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[摘 要]解决问题的复习课一直被视为复习课中较有难度的课型，因为解决问题情境很丰富，即使是对同一类型的题目的描述也是多种多样的。解决问题教学应该重视数学建模，学生只有建立了清晰的分数问题的数学模型，才能做出准确的判断，从而利用相应的方法解题。以第二学段人教版教材六年级上册“分数乘除法解决问题”的复习课为例，对如何在解决问题复习课中引入“数学建模”策略进行探讨。
[关键词]分数解决问题；复习课；关键句；数学建模
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）20-0018-02
解决问题的复习课一直被视为复习课中较有难度的课型，因为解决问题情境很丰富。教师常常很苦恼：为什么换个情境，学生就不会做了？为什么同一种类型的两道题目，学生只会做其中的一道题目？究其原因，是学生不能辨别题目类型，换句话说，就是没有建立清晰的数学模型。本文以人教版教材六年级上册“分数乘除法解决问题”的复习课为例，对解决问题的复习课中“数学建模”策略的应用进行探讨。
一、一句引领，整体呈现
知识该如何重现在学生面前？知识点呈现是复习课的重要环节，我认为这个环节不仅仅要承载重现知识的功能，更应承载激活学生思维的功能。任何一类解决问题的过程都可以概括为：已知两个量的关系（多、少、倍率）和一个量，求未知量的过程。分数应用题和其他类型应用题最大的不同在于描述两个量的关系（描述两个量的关系的句子，称为“关键句”），根据关键句来分，分数应用题可以分成两类：第一类，a 是b的；第二类，a 比b多（少）。因此，教师可用关键句作为教学的引领，以此促进学生积极思考。
【教学片段1】呈现关键句：（1）梨树的棵数是桃树的；（2）杏树比苹果树多。
师：关键句（1）中的单位“1”是什么？另一个量该怎么表示？
生：单位“1”是桃树的棵数，梨树的棵数可以用“”表示。
板书：桃树：1 梨树：
师：关键句（2）中的单位“1”是什么？另一个量又该怎么表示？
生：单位“1”是苹果树的棵数，杏树的棵数可以用“1 ”表示。
板书：苹果树：1 杏树：1
师：能用这两个关键句分别编一道题目并解决吗？
生1：桃树有20棵，梨树的棵数是桃树的，梨树有几棵？
补充板书：桃树：1 20棵 梨树： ？棵
生2：苹果树有20棵，杏树比苹果树多，杏树有几棵？
板书：苹果树：1 20棵 杏树：1 ？棵
……
关键句能起到牵一发动全身的作用。学生根据两个关键句分别编写了利用分数乘、除法解决的问题各一道，整体呈现了利用分数解决问题的基本类型。与教师直接呈现题目相比，“由关键句引领，补充填空”的方式充分调动了学生思维的积极性和主动性，学生从一开始就成为学习的主人。
二、分类对比，有效建模
学生在学习各个单元的知识时，只是对各单元的知识有了初步的领悟，对各知识点的内在联系的认识还是肤浅的，达不到应有的深度，难以构建整体性的“认知框架”，以及形成综合驾驭整体知识的能力。UbD理论认为，留于浅表的简单覆盖教材内容的复习不利于学生深刻理解知识，不被理解的知识就难以实现迁移、应用，只会造成“教一道会一道，没教过就不会”的现象。因此，再现知识后，只有对单元知识之间的关系进行研究分析，将零散的知识以一定的线索进行组织加工，形成新的结构，或是将其进一步纳入原有的知识体系中，才能帮助学生完善数学的认知结构，而分类对比是梳理知识结构行之有效的方法。
【教学片段2】师：下面是大家刚才编出的四道题，能按一定的标准把这四道题进行分类吗？
板书：
（1）梨树的棵数是桃树的
桃树：1 20棵 桃树：1 ？棵
梨树： ？棵 梨树： 18棵
（2）杏树比苹果树多
苹果树：1 20棵 苹果树：1 ？棵
杏树：1 ？棵 杏树：1 25棵
生1：第一行的两道为一类，第二行的两道为一类。因为第一类都是已知单位“1”的量，用乘法做的；第二类的单位“1” 都是未知的，用除法或者方程解决。
师：明明关键句不一样，为什么解决的方法一样呢？
生2：其实关键句（2）“杏树比苹果树多”，意思是“杏树是苹果树的（1 ）”，这样改写后跟关键句（1）的描述方法就一样了。
师：也就是说，这两个关键句都在描述“一个数是另一个数的几分之几”。因此，看似不同的两类题目，其实为同一类，解决方法也相同，只是穿了不同的“外衣”。
师：这四道题有什么相同的地方吗？
生3：都是已知两个量的分率关系和其中一个量，求另一个量。
师：对，两个量的关系已知，其中一个量已知，就可以求出另一个量。像这样的题目你还能编几道吗？
（在学生编题后，教师可追问：“你编的这个问题能解决吗？怎么解决呢？”）
师：除了添加一个量的条件，还可以是怎么样的条件？
生4：桃樹和梨树共24棵，梨树的棵数是桃树的，桃树、梨树各几棵？
板书：桃树：1 ？棵 梨树： ？棵
桃树 梨树：（1 ） 24棵
生5：可以把“桃树 梨树”看成第三种树，第三种树是桃树的（1 ），而第三种树的棵数是已知的，就可以求出单位“1”的量（桃树的棵数）。如果已知桃树和梨树的差，也可以求出桃树的棵数，方法类似。
师：谁来试着编一题？
生6：桃树比梨树多8棵，梨树的棵数是桃树的，桃树、梨树各几棵？把“桃树-梨树”看成第三种树，第三种树是桃树的（1-），有8棵，也能求出单位“1”的量（桃树的棵数）。 板书：桃树：1 ？棵 梨树： ？棵
桃树-梨树：（1-） 8棵
为了让学生发现知识之间的联系，要尽量剔除不必要的细枝末节，便于学生观察和发现。为此，我采用了如下板书形式：
桃树：1 20棵 苹果树：1 20棵
梨树： ？棵 杏树：1 ？棵
桃树：1 ？棵 苹果树：1 ？棵
杏树： 18棵 杏树：1 25棵
学生很快就发现“每一行的结构完全一样，解题方法也一样”，从而成功建立了分数乘法、除法应用题的“类”模型。学生在进一步的比较中还能够发现分数应用题的共同特点“已知两个量的分率关系和一个量，就可以求出另一个量”，得出了分数应用题的模型。第二次的编题让学生巩固了解决分数应用题的基本模型及相应的解决方法，第三次的编题能帮助学生根据分数应用题的模型丰富外延，内化模型。通过这个完整的建模过程，学生建立起了分数应用题最基本模型：已知两个量的关系和其中一个量，就可以求出另一个量。
三、纵深沟通，促进理解
将新的知识纳入已有的知识系统，有利于学生完善数学认知结构，对知识进行化归，从而促进知识的理解。分数乘除法应用题是整数乘除法应用题的延伸，如果能将其和整数乘除法应用题进行联系，就能产生事半功倍的教学效果。
【教学片段3】师：已知两个量的关系和其中一个量，求另一个量。以前我们学过类似的问题吗？请举个例子。
生1：小明有5本故事书，小红的本数是小明的2倍，小红有几本故事书？（用乘法计算）
板书：小明：1 5本 小红：2 ？本
生2：小东有8本科幻书，小东的本数是小丁的2倍，小丁有几本科幻书？（求单位“1”用除法计算）
板书：小丁：1 ？本 小东：2 8本
师：以前我们说的一倍数就是现在的单位“1”的量。这些整数应用题和分数应用题又有什么不同呢？
生3：前一类的两个量的关系用整数（倍数）来表示，后一类的两个量的关系用分数（分率）表示，其实解决方法都一样。
整数乘除法解决问题和分数乘除法解决问题都是同一种类型的问题，但是相比较而言，学生更容易理解整数乘除法解决问题。通过板书分析整数乘除法问题的结构，能够从“形”上沟通联系整数乘除法解决问题和分数乘除法解决问题之间的关系，引导学生关注两者的本质联系：以前我们说的一倍数就是现在的单位“1”的量。
数学模型关注的对象是許多具有普遍性的事物，而这样的事物具有一些共同的特点。数学建模应该是一个不断感知、积累、分析和判断的过程。教师要有数学建模的意识，要在学生已经拥有的丰富的感性材料的基础上引导学生紧紧抓住知识的关键特征，沟通联系，从而完善、更新数学认知体系。
（责编 金 铃）
[关键词]分数解决问题；复习课；关键句；数学建模
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）20-0018-02
解决问题的复习课一直被视为复习课中较有难度的课型，因为解决问题情境很丰富。教师常常很苦恼：为什么换个情境，学生就不会做了？为什么同一种类型的两道题目，学生只会做其中的一道题目？究其原因，是学生不能辨别题目类型，换句话说，就是没有建立清晰的数学模型。本文以人教版教材六年级上册“分数乘除法解决问题”的复习课为例，对解决问题的复习课中“数学建模”策略的应用进行探讨。
一、一句引领，整体呈现
知识该如何重现在学生面前？知识点呈现是复习课的重要环节，我认为这个环节不仅仅要承载重现知识的功能，更应承载激活学生思维的功能。任何一类解决问题的过程都可以概括为：已知两个量的关系（多、少、倍率）和一个量，求未知量的过程。分数应用题和其他类型应用题最大的不同在于描述两个量的关系（描述两个量的关系的句子，称为“关键句”），根据关键句来分，分数应用题可以分成两类：第一类，a 是b的；第二类，a 比b多（少）。因此，教师可用关键句作为教学的引领，以此促进学生积极思考。
【教学片段1】呈现关键句：（1）梨树的棵数是桃树的；（2）杏树比苹果树多。
师：关键句（1）中的单位“1”是什么？另一个量该怎么表示？
生：单位“1”是桃树的棵数，梨树的棵数可以用“”表示。
板书：桃树：1 梨树：
师：关键句（2）中的单位“1”是什么？另一个量又该怎么表示？
生：单位“1”是苹果树的棵数，杏树的棵数可以用“1 ”表示。
板书：苹果树：1 杏树：1
师：能用这两个关键句分别编一道题目并解决吗？
生1：桃树有20棵，梨树的棵数是桃树的，梨树有几棵？
补充板书：桃树：1 20棵 梨树： ？棵
生2：苹果树有20棵，杏树比苹果树多，杏树有几棵？
板书：苹果树：1 20棵 杏树：1 ？棵
……
关键句能起到牵一发动全身的作用。学生根据两个关键句分别编写了利用分数乘、除法解决的问题各一道，整体呈现了利用分数解决问题的基本类型。与教师直接呈现题目相比，“由关键句引领，补充填空”的方式充分调动了学生思维的积极性和主动性，学生从一开始就成为学习的主人。
二、分类对比，有效建模
学生在学习各个单元的知识时，只是对各单元的知识有了初步的领悟，对各知识点的内在联系的认识还是肤浅的，达不到应有的深度，难以构建整体性的“认知框架”，以及形成综合驾驭整体知识的能力。UbD理论认为，留于浅表的简单覆盖教材内容的复习不利于学生深刻理解知识，不被理解的知识就难以实现迁移、应用，只会造成“教一道会一道，没教过就不会”的现象。因此，再现知识后，只有对单元知识之间的关系进行研究分析，将零散的知识以一定的线索进行组织加工，形成新的结构，或是将其进一步纳入原有的知识体系中，才能帮助学生完善数学的认知结构，而分类对比是梳理知识结构行之有效的方法。
【教学片段2】师：下面是大家刚才编出的四道题，能按一定的标准把这四道题进行分类吗？
板书：
（1）梨树的棵数是桃树的
桃树：1 20棵 桃树：1 ？棵
梨树： ？棵 梨树： 18棵
（2）杏树比苹果树多
苹果树：1 20棵 苹果树：1 ？棵
杏树：1 ？棵 杏树：1 25棵
生1：第一行的两道为一类，第二行的两道为一类。因为第一类都是已知单位“1”的量，用乘法做的；第二类的单位“1” 都是未知的，用除法或者方程解决。
师：明明关键句不一样，为什么解决的方法一样呢？
生2：其实关键句（2）“杏树比苹果树多”，意思是“杏树是苹果树的（1 ）”，这样改写后跟关键句（1）的描述方法就一样了。
师：也就是说，这两个关键句都在描述“一个数是另一个数的几分之几”。因此，看似不同的两类题目，其实为同一类，解决方法也相同，只是穿了不同的“外衣”。
师：这四道题有什么相同的地方吗？
生3：都是已知两个量的分率关系和其中一个量，求另一个量。
师：对，两个量的关系已知，其中一个量已知，就可以求出另一个量。像这样的题目你还能编几道吗？
（在学生编题后，教师可追问：“你编的这个问题能解决吗？怎么解决呢？”）
师：除了添加一个量的条件，还可以是怎么样的条件？
生4：桃樹和梨树共24棵，梨树的棵数是桃树的，桃树、梨树各几棵？
板书：桃树：1 ？棵 梨树： ？棵
桃树 梨树：（1 ） 24棵
生5：可以把“桃树 梨树”看成第三种树，第三种树是桃树的（1 ），而第三种树的棵数是已知的，就可以求出单位“1”的量（桃树的棵数）。如果已知桃树和梨树的差，也可以求出桃树的棵数，方法类似。
师：谁来试着编一题？
生6：桃树比梨树多8棵，梨树的棵数是桃树的，桃树、梨树各几棵？把“桃树-梨树”看成第三种树，第三种树是桃树的（1-），有8棵，也能求出单位“1”的量（桃树的棵数）。 板书：桃树：1 ？棵 梨树： ？棵
桃树-梨树：（1-） 8棵
为了让学生发现知识之间的联系，要尽量剔除不必要的细枝末节，便于学生观察和发现。为此，我采用了如下板书形式：
桃树：1 20棵 苹果树：1 20棵
梨树： ？棵 杏树：1 ？棵
桃树：1 ？棵 苹果树：1 ？棵
杏树： 18棵 杏树：1 25棵
学生很快就发现“每一行的结构完全一样，解题方法也一样”，从而成功建立了分数乘法、除法应用题的“类”模型。学生在进一步的比较中还能够发现分数应用题的共同特点“已知两个量的分率关系和一个量，就可以求出另一个量”，得出了分数应用题的模型。第二次的编题让学生巩固了解决分数应用题的基本模型及相应的解决方法，第三次的编题能帮助学生根据分数应用题的模型丰富外延，内化模型。通过这个完整的建模过程，学生建立起了分数应用题最基本模型：已知两个量的关系和其中一个量，就可以求出另一个量。
三、纵深沟通，促进理解
将新的知识纳入已有的知识系统，有利于学生完善数学认知结构，对知识进行化归，从而促进知识的理解。分数乘除法应用题是整数乘除法应用题的延伸，如果能将其和整数乘除法应用题进行联系，就能产生事半功倍的教学效果。
【教学片段3】师：已知两个量的关系和其中一个量，求另一个量。以前我们学过类似的问题吗？请举个例子。
生1：小明有5本故事书，小红的本数是小明的2倍，小红有几本故事书？（用乘法计算）
板书：小明：1 5本 小红：2 ？本
生2：小东有8本科幻书，小东的本数是小丁的2倍，小丁有几本科幻书？（求单位“1”用除法计算）
板书：小丁：1 ？本 小东：2 8本
师：以前我们说的一倍数就是现在的单位“1”的量。这些整数应用题和分数应用题又有什么不同呢？
生3：前一类的两个量的关系用整数（倍数）来表示，后一类的两个量的关系用分数（分率）表示，其实解决方法都一样。
整数乘除法解决问题和分数乘除法解决问题都是同一种类型的问题，但是相比较而言，学生更容易理解整数乘除法解决问题。通过板书分析整数乘除法问题的结构，能够从“形”上沟通联系整数乘除法解决问题和分数乘除法解决问题之间的关系，引导学生关注两者的本质联系：以前我们说的一倍数就是现在的单位“1”的量。
数学模型关注的对象是許多具有普遍性的事物，而这样的事物具有一些共同的特点。数学建模应该是一个不断感知、积累、分析和判断的过程。教师要有数学建模的意识，要在学生已经拥有的丰富的感性材料的基础上引导学生紧紧抓住知识的关键特征，沟通联系，从而完善、更新数学认知体系。
（责编 金 铃）