k的位置与数量的变化为明线，以复习一元二次方程知识，提炼数学思想方法为暗线，重新梳理知识，重新建构知识板块，问题设计也是由简单到复杂，思维量由少到多，以点代面，复习一元二次方程相关知识，在解题过程，注重数学方法总结提取，数学思想的提炼，分析问题，解决问题的能力得以提升.
通过这种教学方法，复习课以某一个问题、一道题目、一个图形为切入点，在此基础上引伸、拓展，首先要求教师要能深入研究教材，整体把控初中数学内容，對教材内容进行重新梳理，重新整合，学会从不同的视角把握教材.而学生不再把复习课当作“烫剩饭”，不再是一个个知识点的回顾，一道道例题的讲解，而是从一个新的话题谈起，以全新的角度重新审视学习内容，对所学的数学学习内容形成新的知识建构，极大地丰富了数学知识，形成了枝繁叶茂、姹紫嫣红的知识树，学会了从不同的角度思考问题，不同的方法解决问题，课堂不再枯躁无味，像新授课一样充满新鲜感，充满好奇心，充满探究的欲望.